2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(16)

2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(16)
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知数列{}n a 的通项公式是2
21
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
3．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，
，
，则2
y
z x =
-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
B ．11115⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，
C ．111153⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦， D ．3153
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
4．数列{}n a 中，对于任意,m n N *
∈，恒有m n m n a a a +=+，若11
8
a =
，则7a 等于( ) A ．
7
12 B ．
7
14 C ．
74
D ．
78
5．已知数列{}n a 满足112,0,2
121,1,
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若135a =，则数列的第2018项为 （ ）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
6．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶
B 处分别测得仰角为=60βo
，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
7．若不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4
9．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16
B ．26
C ．8
D ．13
10．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
11．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．
34
B ．
56
C ．
78
D ．
23
12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
二、填空题
13．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{
}
n S n +也为公差
为d 的等差数列，则d =______． 14．已知0,0x y >>，1221
x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．设
，
，若
，则
的最小值为_____________.
16．观察下列的数表： 2 4 6
8 10 12 14
16 18 20 22 24 26 28 30 …… ……
设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________． 17．若数列{}n a 满足11a =，()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式
()()
1
12
121n n n
n a b ++=
-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 19．已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
20．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5
cos
23
C =
，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 三、解答题
21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足
sin cos 6b A a B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（1）求角B 的大小；
（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.
22．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}
n b 满足*2,21,
()2,2,
n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨
=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n
n S .
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,
338a b ==.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 25．在ABC V 中，5cos 13A =-
，3cos 5
B =． (1)求sin
C 的值；
(2)设5BC =，求ABC V 的面积．
26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1
4cos a C a
+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V
a ，c .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 1
2+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】
∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩
是奇数是偶数，
∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552
故选C ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨
+=⎩，解得11A (，)，由1
x y x
=-⎧⎨
=⎩，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =， 所以2y z x =
-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
4．D
解析：D 【解析】
因为11
,8
m n m n a a a a +=+=
,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 7347
8
a a a =+=.选D.
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】
11
12,03
21521,12n n n n n a a a a a a +⎧
≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221
5
a a a ⨯+===
. 故选A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，
如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠，
即sin[90(90)]sin(90)h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
40cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
…
„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨+=⎩
得()10
B ,．
若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩…
„…
„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
U 故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
8．D
解析：D 【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·
(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2
2
2
2132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝
⎭＋－＋，
∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，
∴()
()
120164201320162016201620162
2
a a a a S ++=
=
=.
很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.
9．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，
∴1134101313()13()
1322
a a a a S ++=
==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．
所以25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
二、填空题
13．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：
12
【解析】 【分析】
表示出n S
【详解】
等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112
n n na d -+，
又数列
也为公差为d
=
()1n d -
()1n d =
-
=
上式对任意正整数n
成立，
则)
2
120122d d d d
a d d
⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩
，解得：12d =，134a =- 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能
力，属于中档题．
14．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式
解析：3
【解析】
试题分析：根据条件，解得
，那么，当且仅当时取得等号，所以
的最小值为3，故填：3.
考点：基本不等式
15．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-
解析：
【解析】
【分析】
由已知可得，从而有，展开后利用基本不
等式，即可求解.
【详解】
由题意，因为满足，
所以，且，
则
，当且仅当且，即时取得最小值.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
16．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行
解析：4980
【解析】
【分析】
表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解. 【详解】
解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2018是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，
所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g
， 故答案为：4980 【点睛】
此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．
17．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：2046
2047
-
【解析】 【分析】 对于()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...
，，发现规律， 利用()()
1
12121n n n n a b ++=--，求出10S .
【详解】 由()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得
2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利
用()()
1
12
121n n n
n a b ++=
--，得b 1=-
43
，234510224694b =
b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出102046
2047
S =-.
故答案为2046
2047
- 【点睛】
本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.
18．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可
解析：
613. 【解析】
分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()
1137
131313262
2
a a a S +⨯==
=， ∴7613
a =
． 设等差数列{}n a 的公差为d ，
则()9109109976322213
a a a a a a d a -=-+=-==
． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若(
)*
,,,,m n p q m n p q Z
+=+∈，则
m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12
n n n a a S +=
结合在一起应用，利用
整体代换的方法可使得运算简单．
19．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题
【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】
925491cos ,sin 3022
C C +-==-=
，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】
本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
20．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的
解析：
5 【解析】 试题分析：5cos
2C =
，21cos 2cos 129C C =-=，45sin C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为95
2sin c R C =
=
，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ⎛⎫
-= ⎪
⎪⎝⎭
，解得5x =
，故最大面积为155
22S =⋅⋅=
.
考点：解三角形．
【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.
三、解答题
21．（1）3π；（23 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；
（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律
和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积
的最大值. 【详解】
（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >， 则31sin cos cos sin 622
B B B B π⎛
⎫
=-
=+ ⎪⎝
⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3
B π
=；
（2）如下图，由13
sin 2ABC S ac B ac ∆=
=，
又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
，
等式两边平方得222
42BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r
， 则43ac ≤
，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343
433
⨯=
. 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．（1）n a n =；（2）22(41)
2(1)3
n n T n n -=
++ 【解析】 【分析】
（1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列{}n a 的通项公式；（2）根据分组求和法得结果. 【详解】
（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，
可得2
319a a a =，313a a a =，可得2111(2)(8)a d a a d +=+，11a =，化简可得11a d ==，
即有n a n =；
（2）由（1）可得2,21
2,2n n n k b n n k
⎧=-=⎨=⎩，*k N ∈；
前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++⋯+++++⋯+
2(14)12(41)(44)2(1)1423
n n n n n n --=++=++-． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
23．（Ⅰ）1
3,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）1363
1243n n
n T +=-⨯. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】
（Ⅰ）因为233=+n
n S ，所以，1233a =+，故13,a =
当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即1
3,n n a -=
所以，13,1,
{
3,1,
n n n a n -==>
（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113
b =， 当1n >时，()11133log 313n
n n n b n ---==-⋅
所以1113
T b ==， 当1n >时，
()()
1211231
1323133
n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，
所以()0
1
231132313
n
n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得
()
()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()111
21313313
n n
n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以1363
1243n n
n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，
综上可得：13631243
n n n T +=-⨯. 【点睛】
本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.
24．（1）31,2n
n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.
【解析】
试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列
的公比为，且．
由，得
，解得
． 所以． 由，得
，又
，解得
．
所以． （2）因为，
所以．
25．（1）1665；（2）83
. 【解析】 【分析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式
求出结果． 【详解】
(1)在ABC V 中，A B C π++=，
由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12
sin 13
A =， 由3cos 5
B =
，02B π<<，得4sin 5
B =． 所以()16
sin sin sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=
； (2)由正弦定理
sin sin AC BC
B A
=， 解得：sin 13
sin 3
BC B AC A ⋅=
=，
所以ABC V 的面积：1113168
sin 5223653
S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 【点睛】
本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。

26．（1）2
；（2）a =2c =. 【解析】 【分析】
（1）已知1
4cos a C a
+
= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a 与c 的值，应用三角形面积公式，可求得三角形面积；
（2）根据三角形面积公式，得sinC,根据1
4cos a C a
+=，得cosC ，代入
sin 2C+cos 2C=1，得关于a 的方程，解方程即可. 【详解】
（1）∵14cos a C a += ()
222222142a c a b c ab a
+-+-=⨯=
，∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒，∴22221a b c c =+=+.
∴222212c a c =+=+，∴c =a =
∴111sin 12222
ABC S bc A bc =
==⨯=
V .
（2）∵11sin sin 222ABC S ab C a C ===
V ，∴sin C a
=.
∵14cos a C a +
=，sin C =，
∴2
2
1114a a ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
，化简得()22
70a -=，
∴a =
2c =.
【点睛】
正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系；三角形面积公式
S=
111
absin bcsin acsin 222C A B == 中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件.。