奇偶性

函数的奇偶性
一．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，
那么函数()f x 就叫做偶函数。

例如：函数2
()1f x x =+, 4
()2f x x =-等都是偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，
那么函数()f x 就叫做奇函数。

例如：函数x x f =)(，x
x f 1
)(=
都是奇函数。

（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。

二、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法 （2）图像法 （3）性质法
三. 奇函数性质： （1）、奇函数的图象关于原点对称； （2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数性质： （1）、偶函数的图象关于y 轴对称； （2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 四 奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数•偶函数=奇函数； （2）、奇函数•奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数•偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 五 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2 确定f(－x)与f(x)的关系；
3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3.具有奇偶性的函数的图象的特征。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
4。

函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足
)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

六 若函数
，
，
的定义域域都是关于原点对称的，则
，
都是奇函数时，
是奇函数；
，都是偶函数，或者
一奇一偶时，
是偶函数。

练习1．若
为奇函数，则实数的值为________。

2．定义在[－2，2]上的偶函数，当
时，
单调递减，若
，
则实数 的取值范围为________。

习题
1.已知函数 f(x)为偶函数，在（0,+)∞上为减函数，若f()2
1﹥0﹥f(3)，则方程f(x)＝0的根的个数是 （ ）
A 2
B 2或1
C 3
D 2或3 2.设)(x f 是R 上的减函数，则下列关系成立的是（ ） A 、)2()(a f a f >
B 、)()(2
a f a f <
C 、)()(2
a f a a f <+
D 、)()1(2
a f a f <+
3.如果奇函数)(x f 在区间)0(],[>>a b b a 上是增函数，且最小值为m ，那么)(x f 在
区间],[a b --上是（ ） A 、增函数且最小值为m - B 、增函数且最大值为m - C 、减函数且最小值为m -
D 、减函数且最大值为m -
4、在区间),0(+∞上不是增函数的是（ ）
A ．12+=x y
B ．132
+=x y C ．x
y 2=
D ．122
++=x x y 5、设函数f(x)是R 上的偶函数，且在()+∞,0上是减函数，若,01<x 且021>+x x ，则 A 、)()(21x f x f -> B 、)()(21x f x f -=- C 、)()(21x f x f -<- D 、不能确定 6、如果函数f(x)＝x 2
＋2(a-1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A.[)+∞-,3
B.(]3,-∞-
C. (]5,∞-
D. [)+∞,3 7、设定义在]22[，-上的偶函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若
)()1(m f m f <-，实数m 的取值范围是___________
8、下列命题中不正确的是___________（填上所有不正确命题的序号）
①因为函数x y 1=分别在()()+∞∞-,0,0,内都是减函数，所以函数x
y 1=在整个定义域内是单调递减的。

②函数1
1
+=
x y 在[)+∞-,1上是减函数。

③有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间。

9.求下列函数的单调区间
（1）y ＝2
45x x -- （2）x
x
y +-=
432
10..定义在R 上的函数0)0(,)(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)(·)()(b f a f b a f =+
（1）证明：1)0(=f ；（2）证明：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；
（3）证明)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2(·)(2
>-x x f x f ，求x 的取值范围
11、设)(x f 的定义域为),0(+∞，且在),0(+∞上为增函数，)()()(y f x f y
x
f -=
（1）求证)()()(,0)1(y f x f xy f f +==； （2）设1)2(=f ，解不等式2)3
1
()(≤--x f x f。