(名师名校推荐)2020-2021最新年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与

1.3.2 函数的极值与导数
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列函数存在极值的是( ) A ．f (x )＝1
x
B ．f (x )＝x －e x
C ．f (x )＝x 3
＋x 2
＋2x －3
D ．f (x )＝x 3
解析：A 中f ′(x )＝－1
x
2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )的图象为双曲线．∴A 中函数无极值．B
中f ′(x )＝1－e x
，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝
f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y ＝f (x )
无极值．D 也无极值．故选B.
答案：B
2.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( ) A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点 B ．1是函数y ＝f (x )的极值点
C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零
D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增
解析：f ′(1)＝0，但在1的相邻的左右两侧的导函数值同号，故1不是f (x )的极值点，故选B.
答案：B
3．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2
＋2x 取极小值时，x 的值是( )
A ．2
B ．2，－1
C ．－1
D ．－3
解析：f ′(x )＝－x 2
＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，
f ′(x )<0，在区间
(－1,2)上f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值． 答案：C
4．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx 的两个极值点，则有( ) A ．a ＝－2，b ＝4 B ．a ＝－3，b ＝－24 C ．a ＝1，b ＝3
D ．a ＝2，b ＝－4
解析：f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2
＋2ax ＋b ＝0的两个根，
所以有－2a 3＝－2＋4，b
3
＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.
答案：B
5．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )
A ．a ＋b ＋c
B ．8a ＋4b ＋c
C ．3a ＋2b
D ．c
解析：由函数导函数的图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，∴函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .
答案：D
6．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2
＋a ， 令f ′(x )＝0，∴a ＝－3x 2
， ∴a ＜0时，存在两个极值点． 答案：a ＜0
7．设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：∵y ＝e x
＋ax ， ∴y ′＝e x
＋a ，
由于y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，即方程e x
＋a ＝0有大于零的解． 即a ＝－e x (x >0)，∵当x >0时，－e x
<－1， ∴a <－1.
答案：(－∞，－1)
8．已知函数f (x )＝x 3
－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．
解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，y ＝f (x )的大致图象如图，
观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 答案：(－2,2) 9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 4
－2x 2
； (2)f (x )＝x 2e －x .
解析：(1)函数f (x )的定义域为R.
f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－
1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) －
0 ＋
0 －
0 ＋ f (x )
极小值
极大值
极小值
当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.
f ′(x )＝(x 2e
x )′＝
x 2′e x －e x ′x 2
e
x 2
＝2x e －x
－x 2e －x
＝x (2－x )e －x
＝－e －x
·x (x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) －
0 ＋
0 －
f (x )
极小值
极大值
当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4
e
2.
10．已知函数f (x )＝x 3
－3ax 2
＋2bx 在点x ＝1处的极小值为－1，试确定a ，b 的值，并求
f (x )的单调区间．
解析：由已知f ′(x )＝3x 2
－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0，① 又∵f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，② 由①②解得a ＝13，b ＝－1
2，
∴f (x )＝x 3
－x 2
－x ，
由此得f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，得x <－1
3或x >1，
令f ′(x )<0，得－1
3
<x <1，
∴f (x )在x ＝1的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0， 即f (x )在x ＝1处取得极小值， 故a ＝13，b ＝－12，且f (x )＝x 3－x 2
－x ，
它的单调增区间是(－∞，－1
3)和(1，＋∞)，
它的单调减区间是(－1
3
，1)．
[B 组 能力提升]
1．如图所示的是函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的大致图象，则x 2
1＋x 2
2等于( )
A.23
B.43
C.83
D.169
解析：由图象可得：⎩⎪⎨⎪
⎧ －1＋b －c ＋d ＝0d ＝0
8＋4b ＋2c ＋d ＝0⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝－1
c ＝－2
d ＝0
，
所以f ′(x )＝3x 2
－2x －2，
由题意可得：x 1，x 2是函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的两个极值点，故x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的根，
所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝169.
答案：D
2．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x
－1)(x －1)k
(k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值
解析：①当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，此时f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e x
·x －1，且f ′(1)＝e －1≠0，∴A ，B 项均错；②当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)·(x －1)2
，此时f ′(x )＝e x
(x －1)2
＋(2x －2)(e x －1)＝e x ·x 2－2x －e x ＋2＝e x (x ＋1)(x －1)－2(x －1)＝(x －1)[e x
(x ＋1)－2]，易知g (x )＝e x
(x ＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x 0，则有
答案：C
3．已知函数y ＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，
b ＝________.
解析：y ′＝3x 2
＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3， 由根与系数的关系应有 ⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝－2a 3－3＝b 3
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3
b ＝－9
.
答案：－3 －9
4．已知函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f (x )－k ＝0只有一个实根；当k ∈(0,4)时，f (x )－k ＝0有3个相异实根，现给出下列四个命题：
①f (x )－4＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根； ②f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根；
③f (x )－3＝0的任一实根大于f (x )－1＝0的任一实根； ④f (x )＋5＝0的任一实根小于f (x )－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．
解析：由题意y ＝f (x )图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f (x )－k ＝0的根的问题可转化为f (x )＝k ，即y ＝k 和y ＝f (x )图象交点个数问题．根据图象可知答案为：①②④.
答案：①②④
5．设f (x )＝2x 3＋ax 2
＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对
称，且f ′(1)＝0.
(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．
解析：(1)因为f (x )＝2x 3
＋ax 2
＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2
＋2ax ＋b .
从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 62
＋b －a 2
6，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－
a 6＝－1
2
，解得a ＝3.
又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3
＋3x 2
－12x ＋1，
f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．
令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.
当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．
从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6. 6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2
＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )， g (x )的图象都
相切，且l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l 的方程及a 的值；
(2)当k >0时，试讨论方程f (1＋x 2
)－g (x )＝k 的解的个数．
解析：(1)由直线l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1，得f ′(1)＝1，即直线l 的斜率为1，则切点为(1，f (1))，即(1,0)，
∴直线l 的方程为y ＝x －1.①
∵g ′(x )＝x ，且切线l 的斜率为1，
∴切点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12＋a ， 则直线l ：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＝x －1，即y ＝x －12＋a .② 由①②可得－12＋a ＝－1，∴a ＝－1
2.
(2)∵f (1＋x 2
)－g (x )＝k ， 即ln(1＋x 2
)－12x 2＋12＝k .
设y 1＝ln(1＋x 2
)－12x 2＋12，y 2＝k ，
则y 1′＝2x 1＋x
2－x ＝
x
1－x x ＋1
1＋x
2
. 令y 1′＝0，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1，当x 变化时，y 1′，y 1的变化情况，列表如下：
x (－∞，－1)
－1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y 1′ ＋
0 － 0 ＋ 0 －
y 1
极大值ln 2
极小值12
极大值ln 2
函数y 1的大致图象如图：
方程y 1＝y 2，
①当0<k <1
2时，有2个解；
②当k ＝1
2时，有3个解；
③当1
2<k <ln 2时，有4个解；
④当k ＝ln 2时，有2个解； ⑤当k >ln 2时，没有解．。