上海市松江一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷及解析

上海市松江一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
111＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么k 1＝k 2，是l 1∥l 2的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知点P 与点Q(1,−2)关于直线x +y −1=0对称，则点P 的坐标为( )
A. (3,0)
B. (−3,2)
C. (−3,0)
D. (−1,2)
3.设a ，b 是两个非零向量，若函数()()()
f x xa b a xb =+⋅-的图象是一条直线，则必有（ ） A.a b ⊥
B.//a b
C.a b =
D.a b ≠
4.已知点(),M a b 与点()1,1P -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①
3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0
a >且1a ≠时，1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，正确的个数为（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.以上都不对
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
5.过点2,3A -，且法向量是()4,3n =-的直线的点方向式方程是_______.
6.若线性方程组的增广矩阵为121101c c ⎛⎫
⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨
=⎩
，则12c c -=__________. 7.行列式42354112
k
----中第二行第一列的元素的代数余子式的值为10，则k =__________
8.直线l 过点()5,3A --且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 方程是__________.
9.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞
=++⋅⋅⋅+，则q =______． 10.直线(m+3)x+my －2=0与直线mx －6y+5=0互相垂直，则m= . 11.k ∈R ，直线()()()213110k x k y k --+--=过定点_________________. 12.用数学归纳法证明()11
1
123
2
n f n =+
+++
的过程中，从n k =到1n k =+时，()
1
2k f +比()
2k
f 共增加了___________项.
13.若直线l 过点()2,3P -，且与直线:240m x y -+=的夹角为arc ，则直线l 的一般式方程是___________.
14.设1l 的倾斜角为1,0,,2l παα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得到直线22,l l 在y
轴上的截距为22,l -绕P 沿逆时针方向再旋转2
π
α-角得到直线3:210l x y +-=，则1l 的方
程为___________.
15.在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间
的“折线距离”.则原点()0,0O 与直线0x y +-=上一点(),P x y 的“折线距离”的最小值是________.
16.设I 为ABC ∆的内心，三边长7,6,5AB BC AC ===，点P 在边AB 上，且2AP =，若直线IP 交直线BC 于点Q ，则线段QC 的长为______.
三、解答题（题型注释）
17.已知直线130m ++=，直线()2:220l x m y +-+=，求：当m 为何值时，直线1l 与2l 分别有如下位置关系：相交并求出交点；平行；重合. 18.已知O 为坐标原点，设()()()1,1,3,0,3,5OA OB OC === （1）求ABC ∆的面积S ；
（2）对向量()()1122,,,a x y b x y ==，定义()
12211
,2
f a b x y x y =-，求()
,f AB AC ，并说明()
,f AB AC 与S 的关系： （3）请归纳()
,f AB AC 的几何意义.
19.已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0)，直线l 2:4x-2y-1=0和直线l 3:x+y-1=0，且l 1和l 2的距离是7√5
10.
(1)求a 的值.
(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的
距离是P 点到l 2的距离的1
2
；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是√2:√5?若能，求
出P 点坐标；若不能，请说明理由.
20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，集合*,
n n S A a n N n ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
，集合B ＝{(),x y 14
x 2﹣y 2
＝1，x ，y ∈R }，请判断下列三个命题的真假.若为真，请给予证明；若为假，请举出反例.
（1）以集合A 中的元素为坐标的点均在同一条直线上； （2）A ∩B 至多有一个元素； （3）当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅．.
21.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知
1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，
要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .
（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标； （2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围； （3）求AMN ∆面积的取值范围.
参考答案
1.C
【解析】1.
由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件． 2.A
【解析】2.
根据题意，设P 的坐标为（a ，b ），分析可得{b+2
a−1
=1a+12
+b−2
2=1
，解可得a 、b 的值，即可
得答案．
设P 的坐标为（a ，b ），则PQ 的中点坐标为（
a+12，b−22
）， 若点P 与Q （1，﹣2）关于x +y ﹣1＝0对称，则有{b+2
a−1=1
a+12
+b−2
2=1
，
解可得：a ＝3，b ＝0， 则点P 的坐标为（3，0）； 故选：A ． 3.A
【解析】3.
试题()()()(
)2
2
2
f x xa b a xb x a b x a b
a b =+⋅-=-⋅+-+⋅
因为()f x 的图象是一条直线，0a b ∴⋅=，a b ∴⊥，故选A ． 4.B
【解析】4.
根据点M （a ，b ）与点()1,1P -在直线3x ﹣4y +5＝0的两侧，可以画出点M （a ，b ）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．
∵点M （a ，b ）与点()1,1P -在直线3x ﹣4y +5＝0的两侧，如图所示：点M （a ，b ）在直线3x ﹣4y +5＝0左上方的区域.
∴（3a ﹣4b +5）（3×
1+4+5）＜0，即3a ﹣4b +5＜0，故①错误；
当a ＞0时，由图可知，M 的区域，不含边界，∴a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x ﹣4y +5＝0的距离为d ，则d
1=，则a 2+b 2＞1，故③正确；
当a ＞0且a ≠1时，
1
1
b a +-表示点M （a ，b ）与P （1，﹣1）连线的斜率，由图可知， 当a ＝0，b ＝54时，11b a +-＝5
1
94
14
+=--，又直线3x ﹣4y +5＝0的斜率为34， 故
1
1b a +-的取值范围为（﹣∞，﹣94）∪（34
，+∞），故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ．
5.23
34
x y -+=
【解析】5.
先根据题意求出直线的一个方向向量，进而求出直线l 的斜率，又知直线过点（2，﹣3），即可得到答案．
因为直线的法向量是(4,3)n =-，所以直线的一个方向向量为（3，4）， 所以直线的斜率为：
4
3
．又因为直线过点A （2，﹣3），所以直线的点方向式方程为：23
34
x y -+=． 故答案为：23
34
x y -+=． 6.3
【解析】6.
由增广矩阵的定义先分别求出12,c c ，由此能求出12c c -的值．
已知线性方程组的增广矩阵为121101c c ⎛⎫
⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨
=⎩
， 所以12
13158
03155c c =⨯+⨯=⎧⎨=⨯+⨯=⎩，则123c c -=.
故答案为：3 7.6-
【解析】7.
本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算,即可得到结论. 因为三阶行列式42354112
k
----中第二行第一列的元素的代数余子式的值为10,
所以21
(1)
[2(2)(1)]10k +-⨯---=,即(4)10k --+=,解得6k =-.
故答案为:6-.
8.x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0．
【解析】8.
当直线经过原点时，直线方程为y ＝3
5
x ；当直线不经过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，把点A 的坐标代入即可得出． 当直线经过原点时，直线方程为y ＝
3
5
x ，即3x ﹣5y ＝0； 当直线不经过原点时，设直线方程为x +y ＝a ，∵直线l 过点A （﹣5，﹣3）， ∴﹣3﹣5＝a ，∴a ＝﹣8，∴直线方程为x +y ﹣8＝0． 综上，直线方程为x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0． 故答案为：x +y +8＝0或3x ﹣5y ＝0．
【解析】9.
根据等比数列求和公式可得到无穷等比数列的极限为1
111a a a q q
---，从而构造关于q 的方程，由01q <<可确定最终结果.
()()()134123412111lim lim lim 1n n n n n n a q a a a a a a a a a a a a q q
→∞→∞→∞⎛⎫
- ⎪++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+--=-- ⎪-⎝⎭
1111a
a a q q
=--- 11111a a a a q q ∴=
---，又10a ≠ 1
111q q
∴=---，即210q q +-=
解得：q =
或q = 若极限存在，则01q <<
q ∴=
10.0或3
【解析】10.
试题两直线互相垂直，系数满足()3600,3m m m m +-=∴= 11.（2，3）
【解析】11.
把直线方程化简为（2x ﹣y ﹣1）•k ﹣（x +3y ﹣11）＝0，根据直线经过的定点的坐标满足
210
3110
x y x y --=⎧⎨
+-=⎩，解出定点的坐标即可． 由（2k ﹣1）x ﹣（k +3）y ﹣（k ﹣11）＝0，化简得（2x ﹣y ﹣1）•k ﹣（x +3y ﹣11）＝0．
所以直线经过的定点的坐标满足2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，联立方程组解得2
3x y =⎧⎨=⎩
，
故直线所经过的定点是（2，3） 故答案为：（2，3）． 12.2k
【解析】12.
分别计算出f （k +1）与f （k ）的项数，进而作差即得结论． ∵()11
1
123
2n f n =+
+++
，∴()111
123
2
k f k =++++
共2k 项，
则()111111111 (23)
221222
k
k k k f k ++=+
+++
++++++共2k +1项， ∴()12k f +比()
2k
f 共增加了2k +1﹣2k ＝2k 项
故答案为：2k ．
13.x ﹣2＝0或3x +4y +6＝0
【解析】
13.
根据直线的夹角公式，利用待定系数法进行求解即可． 当k 存在时，设l ：y +3＝
k （x ﹣2）即kx
﹣y ﹣3﹣2k ＝0， ∴cos arc ⎛== ⎝⎭
34k =-，∴
3
3(2)4
y x +=--，即3x +4y +6＝0；
当k 不存在时，l ：x ＝2∴cos 5α==符合题意. 综上：x ﹣2＝0或3x +4y +6＝0． 故答案为：x ﹣2＝0或3x +4y +6＝0 14.22x ﹣11y ﹣32＝0
【解析】14.
由题意可得直线l 1和直线l 3的夹角等于
2
π
，求得直线l 1的斜率为2，根据直线l 2的倾斜角为2α，求得直线l 2 的斜率，从而求得直线l 2的方程，根据直线l 2和直线l 3的方程求得P 的坐标，用点斜式求得l 1的方程． 由题意可得直线l 1和直线l 3的夹角等于2
π
，直线3:210l x y +-=，∴直线l 1的斜率为2，即2tan α=．
如图所示：利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，可得直线l 2的倾斜角为2α， ∴直线l 2的斜率为2212tan tan tan ααα-=＝43
，∵直线l 2的纵截距为﹣2，∴直线l 2的方程
为y ＝
4
3
x ﹣2． 由423
210y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩
，求得点P 的坐标为（1511，﹣211），
∴直线l 1的方程为y +
2
11＝2（x ﹣1511
），即22x ﹣11y ﹣32＝0， 故答案为：22x ﹣11y ﹣32＝0．
【解析】15.
根据新定义直接求出(),d P O ，求出过O 与直线0x y +-=的点坐标的“折线距离”的表达式，进而求出最小值即可．
直线0x y +与两轴的交点分别为 N （0M 0），设P （x ，y ）为直线上任意一点，
作PQ ⊥x 轴于Q ，于是有|PQ |＝|QM |，所以(),d P O ＝|OQ |+|QP |≥|OQ |+|QM |≥|OM |，即当
P 与M 重合时，dmin ＝|OM |
16.13
8
【解析】16.
设内切圆⊙I 与三角形三边分别相切于点O ，D ，E ．IO ⊥AB ，建立直角坐标系．分别设AO ＝x ，BO ＝y ，CD ＝z ．利用切线的性质定理可得x ，y ，z ．利用余弦定理可得cosB ＝57
，sinB ，tanB ，可得直线BC 的方程．设内切圆的半径为r ．则
1
(567)2
⨯++＝1
76sin 2
B ⨯⨯⨯，解得r ，得I 坐标，可得直线PI 的方程，联立直线B
C 和PI 解得Q ．即可得|CQ |＝6﹣|BQ |．
如图所示，设内切圆⊙I 与三角形三边分别相切于点O ，D ，E ，IO ⊥AB ，建立直角坐标系．
分别设AO ＝x ，BO ＝y ，CD ＝z ，则765x y y z x x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
，解得x ＝3，y ＝4，z ＝2．O （0，0），B
（4，0），P （﹣1，0），
在ABC ∆中，cosB ＝222675267+-⨯⨯＝57，sinB
＝7
，可得tanB
＝5．
直线BC 的方程为：y
＝（x ﹣4）． 设内切圆的半径为r ．则
1(567)2⨯++＝176sin 2B ⨯⨯⨯，解得r
＝3
．可得
I 0,3⎛ ⎝⎭
． 直线PI 的方程为：y
＝030(1)--x
，即y
x
．
联立334)
5y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，解得
Q 7,84⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
∴|CQ |＝6﹣|BQ |＝6
6﹣358＝138． 故答案为：
13
8
．
17.答案不唯一，见解析
【解析】17.
当2m =时，1:2350l x y ++=，2:20l x +=，l 1与l 2相交；当2m ≠
时，两直线的斜
截式方程为：13:33m m l y x +=-
-，212:22
l y x m m =----，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出．
当2m =时，1:2350l x y ++=，2:20l x +=，l 1与l 2相交，交点为12,3⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
； 当2m ≠时，两直线的斜截式方程为：13:33m m l y x +=--，212
:22
l y x m m =-
---. ①当1
32
m m -
≠--时，即m ≠3，m ≠﹣1且2m ≠时，两直线相交， 两直线联立3331222m m y x y x m m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=--
⎪--⎩ 解得41
11m x m y m +⎧
=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
，所以交点为41,11m m m +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.
②当132m m -=--，且3232m m +-≠--，即m ＝﹣1时，两直线平行． ③当132m m -
=--，且3232
m m +-=--，即m ＝3时，两直线重合． 综上：当m ≠3，m ≠﹣1时，两直线相交，交点为4
1,11m m m +⎛⎫-
- ⎪++⎝⎭
；
当m ＝﹣1时两直线平行；当m ＝3时两直线重合；
18.（1）5；（2）(),5f AB AC =，()
,f AB AC S =；（3）以,AB AC 为直角边的三角形的面积
【解析】18.
（1）由已知条件，计算得AB •AC ＝0，再求出AC 和AB ，代入面积公式计算即可； （3）依据新定义计算即可．
（1）∵()()()1,1,3,0,3,5OA OB OC ===，∴()()()3,01,12,1AB OB OA =-=-=-，
()()()3,51,12,4AC OC OA =-=-=．∴AB •()()2,12,4AC =-⋅=2×2﹣1×4＝0，
∴AB ⊥AC ．
且AB
＝
AC
＝＝
S △ABC ＝
1
2
AB •AC ＝5． （2）由（1）知()2,1AB =-，()2,4AC =，且向量()()1122,,,a x y b x y ==，
定义()
12211
,2f a b x y x y =
-，则()
()1,241252
f AB AC =⨯--⨯=，所以()
,f AB AC S =.
（3）归纳出()
,f AB AC 的几何意义是以,AB AC 为直角边的三角形的面积. 19.（1）a=3；（2）P(19,37
18
).
【解析】19.
(1) 根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a 的值。

(2) 根据点到直线的距离公式，讨论当P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍。

(1)l 2的方程即为2x −y −1
2
=0，
∴l 1和l 2的距离d=
|a−(−12
)|√2+(−1)=7√
510，∴|a +12
|=72
.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x 0,y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1和l 2平行的直线
l′:2x -y+c=0上，且
5
=
2|c+12|5,即c=132或c=11
6
. ∴2x 0-y 0+13
2
=0或2x 0-y 0+116
=0. 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式205
=5
002
， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.
由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不合题意. 联立方程2x 0-y 0+13
2=0和x 0-2y 0+4=0，解得x 0=-3,y 0=12
,应舍去. 由2x 0-y 0+11
6
=0与x 0-2y 0+4=0联立，解得x 0=19,y 0=37
18
. 所以P(19,37
18)即为同时满足三个条件的点. 20.（1）真命题，点（a n ，
n
S n ）均在直线y ＝12x +12
a 1上，见解析；（2）真命题，见解析；（3）假命题，见解析
【解析】20.
（1）在等差数列中，写出数列的前n 项和的公式，表达出集合中的元素，得到点的坐标适合直线的方程．
（2）列出方程组，利用消元法求出方程组的解，验证这个方程组只有一个解，得到这个集合至多有一个元素．
（3）验证当首项为1，公差为1时，集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，由于a 1＝1≠0，如果A ∩B ≠∅，根据（2）的结论，A ∩B 至多有一个元素（x 0，y 0），当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的．
（1）在等差数列{a n }中，对一切n ∈N *，有S n ＝
()12
n n a a +，则
()11
2
n n a S a n =+， 这表明点（a n ，n S n ）适合方程y ＝12（x +a 1），于是点（a n ，n S
n ）均在直线y ＝12x +12
a 1上．
（2）设（x ，y ）∈A ∩B ，则x ，y 是方程组1221122
114
y x a x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，
由方程组消去y 得2a 1x +a 12＝﹣4，
当a 1＝0时，方程2a 1x +a 12＝﹣4无解，此时A ∩B ＝∅；
当a 1≠0时，方程2a 1x +a 12＝﹣4只有一个解x ＝2
1
1
42a a --，此时，方程组只有一解，
故上述方程组至多有解2112
114244a x a a y a ⎧--=
⎪⎪
⎨-⎪=⎪⎩
，∴A ∩B 至多有一个元素． （3）取a 1＝1，d ＝1，对一切的n ∈N *，有a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝n ＞0，
n
S n
＞0， 这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1＝1≠0，如果A ∩B ≠∅，
那么根据（2）的结论，A ∩B 至多有一个元素（x 0，y 0），
而x 0＝21142a a --＝﹣52
＜0，y 0＝21144a a -＝﹣34＜0，这样的（x 0，y 0）∉A ，产生矛盾，故
a 1＝1，d ＝1时，A ∩B ＝∅，
∴当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的． 21.（1）MN 方程为：1142y k x ⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭，2121,4(1)4(1)k k M k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭
，211,4k N +⎛⎫
⎪⎝⎭；（2）11
22
k -
，11,22arctan
arctan α；（3）11
43
AMN S ∆≤≤
【解析】21.
（1）先利用点斜式得出直线MN 的方程，再得直线OA 方程为：y ＝x ，直线AB 方程为：x ＝1，分别与直线MN 的方程联立即可得出； （2）
（3）利用三角形的面积计算公式可得S △AMN ，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D ；
（1）依题意，得MN 方程为：1142y k x ⎛
⎫-
=- ⎪⎝
⎭，即214k y kx -=-， ∵AB ⊥OB ，|AB |＝|OB |＝1，∴直线OA 方程为：y ＝x ，直线AB 方程为：x ＝1，
联立1142y k x y x
⎧⎛
⎫-=-⎪ ⎪
⎝⎭⎨⎪=⎩ ，得2121,4(1)4(1)k k M k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭． 联立11421
y k x x ⎧⎛
⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩
，得211,4k N +⎛⎫
⎪⎝⎭.
（2）由（1）知：
2104(1)k k -≥-，∴k ＞1或k ≤12
，且21
04k +≥，得k ≥12-，∴
11
22
k -
． ∵直线的倾斜角[)0,απ∈，且11,22k tan α⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦，∴11,22
arctan
arctan α
. （3）在AMN ∆中，由（2）知： S △AMN ＝
112121||112244(1)k k AN h k ⎡⎤--⎡⎤⋅⋅=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦＝114(1)4321k k ⎡⎤
-++⎢⎥-⎣
⎦． 设131,22t k ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，设1()4f t t t =+．∵2
22
141()40t f t t t
'
-=-=， ∴f （t ）在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是单调递增．∴当3
2
t =时，20()3f t =，即当1﹣k ＝3
2时即k ＝12
-时，（S △）max ＝1201
43233
⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ 当12t =
时，()4f t =，即当1﹣k ＝12时即k ＝12
时，（S △）min ＝[]11
44324+=， AMN ∆面积的取值范围11
43
AMN S ∆≤≤.。