期中重难点复习之填空题(三阶70题)—2023-2024学年七年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

期中重难点复习之解答题分阶练
（三阶45题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
实数基础题型
1．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）解方程
(1)()2429x −=；
(2)()334375x −=−
【答案】(1)
112x =，272x = (2)=1x −
【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程．
（1）将4移到右边，两边同时开平方求解；
（1）将3移到右边，两边同时开立方求解．
【详解】（1）解：()2
429x −=
()29
24x −=
3
22x −=± 解得：112x =，272x =
（2）解：()3
34375x −=−
()34125x −=−
45x −=−
=1x −
2．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）计算题 (1)()2332731−+−−−
(2)()2
39643+−−
【答案】(1)1
(2)4−
【分析】（1）根据立方根定义及性质、算术平方根定义及性质化简后计算即可；
（2）根据立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质化简后计算即可．
本题考查立方根定义及性质和算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关定义及运算法则是解决问题的关键．
【详解】（1）()233
2731−+−−−()331=−+−−1=；
（2）()239643+−−()343=+−−4
=−． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知某数的两个平方根分别为3a −和27a +．
(1)求a 的值，并求这个正数．
(2)求236a −的立方根．
【答案】(1)10−，169
(2)4−
【分析】本题考查的是平方根、立方根．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a 的方程，求出a 的值即可得到答案；
（2）先求出236a −的值，再根据立方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得2730a a ++−=，
解得：10a =−
∴()331013a −=−−=，
∴则这个数是：213169=．
（2）由（1）知10a =−，
∴2363610064a −=−=−
∵3644−=−
∴3
36a −的立方根是4−．
4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）（1）()2202331251283−+−−+−−
−
（2）2(2)|21|(21)−+−−+
（3）33(4)375x −=−
【答案】（1）2−，（2）0；（3）=1x − 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根定义解方程，熟练掌握算术平方根与立方根是解题的关键．
（1）先乘方，开方，并求绝对值，立方根，再计算加减即可；
（2）先根据算术平方根化简，并求绝对值，去括号，再计算加减即可；
（3）先方程两边同时除以3，再利用立方根定义解方程即可．
【详解】解：（1）()2
202331251283−+−−+−−−151223=−++−−−2=−；
（2）2(2)|21|(21)−+−−+22121=+−−−0=；
（3）33(4)375x −=−，
∴()34125x −=−，
∴45x −=−，
解得：=1x −．
5．（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
223322333388
=+=+①② 验证：()33222222222222333213
−+=⨯===+−①； ()33
223333333333888318
−+=⨯===+−② (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4415＝ ；5524
＝ ； (2)通过上述探究你能猜测出：21
n n n −＝ （0n >），并验证你的结论． 【答案】(1)4415+
，
5524+
(2)21n
n n +−，见解析
【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）根据所列等式及其验证过程即可求解；
（2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证；
【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想44
15＝4415+，5524＝
5524+ 故答案为：4415+，
5524+ （2）解：猜想21n n n −＝
21n n n +−，验证如下： ()323
22221111n n n n n n n n n n n n =−−+==−⨯−−21n
n n =+−
相交线 平行线基础题型
6．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点 O ，OM AB ⊥于点 O ．
(1)若 12∠=∠，求证： ON CD ⊥；
(2)若 41BOC ∠=∠，求 ,AOC MOD ∠∠的度数．
【答案】(1)见详解
(2)AOC ∠的度数为60︒，MOD ∠的度数为150︒．
【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，190AOC ∠+∠=︒，结合已知12∠=∠可得90CON ∠=︒，再根据CON ∠与NOD ∠互补，即可解答；
（2）根据90AOM ∠=︒，可得901AOC ∠=︒−∠，再根据180AOD AOC ∠+∠=︒，41AOD ∠=∠，从而求出1
∠
的度数，即可求出AOC ∠和MOD ∠的度数．
【详解】（1）解：
OM AB ⊥，
90AOM ∴∠=︒，
190AOC ∴∠+∠=︒， 12∠=∠，
290AOC ∴∠+∠=︒，即90NOC ∠=︒，
18090NOD NOC ∴∠=︒−∠=︒．
NOD ∴∠的度数为90︒；
∴ON CD ⊥
（2）解：OM AB ⊥，
90BOM ∴∠=︒，
41BOC ∠=∠，
141BOM ∴∠+∠=∠，即90141︒+∠=∠，
解得130∠=︒，
903060AOC ∴∠=︒−︒=︒，1801150MOD ∠=︒−∠=︒．
AOC ∴∠的度数为60︒，MOD ∠的度数为150︒．
7．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知：AB PQ ∥，12A C ∠+∠=∠+∠．求证：AB CD ∥．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．由平行线的性质，得到1A ∠=∠，进而得到2C ∠=∠，推出PQ CD ∥，即可证明结论．
【详解】证明：
AB PQ ∥，
1A ∴∠=∠，
12A C ∠+∠=∠+∠，
2C ∴∠=∠，
PQ CD ∴∥，
AB CD ∴∥．
8．（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，AB CD ∥，EF 分别交AB ，CD 于点M ，
N ，152∠=︒，MG 平分BMF ∠交CD 于点G ，求2∠的度数．
【答案】64︒
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解128BMF ∠=︒，64BMG ∠=︒，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵152∠=︒，
∴1801128BMF ∠=︒−∠=︒，
∵MG 平分BMF ∠， ∴1642BMG BMN ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴264BMG ∠=∠=︒，
∴2∠的度数为64︒．
9．（20-21七年级下·江苏南京·期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∥D E A C ．
(1)求证ADE ADF ∠=∠；
(2)若98B C ∠∠+=︒，则EDF ∠= ︒．
【答案】(1)证明见解析
(2)82
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义：
（1）由角平分线定义，得BAD CAD ∠=∠，由两直线平行内错角相等，得到CAD EDA ∠=∠，
BAD ADF ∠=∠，等量代换即可得证；
（2）由平行线的性质得到C BDE B CDF ==∠∠，∠∠，再由平角的定义得到180B EDF C ++=︒∠∠∠，据此可得答案．
【详解】（1）证明： ∵AD 平分BAC ∠，
∴BAD CAD ∠=∠，
∵∥D
E A C ， ∴CAD EDA ∠=∠，
∵DF AB ，
∴BAD ADF ∠=∠，
∴ADE ADF ∠=∠．
（2）解：∵DF AB ，∥D E A C ，
∴,B CDF C BDE ∠=∠∠=∠，
∵180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=︒，
∴180B EDF C ++=︒∠∠∠，
∵98B C ∠∠+=︒，
∴82EDF =︒∠，
故答案为：82．
10．（23-24七年级下·云南·期中）如图，直线,AB CD 相交于点O ，OE 把BOD ∠分成两部分．
(1)AOC ∠的对顶角为________，∠BOE 的邻补角为________；
(2)若70AOC ∠=︒，且23BOE EOD ∠∠=::，求DOE ∠的度数．
【答案】(1)BOD ∠，AOE ∠
(2)42︒
【分析】（1）根据对顶角，邻补角的定义求解即可；
（2）根据对顶角相等，邻补角互补求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：AOC ∠的对顶角为BOD ∠；∠BOE 的邻补角为AOE ∠，
故答案为：BOD ∠，AOE ∠；
（2）设2BOE x ∠=，
23BOE EOD ∠∠=::，
3EOD x ∴∠=，
70AOC ∠=︒，
70BOD EOD BOE AOC ∴∠=∠+=∠=︒，
2370x x ∴+=︒，
14x ∴=︒，
342DOE x ∴∠==︒．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，解题的关键是掌握对顶角相等，邻补角互补
三角形基础题型
11．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，点、、A B C 都在格点上．
(1)在网格中找到一点D ，点D 在格点上，并使得AD BC ∥且DC BC ⊥，连接AD ；
(2)平移ABC ，使点B 平移到点D ，点A 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ，画出平移后的图形EDF ；
(3)连接AE ，请直接写出三角形ADE 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查平移作图，借助网格求三角形的面积．解题的关键是掌握平移规则，正确的作图．
（1）根据AD BC ∥且DC BC ⊥，得到点D 的位置，连接AD 即可；
（2）根据点B 平移到点D ，确定平移规则，画出EDF ，即可；
（3）利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，AD 即为所求；
（2）解：如图所示，EDF 即为所求；
；
（3）解：三角形ADE 的面积为12332⨯⨯=．
12．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，AD 为ABC 的中线，BE 为ABD △的中线，过点E 作EF BC ⊥，垂足为点F ．
(1)若35ABC ∠=︒，20EBD ∠=︒，45BAD ∠=︒，求DEF ∠的度数；
(2)若ABC 的面积为20，2EF =，求CD ．
【答案】(1)10DEF ∠=︒
(2)5CD =
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
（1）根据三角形外角的性质得出453580EDF BAD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，根据直角三角形两锐角互余求
出结果即可；
（2）根据三角形中线的性质得出152BDE ABD S S ==，根据12BDE S BD EF =⨯△，求出5BD =，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵35ABC ∠=︒，45BAD ∠=︒，
∴453580EDF BAD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∵EF BC ⊥，
∴90EFD ∠=︒，
∴908010DEF ∠=︒−︒=︒；
（2）解：∵AD 为ABC 的中线，ABC 的面积为20， ∴1102ABD ABC S S ==，
∵BE 为ABD △的中线， ∴
152BDE ABD S S ==， ∵12BDE S BD EF =⨯△， ∴1252BD ⨯=，
解得：5BD =，
∵AD 为ABC 的中线，
∴5CD BD ==．
13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，AB BC =，E 是AB 的中点，CE BD ⊥．
(1)求证：BD CE =．
(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1）证BAD CBE ≌即可；
（2）证AED △是等腰三角形，再证45EAM DAM ∠=︒=∠即可；
【详解】（1）证明：如图所示：
90ABC ∠=︒，BD EC ⊥，
1390∴∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，
12∴∠=∠，
在BAD 和CBE △中，2190BA CB BAD CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，
(ASA)BAD CBE ∴≌△△，
BD CE ∴=；
（2）证明：E 是AB 中点，
EB EA ∴=，
BAD CBE ≌，
∴AD BE =，
AE AD ∴=，
∴AED △是等腰三角形
AD BC ∥，
45DAM ACB ∴∠=∠=︒，=90DAE ∠︒，
45EAM DAM ∴∠=︒=∠，
∴AC 是线段ED 的垂直平分线．
14．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，D 是ABC 的边AB 上一点，CF AB ∥，DF 交AC 于E 点，DE EF =．
(1)求证：ADE CFE ≌；
(2)若5AB =，4CF =，求BD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB AD −即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵CF AB ∥，
ADF F ∴∠=∠，A ECF ∠=∠．
在ADE V 和CFE 中，
A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS ADE CFE ∴≌．
（2）解：∵ADE CFE ≌，
4AD CF ∴==．
541BD AB AD ∴=−=−=．
15．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在ABC 中，A ABC ∠=∠，直线EF 分别交AB 、AC 和CB 的延长线于点D 、E 、F ，过点B 作BP AC ∥交EF 于点P ．
(1)若70A ∠=︒，25F ∠=︒，求BPD ∠的度数．
(2)猜想,,F FEC ABP ∠∠∠之间的数量关系并证明．
【答案】(1)65︒
(2)2F FEC ABP ∠+∠=∠，证明见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
（1）由平行线的性质可得70ABP A ABC ∠=∠=︒=∠，由三角形的外角性质可求解；
（2）由三角形内角和定理可得结论．
【详解】（1）解：70A ABC ∠=∠=︒，//BP AC ，
70ABP A ABC ∴∠=∠=︒=∠，
18027040PBF ∴∠=︒−⨯︒=︒，
254065BPD F PBF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（2）180F FEC C ∠+∠=︒−∠，180A ABC C ∠+∠=︒−∠，
22F FEC A ABP ∴∠+∠=∠=∠．
实数提高题型
16．（22-23七年级下·四川德阳·期中）计算： (1)8136+ (2)20224−− (3)()239642−−− (4)318164259−+−+
【答案】(1)15
(2)2020
(3)3− (4)2
3−
【分析】本题考查实数的混合运算：
（1）先开方，再进行加法运算即可；
（2）先去绝对值，开方运算，再进行减法运算；
（3）先进行开方运算，再进行减法运算；
（4）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式9615=+=；
（2）原式202222020=−=；
（3）原式3423=−−=−；
（4）原式
1122445241333=−+−+=−++=−． 17．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知2a b +与312b +互为相反数．
(1)求23a b −的平方根；
(2)解关于x 的方程420ax b +−=．
【答案】(1)4±
(2)9x =
【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程，解题关键是根据非负数的性质，求出a 、b 的值．
（1）根据非负数的性质求出24a b =⎧⎨=−⎩
，再求出2316a b −=，再根据平方根定义求出结果即可； （2）把24a b =⎧⎨=−⎩
代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：02312b a b ++=+，
∴
203120a b b +=⎧⎨+=⎩，解得：24a b =⎧⎨=−⎩ ∴()23223441216
a b −=⨯−⨯−=+=， ∵16的平方根为4±，
∴23a b −的平方根为4±．
（2）解：24(4)20x +⨯−−=，
21620x −−=，
9x =．
18．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）计算： (1)3816432−+−；
(2)()()281312214
−−÷+− 【答案】(1)73−
(2)7
3−
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根和立方根，再计算除法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：3816432−+−9423=−+−73=−；
（2）解：()()281312214−
−÷+−33212=−÷+−413=−−7
3=−．
19．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知21a −的平方根是3±，31a b +−的算术平方根是4，c 是13的整数部分，求2a b c +−的平方根．
【答案】6±
【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，估算无理数的大小等知识点，根据平方根的定义的219a −=，求出a ，根据算术平方根得出3116a b +−=，求出b ，再根据出13的范围，求出c ，最后求出答案即可．
【详解】解：21a −的平方根是3±，
219a ∴−=，
解得：5a =，
31a b +−的算术平方根是4，
3116a b ∴+−=，
即15116b +−=，
解得：2b =，
3134<<，c 是13的整数部分，
3c ∴=，
252236a b c ∴+−=+⨯−=，
2a b c ∴+−的平方根是6±．
20．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21−来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：479<<，即273<<，7∴的整数部分为2，小数部分为()72−．请解答： (1)57的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果13的的整数部分为a ，小数部分为b ，13ab a b m n ++=−，求mn 的平方根；
(3)已知：95x y +=+，其中x 是整数，且01y <<，求x y −的相反数．
【答案】(1)7，577−
(2)6± (3)513-
【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，平方根的求解，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）估算出57的范围，即可得出答案；
（2）分别确定出a 与b 的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到x 的值，进而求出y 的值，即可求出所求．
【详解】（1）解：495764<<，即7578<<，
57∴的整数部分是7，小数部分是577−，
故答案为：7，577−；
（2）91316<<∵，即3134<<，
13∴的整数部分是3，小数部分是133−，
3a ∴=，133b =−，
()31333133413913ab a b m n ∴++=−++−=−=−，
4m ∴=，9n =，
4936mn ∴=⨯=，
mn ∴的平方根为366±
=±， 故答案为：6±；
（3）459<<，即2133<<，
119512∴<+<，
95x y +=+，其中x 是整数，且01y <<，
11x ∴=，91511152y =+−=−， ()111521315x y ∴−=−−=−，
x y ∴−的相反数为1513−．
相交线 平行线提高题型
21．（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，AB BF ⊥，CD BF ⊥，12∠=∠，360∠=︒．
(1)求证：CD EF ∥；
(2)若AF 平分BAE ∠，求2∠的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了垂直定义、平行线的性质和判定以及角平分线的定义．
（1）由垂直定义证明AB CD ，再由12∠=∠，证明AB EF ∥，进而得到CD EF ∥； （2）由AB CD 得到3180EAB ∠+∠=︒，从而得到120EAB ∠=︒，再由AF 平分BAE ∠得到11602EAB ∠=∠=︒，则2∠的度数可求．
【详解】（1）证明：∵AB BF ⊥，CD BF ⊥，
∴90B CDF ∠=∠=︒，
∴AB CD ，
∵12∠=∠，
∴AB EF ∥,
∴CD EF ∥
（2）∵AB CD ，
∴3180EAB ∠+∠=︒，
∵360∠=︒，
∴1803120EAB ∠=︒−∠=︒，
∵AF 平分BAE ∠， ∴11602EAB ∠=∠=︒，
∵12∠=∠，
∴260∠=︒．
22．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线AB 和CD 相交于点,O OE 把AOC ∠分成两部分，且:3:5,AOE EOC OF ∠∠=平分∠BOE ．
(1)若72BOD ∠=︒，求∠BOE 的度数；
(2)若215BOF AOE ∠=∠+︒，求COF ∠的度数．
【答案】(1)153︒
(2)25︒
【分析】本题考查求角度，涉及邻补角、对顶角相等、角平分线定义等知识，根据题中条件，结合图形，数形结合表示出各个角的和差倍分关系是解决问题的关键．
（1）由对角线相等及已知条件，求出AOE ∠，再由邻补角定义求解即可得到答案；
（2）由角平分线定义及已知条件，得到2430BOE BOF AOE ∠=∠=∠+︒，再由邻补角定义列式代值求解即可解得30AOE ∠=︒，数形结合表示出所要求的角即可得到答案．
【详解】（1）解：72,:3:5AOC BOD AOE EOC ∠=∠=︒∠∠=，
3278AOE AOC ∴∠=∠⨯=︒，
180********BOE AOE ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒；
（2）解：OF 平分∠BOE ，
2430BOE BOF AOE ∴∠=∠=∠+︒，
180BOE AOE ∠+∠=︒，即430180AOE AOE ∠+︒+∠=︒，解得30AOE ∠=︒，
50,75EOC EOF BOF ∴∠=︒∠=∠=︒，
755025COF ∴∠=︒=︒−︒．
23．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，直线,AB CD 相交于点O ，BOD BOE ∠=∠，OF 平分COE ∠．
(1)判断OF 与OB 的位置关系，并说明理由；
(2)若:1:5AOC AOD ∠∠=，求EOF ∠的度数．
【答案】(1)⊥OF OB ，理由见解析
(2)60︒
【分析】此题主要考查了角平分线，垂线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．
（1）根据题意得到
12BOE DOE ∠=∠，12FOE COE ∠=∠，进而利用BOF BOE FOE ∠=∠+∠等量代换求解即可；
（2）首先根据:1:5AOC AOD ∠∠=结合180AOC AOD ∠+∠=︒得到
1180306AOC ∠=︒⨯=︒，然后根据垂线的性质求解即可．
【详解】（1）∵BOD BOE ∠=∠，OF 平分COE ∠ ∴12BOE DOE ∠=∠，12FOE COE ∠=∠ ∴()111111809022222BOF BOE FOE DOE COE DOE COE COD ∠=∠+∠=
∠+∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒ ∴⊥OF OB ；
（2）∵:1:5AOC AOD ∠∠=，且180AOC AOD ∠+∠=︒ ∴1180306AOC ∠=︒⨯=︒
∴30BOE DOB AOC ∠=∠=∠=︒
∵⊥OF OB
∴9060EOF BOE ∠=︒−∠=︒．
24．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）（问题）如图（1），若AB CD ，40AEP ∠=︒，120PFD ∠=︒，求EPF ∠的度数．
（2）问题迁移∶如图（2），AB CD ，点P 在AB 的上方，问PEA ∠，PFC ∠，EPF ∠之间有何数量关系？请说明理由．
（3）联想拓展∶如图（3）所示，在（2）的条件下，已知50EPF ∠=︒，120PFC ∠=︒，PEA ∠的平分线和PFC ∠
的平分线交于点G ，直接写出G ∠的度数．
【答案】（1）100︒；（2）PFC PEA EPF ∠=∠+∠，理由见解析；（3）25︒
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P 点作PN AB ，则PN CD ，可得FPN PEA FPE ∠=∠+∠，进而可得PFC PEA FPE ∠=∠+∠，
即可求解；
（3）过点G 作AB 的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）如图1，过点P 作PM AB ∥，
1AEP ∴∠=∠，
40AEP ∠=︒，
140∴∠=︒， ∥AB CD ，
PM CD ∴，
2180PFD ∴∠+∠=︒，
120PFD ∠=︒，
218012060∴∠=︒−︒=︒，
124060100∴∠+∠=︒+︒=︒，
即100EPF ∠=︒；
（2）PFC PEA EPF ∠=∠+∠，理由如下：
如图2，过P 点作PN AB ，则PN CD ，
PEA NPE ∴∠=∠，
FPN NPE EPF ∠=∠+∠，
FPN PEA EPF ∠=∠+∠∴，
PN CD ∥，
FPN PFC ∴∠=∠，
PFC PEA EPF ∠=∠+∠∴；
（3）如图3，过点G 作AB 的平行线GH ，
GH AB ∥，AB CD ，
GH AB CD ∴∥∥，
HGE AEG ∴∠=∠，HGF CFG ∠=∠，
又PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，
12HGE AEG AEP ∴∠=∠=∠，12HGF CFG PFC ∠=∠=∠，
由（2）可知，PFC EPF AEP ∠=∠+∠，
1()2HGF EPF AEP ∴∠=∠+∠，
111()222EGF HGF HGE EPF AEP AEP EPF ∴∠=∠−∠=
∠+∠−∠=∠， 50EPF ∠=︒，
25EGF ∴∠=︒．
25．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，直线,AB CD 被直线,EF MN 所截．
(1)若,,1115AB CD EF MN ∠=︒∥∥，试求3∠和4∠的度数；
(2)本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果填空：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角________；
(3)利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少60︒，求这两个角的度数．
【答案】(1)3115∠=︒，465∠=︒
(2)相等或互补
(3)这两个角的度数为30,30︒︒或60,120︒︒
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用；
（1）先根据平行线的性质可得12115∠=∠=︒，再根据平行线的性质求出24180∠+∠=︒，23115∠=∠=︒，然后可得答案；
（2）根据13115∠=∠=︒，14180∠+∠=︒可知这两个角相等或互补；
（3）设其中一个角的度数为x ，另一个角的度数为360x −︒，根据这两个角相等或互补分情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：∥AB CD ，
∴12115∠=∠=︒，
∵EF MN ∥， 24180∴∠+∠=︒，23115∠=∠=︒，
∴418011565∠=︒−︒=︒；
（2）由（1）可得：13115∠=∠=︒，14180∠+∠=︒，
∴如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）设其中一个角的度数为x ，另一个角的度数为360x −︒，
根据题意得：360x x −︒=或360180x x −︒+=︒，
解得30x =︒或60︒，
当30x =︒时，36030x −︒=︒；
当60x =︒时，360120x −︒=︒；
所以这两个角的度数为30,30︒︒或60,120︒︒．
三角形提高题型
26．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）已知AM CN ∥，点B 在直线AM ，CN 之间，AB BC ⊥于点B ．
(1)如图1，MAB ∠与NCB ∠之间满足的数量关系为______；
(2)如图2，MAB ∠与NCB ∠之间满足怎样的数量关系？说明理由；
(3)如图3，AD 平分MAB ∠，CE 平分NCB ∠交AM 于点E ，AD 与CE 交于点F ，请直接写出AFE ∠的度数．
【答案】(1)90MAB NCB ∠+∠=︒
(2)90NCB MAB ∠−∠=︒，理由见解析
(3)45AFE ∠=︒
【分析】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，过点B 作BE AM ∥是解题的关键．
（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，
BE AM ∥，
A ABE ∴∠=∠．
BE AM ∥，AM CN ∥，
BE CN ∴∥．
C CBE ∴∠=∠．
AB BC ⊥，
90ABC ∴∠=︒．
90A C ABE CBE ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒．
故答案为：90MAB NCB ∠+∠=︒；
（2）MAB ∠与NCB ∠满足：90NCB MAB ∠−∠=︒．理由：
过点B 作BE AM ∥，如图，
BE AM ∥，
A ABE ∴∠=∠．
BE AM ∥，AM CN ∥，
BE CN ∴∥．
180C CBE \Ð+Ð=°．
180CBE C ∴∠=︒−∠．
AB BC ⊥，
90ABC ∴∠=︒．
90ABE CBE ∴∠+∠=︒．
18090A C ∴∠+︒−∠=︒．
90NCB MAB ∴∠−∠=︒．
（3）∵AD 平分MAB ∠， ∴12MAD MAB ∠=∠，
∵CE 平分NCB ∠， ∴12ECN BCN ∠=∠，
∵AM CN ∥，
∴180ECN AEF ∠+∠=︒， ∴11801802AEF ECN BCN ∠=︒−∠=︒−∠，
∴180AFE MAD AEF ∠=︒−∠−∠ ∴
1118018022AFE MAB BCN ⎛⎫∠=︒−∠−︒−∠ ⎪⎝⎭， 即
()12AFE BCN MAB ∠=∠−∠ 由（2）知：90BCN MAB ∠−∠=︒，
∴45AFE ∠=︒．
故答案为：45︒．
27．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD 中，90,,︒∠=⊥∥ABC AD BC DE AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．
(1)求证：ABC AFE ≌；
(2)如图2，连接AG ，若30ACB ∠=︒，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是BEG 面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)AEG ACG ACD ADG CDG △,△,△,△,△
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用AAS 即可证明ABC AFE ≌；
（2）先证明BA BE =，则
2AEG BEG S S =△△，再证明AEG ACG △≌△，则2ACG BEG S S =△△，由ACG 与CDG 同底等高，得
2GCD BEG S S =△△，再证明ADC AGC △△≌，则2ACD BEG S S =△△，最后ACG 与CDG 同底等高， 得ACG GCD S S =△△，所以2GCD BEG S S =△△．
【详解】（1）证明：∵DE AC ⊥
90AFE ∴∠=︒
90ABC ∠=︒
∴AFE ABC ∴∠=∠
∴在ABC 和AFE △中，
ABC AFE BAC FAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴ABC AFE ≌；
（2）
∵ABC AFE ≌
∴AB AF =，
∵AG AG =，
∴()Rt Rt HL ABG AFG ≌，
∴12∠=∠
∵30ACB ∠=︒， ∴11260302∠=∠=⨯︒=︒
∵ABC AFE ≌，AE AC =
∴30ACB E ∠=︒=∠，
∴1E ∠=∠，
∴GA GE =，
∵90ABC ∠=︒，
∴BA BE =，
∴2AEG BEG S S =△△
∵AG AG = 12∠=∠，AE AC =,
∴AEG ACG △≌△，
∴2ACG BEG S S =△△
∵AD BC ∥
∴ACG 与CDG 同底等高，
∴
ACG GCD S S =△△, ∴2GCD BEG
S S =△△ ∵1230∠=∠=︒，∴30DAC ∠=︒，
∴230DAC ∠=∠=︒,
∴60ADG AGD ∠=∠=︒，
∴AD AG =，∵AC AC =，
∴ADC AGC △△≌，
∴2ACD BEG S S =△△，
∵AD BC ∥
∴ACD 与DAG 同底等高，
∴
ACD GAD S S =△△， ∴2AGD BEG S S =△△，
∴AEG ACG ACD ADG CDG △,△,△,△,△的面积为BEG 面积的2倍．
28．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】如图①，在ABC 中，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线．
【应用】
（1）若40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BPC ∠=________；（直接写出答案）
（2）若80BAC ∠=︒，求出BPC ∠的度数；
（3）写出BPC ∠与A ∠之间的关系并证明；
【拓展】
（4）如图②，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别是ABC ∠和BCD ∠的角平分线，直接写出BPC ∠与A D
∠+∠的数量关系．
【答案】（1）120︒；（2）130BPC ∠=︒；（3）1902BPC A ∠=︒+∠；证明见解析；（4）2A D BPC ∠+∠=∠
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理求解；
（3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】解：（1）∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒， ∴11204022PBC ABC PCB ACB ==︒==︒∠∠，∠∠，
∴112800BPC PBC PCB ︒=︒∠=−∠−∠．
（2）∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线， ∴
12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， ∴()111801801809022BPC PBC PCB BAC BAC ∠=︒−∠−∠=︒−
︒−∠=︒+∠， ∵80BAC ∠=︒， ∴1190908013022BPC BAC ∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒．
（3）1902BPC A ∠=︒+∠；理由如下：
∵、BP CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线， ∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，
∴180BPC PBC PCB ∠=︒−∠−∠
()
180PBC PCB =︒−∠+∠ ()11802ABC ACB =︒−
∠+∠ ()11801802A =︒−︒−∠
1902A =+∠︒；
（4）2A D BPC ∠+∠=∠．
如图，延长BA CD ，，交于点E ，由（3）知，1902BPC E ∠=︒+∠，
∵,BAD E ADE CDA E DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，
∴180BAD CDA E E ADE DAE E ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+∠，
∴180E BAD CDA ∠=∠+∠−︒， ∴1902BPC E ∠=︒+∠
()1901802BAD CDA =︒+∠+∠−︒
()190902BAD CDA =︒+
∠+∠−︒ ()12BAD CDA =∠+∠，
即2BAD CDA BPC ∠+∠=∠．
29．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．
（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析
【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；
（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，
在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()SAS ABE ADG ∴≌，
AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，
60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，
60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠−∠=︒=∠，
GAF EAF ∴∠=∠，
在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()
SAS AEF AGF ∴≌，
EF FG ∴=， FG DG DF BE DF =+=+，
EF BE DF ∴=+；
（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：
如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，
在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()SAS ABE ADG ∴≌，
AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，
12EAF BAD ∠=∠，
GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠−∠=∠，
GAF EAF ∴∠=∠，
在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()
SAS AEF AGF ∴≌，
EF FG ∴=， FG DG DF BE DF =+=+，
EF BE DF ∴=+．
30．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在ABC 中，24cm AB AC ==，18cm BC =，B C ∠=∠，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上由点B 出发向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 出发向点A 运动，设运动时间为(s)t ．
(1)若点P 与点Q 的速度都是3cm/s ，则经过多长时间BPD △与CQP V 全等？请说明理由．
(2)若点P 的速度比点Q 的速度慢3cm/s ，则经过多长时间BPD △与CQP V 全等？请求出此时两点的速度．
(3)若点P 、点Q 分别以（2）中的速度同时从点B ，C 出发，都按逆时针方向沿ABC 三边运动，则经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？相遇点在ABC 的哪条边上？请求出相遇点到点B 的距离．
【答案】(1)2s ，理由见解答过程
(2)经过1s ，点P 的速度是9cm/s ，则点Q 的速度是12cm/s 时，BPD △与CQP V 全等
(3)经过16s 点P 与点Q 第一次相遇，在BC 边上相遇，相遇点到点B 的距离为12cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用；
（1）根据等腰三角形的性质可得出B C ∠=∠，由点P 、Q 同速同时出发可得出BP CQ =，结合全等三角形的判定定理可得出当BD CP =时BPD △与CPQ 全等，进而即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设点P 的速度为x cm/s ，则点Q 的速度为s (3)cm/x +，由BP CQ ≠、B C ∠=∠结合全等三角形的性质可得出BD CQ =、BP CP =，进而即可得出关于t 、x 的方程组，解之即可得出结论；
（3）根据路程=速度⨯时间结合点P 、Q 相遇，即可得出关于t 的一元一次方程，解之可求出t 值，由点P 的路程=点P 的速度⨯运动时间可求出点P 的路程，再结合CA 、AB 、BC 的长度，即可找出点P 、Q 第一次相遇时的位置，此题得解．
【详解】（1）点P 与点Q 的速度都是3cm/s ，
3BP CQ t ∴==，
B C ∠=∠，24AB AC ==，18BC =，
∴要使BPD △与CQP V 全等，则需BD CP =，
即18312t −=，2t s ∴=，
即经过2s 的时间BPD △与CQP V 全等；
（2）设点P 的速度是x cm/s ，则点Q 的速度是s (3)cm/x +，
BP xt ∴=，(3)CQ x t =+，
BP CQ ∴≠，
B C ∠=∠，要使BPD △与CQP V 全等，则需BD CQ =，BP CP =，
∴(3)1218x t xt xt +=⎧⎨=−⎩，解得：91x t =⎧⎨=⎩，
∴经过1s ，点P 的速度是9cm/s ，则点Q 的速度是12cm/s 时，BPD △与CQP V 全等；
（3）设经过()t s 点P 与点Q 第一次相遇，
则12948t t −=，
16()t s ∴=，
P ∴的路程916144=⨯=，
144(242418)212=++⨯+，
∴经过16s 点P 与点Q 第一次相遇，在BC 边上相遇，相遇点到点B 的距离为12cm ．
实数压轴题型
31．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知322x x −+=，且331y −与312x −互为相反数，求x ，y 的值．
【答案】3x =，2y =，或者1x =，
23y =，或者2x =，43y = 【分析】将等式322x x −+=变型为322x x −=−，再两边同时立方，得到()322x x −=−，再采用因式分
解法求出x 的值，再根据相反数的定义求出y 的值，问题随之解得． 【详解】322x x −+=，
322x x −=−，
()
322x x −=−， ()()3220x x −−−=，
()()22120x x ⎡⎤−−−=⎣⎦，
()()()212120x x x −−−+−=
()()()3120x x x −−−=，
∴30x −=，或者10x −=，或者20x −=，
∴3x =，或者1x =，或者2x =， ∵331y −与312x −， ∴33
31120y x −+−=， ∴33
3112y x −=−−， ∴1321x y −=−， ∴
23x
y =， 当3x =时，2y =，
当1x =时，
23y =， 当2x =时，4
3y =，
即3x =，2y =，或者1x =，23y =，或者2x =，43y =．
【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，立方根的性质等知识，求出3x =，或者1x =，或者2x =，是解答本题的关键．
32．（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2−，设点B 所表示的数为m .
(1)m = ______.
(2)求11m m ++−的值；
(3)在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有26c +与4d −互为相反数，求23c d +的平方跟.
【答案】(1)2+2−
(2)2 (3)22±
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得10m +>、10m −<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出c 、d 的值，再代入23c d +，进而求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2−
∴点B 表示2+2− ∴2+2m =−． 故答案为：2+2−．
（2）解：∵2+2m =− ∴1221230m +=−++=−+>，1221210m −=−+−=−+<
∴11m m ++−()11m m =+−−11m m =+−+2
=． （3）解：∵24c +与4d −互为相反数 ∴2440
c d ++−= ∴2+4=0c ，40d −=
∴2c =−，=4d
∴2+32(2)+348=⨯−⨯=c d ∴2+3822±=±=±c d ，
即2+3c d 的平方根是22±．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
33．（22-23七年级上·广东茂名·期中）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：
21324+==，
213539++==，
21357416+++==，
213579525++++==．
(1)试猜想13579...37++++++= ( )2 = ；
(2)试猜想()1357...21n ++++++= ( )2(用含n 的代数式表示结果）；
(3)按上述规律计算101103105...201920212023++++++的值．
【答案】(1)19，361
(2)1n +
(3)1021644
【分析】（1）（2）通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首项加尾项的一半的平方，根据此规律列式计算可得答案；
（3）根据上述所发现的规律，101103105...201920212023++++++的值等于13...20212023++++减去13...9799++++ ．
【详解】（1）13579...37++++++=2
213719361
2+⎛⎫== ⎪⎝⎭ ； 故答案为19，361
（2）()1357...21n ++++++=()2
212112n n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； 故答案为1n +
（3）101103105...201920212023++++++＝（13...20212023++++）− （13...9799++++） ＝22
221202319910125022++⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1021644=
【点睛】本题考查有理数求和的有关规律，关键是仔细观察题干，总结出共性规律．
34．（22-23七年级上·广东佛山·期中）定义一种新运算“f ”：()f n 表示n 在运算f 作用下的结果．若()()2
21f n n n =−−表示n 在运算f 作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：
()()2211111f =−−=，
()()2222213f =−−=，
()()2233315f =−−=， ……
根据以上定义完成以下问题：
(1)计算()20f 的值；
(2)计算()()()()12320f f f f ++++的值； (3)计算()()()()()()()()11111223341920f f f f f f f f ++++⨯⨯⨯⨯的值． 【答案】(1)39
(2)400
(3)19
39
【分析】（1）根据新运算
()()221f n n n =−−，令20n =即可求得()20f 的值； （2）利用新运算()()221f n n n =−−可分别求得()()()()
12320f f f f 、、、、的值，代入()()()()12320f f f f ++++即可求解； （3）把()()()()
12320f f f f 、、、、的值，代入所求的算式计算即可求解．
【详解】（1）解：当20n =时，
()()22222020201=2019=39f =−−−； （2）解：∵()()2211111
f =−−=， ()()2222213
f =−−=，
()()2233315f =−−=，
……，
()()2
2222020201=2019=39f =−−−
∴()()()()12320f f f f ++++ ()()()()2222222211122133120201=−−+−−+−−+
+−−
222222221021322019=−+−+−+
+− 22020=−+ 400=
（3）解：()()()()()()()()1111
1223341920f f f f f f f f ++++⨯⨯⨯⨯ 11111335573739=
++++⨯⨯⨯⨯ 1111111111112323525723739⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 1111111112335573739⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111239−=
⎛⎫ ⎪⎝⎭
138239=
⨯ 19
39=
【点睛】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 35．（22-23八年级上·四川资阳·阶段练习）阅读材料：如果一个数的平方等于1−，记为21i =−，这个数i 叫
做虚数单位，那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．
它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
(2)(34)(23)(14)53i i i i ++−=++−=−；2(3)331i i i i i +=+=−．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如12i +的共轭复数为12i −．
根据材料回答：
(1)填空：3i =______，4i =________；
(2)求(2)(2)i i ++的共轭复数；
(3)已知()()13a i b i i ++=+，求222342020()a b i i i i +++⋯+的值．
【答案】(1)i −，1
(2)34i −
(3)4i −或14i −
【分析】（1）根据21i =−，则32i i i =g ，422i i i =g ，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现2
i ，化简为1−计算，再根据共轭复数的定义即可求解；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a ，b 的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：21i =−， 321i i i i i ∴==−=−，
4221(1)1i i i ==−⨯−=；
故答案为：i −，1．
（2）22(2)4414434i i i i i +=++=−++=+，
故2(2)+i 的共轭复数是34i −；
（3）()()1()13a i b i ab a b i i ++=−++=+，
11ab ∴−=，3a b +=，
解得1a =，2b =或2a =，1b =，
当1a =，2b =时，222342020()14(11111)14a b i i i i i i i i i +++⋯+=+−−++⋯++−−+=−；
当2a =，1b =时，222342020()41(11111)4a b i i i i i i i i i +++⋯+=+−−++⋯++−−+=−．
故222342020()a b i i i i +++⋯+的值为4i −或者14i −．
【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；
（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移．
相交线 平行线压轴题型
36．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB CD ，点O 为AB 上方一点，E F 、为CD 上两
点，连接OE OF 、，分别交AB 于M N 、两点，OE OF ⊥．
(1)如图1，求证：90OFD OMN ∠−∠=︒；
(2)如图2，点G 为EF 上一点，连接MG ，作NH MG ⊥垂足为H ，NMH NFG ∠=∠，求证：OM NH ∥；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接GN 并延长GN 到点P ，连接EP ，若:3:5NGF MGF ∠∠=，
:2:5OEP OEG ∠∠=，求P ∠的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)54°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键
（1）过点O 作OQ AB ∥，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；。