重庆专版2017届中考数学总复习第二轮中档题专项突破专项突破八与代数几何有关的概率计算课件
重庆市2017年中考数学 第二部分 题型研究 题型八 二次函数综合题讲义
【思维教练】要使SD－SB的值最大，则需分两种情 况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由 三角形三边关系得到SD－SB<BD；②当三点共线时， 有SD－SB＝BD.从而得到当点S在DB的延长线上时 满足条件，求出直线BD的解析式后，求出直线BD 与y轴的交点坐标即可．
例1题解图④
∵B(1，0)，D( 5 ， 9 )，
(4)存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF
最小，在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理
得BC＝ 12 22 5 为定值，
∴当BF＋CF最小时，C△BCF最小． ∵点B与点A关于直线l对称，
∴AC与对称轴l的交点即为所
求的点F，如解图③所示．
例1题解图③
根据抛物线解析式可得对称轴l为直线 x＝ 5 .
【思维教练】要求GD＋GB的值最小，解决方法为找 其中一点的对称点，将两条线段转化成一条线段求解， 即先找点B关于y轴的对称点B′，再连接B′D，则B′D 与y轴的交点即为所求的G点，可先求直线B′D的解析 式，再求其与y轴的交点即可．
(3)存在．如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则
点B′的坐标为(－1，0)．连接B′D，直线B′D与y轴的
题型八二次函数综合题
类型一与线段、周长有关的问题 类型二 与面积有关的问题 类型三与特殊三角形有关的问题 类型四与特殊四边形有关的问题
类型一 与线段、周长有关的问题
典例精讲
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于 点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝ 1 x－2经过
2 点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
28
∴易得直线BD的解析式为y＝ 3 x－ 3 ，
重庆市2017年初中毕业暨高中招生考试数学模拟试题(二)参考答案
参考答案一、选择题1—6 D B B C D C7—12 C A A C B B二、填空题13、22(1x -） 14、4.5×103 15、5316、43π 17、 14 18、 三、解答题19、解：① +② 得：5x =10，即x =2，将x =2代入①得：y =1， 则方程组的解为20、证明：在△ABC 和△ABD 中∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ABD (SAS )∴AC ＝BD四、解答题21、解：原式=1a a+×(1)(1)a a a -+－221(1)a a -- =11a -－221(1)a a -- =221(1)a a a -+- =21(1)a a --=11a -，当a =2时，原式=11a-=－1． 22、解：（1）三班获奖人数=6×15﹣14﹣16﹣17﹣15﹣15=13，折线统计图如图，该年级获奖人数最多的班级为四班；（2）二班参赛人数=16÷32%=50（人），所以全年级参赛人数=6×50=300（人）；（3）画树状图为：，共有12种等可能的结果数，其中恰好是1男1女占8种，所以恰好是1男1女的概率==．23、解：设购买A 型和B 型公交车每辆各需x 、y 万辆，由题意得： ⎩⎨⎧=+=+35024002y x y x ，解得：⎩⎨⎧==150100y x 答：购买A 型和B 型公交车每辆各需100、150万辆.（2）设购买A 型公交车m 辆,则购买B 型公交车（10－m ）辆，由题意得： ⎩⎨⎧≥-+≤-+680)10(100601200)10(150100m m m m ，不等式组的解集为：86≤≤m ,∵m 为正整数，∴m =6,7,8.∴购车方案有三种：①A 型6辆；B 型4辆；②A 型7辆；B 型3辆；③A 型8辆；B 型2辆；方案③购车方案最少，最少总费用=1100万元24、（1）证明：∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ， ∵DE ∥AB ，∴∠ABD=∠BDE ，∴∠CBD=∠BDE ，∴BE=DE ,∵DE ∥AB ，EF ∥AC ,∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF =DE ,∴BE=AF .(2)解：如图：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD ,∵∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵BD=6，∴DG =3，∵BE=DE ,EH ⊥BD ,∴DH =BH =3，∴DE=︒30cos 3=23，∴AF =23， ∴S □ADEF =23×3=63.五、解答题25、解：（1）①由T (1，－1)= －2，T (4，2)=1得2112)1(1-=-⨯-⨯+⨯b a 和124224=+⨯⨯+⨯b a即⎩⎨⎧=+-=-10242b a b a ，解得⎩⎨⎧==31b a ． 由①得T (x ，y )=y x y x ++23，则不等式组(2,54)4(,32)T m m T m m p -≤⎧⎨->⎩可化为105539m m p -≤⎧⎨->-⎩ 解得m ≤-21＜539p -． 不等式组(2,54)4(,32)T m m T m m p -≤⎧⎨->⎩恰好有3个整数解， 所以2＜539p -≤3，解得－2＜p ＜31-． （2）因T (x ，y )= T (y ，x )，所以=++yx by ax 2x y bx ay ++2． 即)2)(()2)((y x bx ay y x by ax ++=++．即有0)2()2(22=-+-y a b x b a 对于任意实数x ，y 都成立，故a －2b =0，所以a =2b ．26、解：（1）由题意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y =（2）如图①，设P （a ，a 2﹣1），就有OE =a ，PE =a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ =2，∴QP =a 2+1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ==，∴PO =PQ ；（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，）．h。
重庆市2017年中考数学第二部分题型研究题型七几何图形探究题课件
类型一
几何图形探究题
几何图形旋转探究
类型二
类型三
几何图形动点探究
几何图形背景变换探究
类型一
几何图形旋转探究
典例精讲
例 1 如图①，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D 为
BC边上一点，且DE＝CD，连接BE. (1)若CE＝4，BC＝6 3 ，求线段BE的长； (2)如图②，取BE中点P，连接AP、PD、AD，求证： AP⊥PD且AP＝ 3 PD； (3)如图③，把图②中的△CDE 绕点 C 顺时针旋转任
(2)如图②，求证：BC＝ 2 (AE＋AF)；
(3)如图③，点M是线段EF的中点，连接AM，在
线段AB上是否存在点E，使得BC＝4AM？若存在，
求∠EAM的度数；若不存在，请说明理由．
(1)【思维教练】要求EF的长，已知点D、E分别为 BC、AB的中点，且∠FDE＝90°，可想到运用中位 线的知识，只需证明F为AC的中点即可． 证明：∵点D、E分别是BC、AB的中点， ∴DE∥AC， 又∵DF⊥DE， ∴∠FDE＝∠AFD＝90°， ∵∠BAC＝90°，
例2题解图①
∵∠C＝45°，∴∠EAD＝∠C， ∵∠ADE＋∠ADF＝90°，∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中，
∠EAD＝∠C
∠ADE＝∠CDF
例2题解图①
AD＝CD
∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC，
∴BC＝ 2 AC＝ 2 (FC＋AF)＝ 2 (AE＋AF)．
解：成立．
证明：如解图③，延长DP到M，使得PM＝PD，连
接AM、BM，延长ED交BC于N，
在△BPM和△EPD中，
BP PE BPM EPD PM PD
中考数学 第二部分 题型研究 题型三 几何图形综合题针对演练(2021学年)
重庆市20１7年中考数学第二部分题型研究题型三几何图形综合题针对演练编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市2017年中考数学第二部分题型研究题型三几何图形综合题针对演练)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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题型三几何图形综合题类型一几何计算（静态)针对演练1. 如图，在ＡＢCD中，AB=6,ＡD＝9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为Ｇ,若BG=４错误!,则△CＥF的面积是( )A。
2 B。
２错误! C. 3错误!Ｄ. 4错误!第1题图第2题图第3题图2。
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BＣ＝2，点E为AD中点，点Ｆ为BC边上任一点,过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点Ｇ，H,则FG+FH为（)Ａ. ＼ｆ(5,2) B。
错误! C. 错误!Ｄ。
错误!3. 如图,在正方形ＡＢCD中，E为ＡＤ的中点，DＦ⊥ＣE于M，交ＡC于点N，交AB于点Ｆ,连接EＮ、ＢM.有如下结论:①△AＤF≌△DCＥ;②MN=ＦN；③CN=2ＡN;④S△AＤN∶S四＝２∶5；⑤∠ADＦ=∠BMF。
其中正确结论的个数为边形CNFＢ（) A。
２个B。
３个Ｃ. 4个D。
５个4.如图，在正方形ABCD中,点E、Ｆ分别在AB、ＡD边上，且ＢＥ＝AF,连接CＥ、ＢF,它们相交于点G，点Ｈ为线段ＢE的中点，连接GＨ.若∠EHＧ＝错误!∠DＣＥ,则∠AＢF等于＿_______度．第4题图第5题图第6题图5。
如图,在菱形AＢＣD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点，连接ＰG、PＣ。
重庆市中考数学 第二部分 题型研究 二、解答题重难点突破 题型二 新定义问题-人教版初中九年级全册数
新定义问题针对演练1. （2015某某）平面直角坐标系中，点P （x ,y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |,纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P (x ,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P (x ,y )的勾股值，记为［P ］，即［P ］＝|x |+|y |.(其中的“+”是四则运算中的加法) （1）求点A (-1,3),B (3+2，3-2)的勾股值［A ］，［B ］; （2）点M 在反比例函数y =x3的图象上，且［M ］＝4，求点M 的坐标； (3)求满足条件［N ］=3的所有点N 围成的图形的面积.2. （2014某某）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=yx byax ++2（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=10210+⨯⨯+⨯b a =b .（1）已知T （1，-1）=-2，T （4，2）=1. ①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组⎩⎨⎧>≤pm m T m m T )2-,3(4)4-,5(2恰好有3个整数解，某某数p 的取值X 围；（2）若T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？3. 先阅读下列材料，并解决后面的问题. 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：记为a n ，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）.一般地，若a n=b （a >0且a ≠1，b >0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为：log a b （即log a b =n ). 如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381(即log 381＝4）.问题：（1）计算以下各对数的值：log24=;log216=;log264=；（2）观察（1）中三个数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=(a>0且a≠1,M>0,N>0)；（4）根据幂的运算法则：a n·a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论.4. （2015某某）观察下表我们把表格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y，回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为.；（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为-16，①求x，y的值；②在此条件下，第n格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值；若没有，说明理由.5. （2014某某）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.第5题图6. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空（填“正确”或“不正确”）;②若某三角形的三边长分别是2、4、10，则△ABC 是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）；（2）①若Rt△ABC 是奇异三角形，且其两边长分别为2、22，则第三边的边长为；且此直角三角形的三边之比为（请按从小到大排列）;②在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且b ＞a ，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a ∶b ∶c ；（3）在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABD ，点E 是AC 上方的一点，且满足AE =AD ，CE =CB .求证：△ACE 是奇异三角形.7. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： sin （α±β）=sin αcos β±cos αsin β tan （α±β）=βαβαtan tan 1tan tan ⋅±利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值. 例：tan15°=tan（45°-30°）=︒⋅︒+︒︒tan30tan451tan30-tan45=331133-1⨯+=)3-)(33(3)3-)(33-(3+=636-12=2-3.根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题： （1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图①），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图②，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶B 的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.（精确到，参考数据3≈1.732,2≈1.414）第7题图8. 对于非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如果n -21≤x ＜n +21，则＜x ＞=n .如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…,试解决下列问题： （1）填空：①＜π＞=（π为圆周率）； ②如果＜2x -1＞=3，则实数x 的取值X 围为；（2）试举例说明：当x =，y =时，＜x +y ＞=＜x ＞+＜y ＞不恒成立；（3）求满足＜x ＞=34x 的所有非负实数x 的值.9. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|； 若|x 1-x 2|＜|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|.例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）.图① 图② 第9题图 （1）已知点A （-21，0），B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）如图②，已知C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标. 【答案】 针对演练1.解：（1）［A ］=|-1|+|3|=4，［B ］=|2+3|+|3-2|=2+3+2-3=4. （2）设点M 的横坐标为x ，则它的纵坐标是y =x3， 由［M ］＝4得：|x |+|x3|=4, 即|x |2-4|x |+3=0, 解之得：|x |=3或|x |=1,∴x ＝3或x ＝-3或x ＝1或x ＝-1， ∴满足条件的点M 有4个：M 1(3,1),M 2(-3,-1),M 3(1,3),M 4(-1,-3).（3）满足条件［N ］＝3的所有点组成的图形是正方形， 正方形的4个顶点依次为（3，0）（0，3）（-3，0）（0，-3）， ∴所有点N 围成的图形面积为18.2.解:（1）①根据题意得：T （1，-1）=1-2-ba =-2，即a -b =-2； T =（4，2）=2824++ba =1，即2a +b =5，解得：a =1，b =3.②由①得T (x ,y )=yx yx ++23.根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++②① 2-32)2-3(3 44-54)4-3(52p mm m m mm m m ，解①得：m ≥-21，解②得：m ＜53-9p .∴不等式组的解集为-21≤m ＜53-9p，∵不等式组恰好有3个整数解，即m =0，1，2， ∴2＜53-9p≤3，解得：-2≤p ＜-31. （2）由T （x ，y ）=T （y ，x ），得到y x by ax ++2=yx byax ++2，整理得：（x 2-y 2）（2b -a ）=0，∵T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立， ∴2b -a =0，即a =2b . 3.(1)解：2；4；6. 【解法提示】∵22＝4，∴log 24＝2，∵24＝16，∴log 216＝4， ∵26＝64，∴log 264＝6.（2）解:4×16＝64，log 24+log 216=log 264. （3）解:log a （MN ）.(4)证明：设log a M ＝b 1,log a N =b 2,则a b 1=M ,a b 2=N ,∵a b 1·a b 2=ab b +12, ∴b 1+b 2=log a （a b 1·a b 2）=log a(MN ),即log a M +log a N =log a (MN ).4.解:(1)16x ＋9y ;25x ＋16y;(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数).【解法提示】仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求得答案即可.观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4x ＋y ， 第2格的“特征多项式”为 9x ＋4y ， 第3格的“特征多项式”为 16x ＋9y ， 第4格的“特征多项式”为25x ＋16y ， …第n 格的“特征多项式”为(n +1)2x ＋n 2y (n 为正整数). (2)①∵第1格的“特征多项式”的值为－10， 第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧=+=+-1649-104y x y x ,解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==726724-y x ,∴x 、y 的值分别为724-, 726. ②设最小值为W ，则依题意得：W =(n +1)2x +n 2y =724- (n +1)2+726n 2=72 (n 2-24n -12)= 72 (n -12)2-7312.∴第n 格的“特征多项式”有最小值为-7312，相应的n 值为12. 5.（1）解:正方形、矩形、直角梯形任选两个均可. （2）证明：①∵△ABC ≌△DBE ， ∴BC =BE ， ∵∠CBE =60°， ∴△BCE 是等边三角形. ②∵△ABC ≌△DBE ， ∴BC ＝BE ，AC =ED . ∵△BCE 为等边三角形， ∴BC =CE ，∠BCE =60°， ∵∠DCB =30°，∴∠DCE=∠BCE+∠DCB＝90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵BC=CE,AC=DE,∴DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.6.解:（1）①正确；【解法提示】设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴小红提出的命题是正确的.②是.【解法提示】∵22+42=2×（10）2，∴符合“奇异三角形”的定义，∴△ABC是奇异三角形.（2）①23；1∶2∶3.【解法提示】∵22+（23）2=2×（22）2，且22+（22）2＝（23）2，∴第三边的边长为23,∴此直角三角形的三边之比为2∶22∶23=1∶2∶3.②∵∠ACB=90°，则a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=2a，c=3a，∴a∶b∶c=1∶2∶3.（3）∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，∴AB 是⊙O 的直径，∴AB 2=AD 2+BD 2=2AD 2，∴AC 2+CB 2=AB 2=2AD 2，又∵CB=CE ，AE=AD ， ∴AC 2+CE 2=2AE 2，∴△ACE 是奇异三角形.7.解:（1）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30° =22×23-22×21 =46-42=42-6. （2）在Rt△BDE 中，∵∠BED =90°，∠BDE =75°，DE =AC =7米，∴BE =DE ·tan∠BDE =DE ·tan75°.∵tan75°=tan（45°+30°） =︒⋅︒︒+︒tan30tan45-1tan30tan45 =331-1331⨯+ =2+3，∴BE =7（2+3）=14+73，∴AB =AE +BE =1.62+14+73≈27.7（米）.∴乌蒙铁塔的高度约为.8.解:（1）①3； ②47≤x <49.【解法提示】如果＜2x -1＞=3，可得3-21≤2x -1＜3+21, 解得：47≤x <49. （2）0.6;0.7.【解法提示】说明：设x =n +a ，其中n 为x 的整数部分（n 为非负整数），a 为x 的小数部分（0≤a ＜1）. 分两种情况：（Ⅰ）当0≤a ＜21时，有＜x ＞=n , ∵x +y =（n +y ）+a ，这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分，∴＜x +y ＞=n +y ,又＜x ＞+y =n +y ,∴＜x +y ＞=＜x ＞+y . （Ⅱ）当21≤a ＜1时，有＜x ＞=n +1, ∵x +y =（n +y ）+a ,这时（n +y ）为（x +y ）的整数部分，a 为（x +y ）的小数部分，∴＜x +y ＞=n +y +1,又＜x ＞+y =n +1+y =n +y +1,∴＜x +y ＞=＜x ＞+y .综上所述：＜x +y ＞=＜x ＞+y ，∴x 可取0.6，y 取0.7（x 可取0.4，y 取0.4，答案不唯一）.（3）设34x =k （k 为非负整数），则x =43k ，根据题意可得： k -21≤43k <k +21， 即-2<k ≤2，∵k 为非负整数，∴k =0，1，2， ∴x =0，43,23. 9.解:（1）①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为（0，y ）.∵|-21-0|=21≠2， ∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2.∴点B 的坐标是（0，2）或（0，-2）.②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为21. （2）如解图，取点C 与点D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|，即AC =AD .∵C 是直线y =43x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1）， ∴设点C 的坐标为（x 0，43x 0+3）， ∴-x 0=43x 0+2，此时，x 0=-78， ∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=78， 此时C （-78，715）.第9题。
重庆市渝中区巴蜀中学2017年中考数学二模试卷(解析版)
重庆市渝中区巴蜀中学2017年中考数学二模试卷（解析版）一、选择题1.﹣2017的相反数是（）A. ﹣2017B. 2017C. ﹣D.2.在以下奢侈品牌的标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.（a2）3÷a4的计算结果是（）A. aB. a2C. a4D. a54.下列调查中不适合抽样调查的是（）A. 调查“华为P10”手机的待机时间B. 了解初三（10）班同学对“EXO”的喜爱程度C. 调查重庆市面上“奶牛梦工场”皇室尊品酸奶的质量D. 了解重庆市初三学生中考后毕业旅行计划5.估算+ ÷ 的运算结果应在（）A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间6.若代数式有意义，则x的取值范围是（）A. x＞1且x≠2B. x≥1C. x≠2D. x≥1且x≠27.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是直径，且∠CAD=56°，则∠B的度数为（）A. 44°B. 34°C. 46°D. 56°8.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 99.若（x﹣1）2=2，则代数式2x2﹣4x+5的值为（）A. 11B. 6C. 7D. 810.如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子．A. 37B. 42C. 73D. 12111.“星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带，预计2017年底竣工通车，图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度为1：2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角（参考数据：tan12°≈0.2，cos12°≈0.98）为45°，此时点E离地面高度EF=700米，则隧道BC段的长度约为（）米．A. 2100B. 1600C. 1500D. 154012.若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）A. 28B. ﹣4C. 4D. ﹣2二、填空题13.截止5月17日，检察反腐力作《人民的名义》在爱奇艺上的点播量约为6820 000 000次，请将6820 000 000用科学记数法表示为________．14.计算：﹣（﹣）﹣2+（π﹣2017）0=________．15.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA=4，则阴影部分的面积为________．16.“一带一路”国际合作高峰论坛于5月14日在北京开幕，学校在初三年级随机抽取了50名同学进行“一带一路”知识竞答，并将他们的竞答成绩绘制成如图的条形统计图，本次知识竞答成绩的中位数是________分．17.5月13日，周杰伦2017“地表最强”世界巡回演唱会在奥体中心盛大举行，1号巡逻员从舞台走往看台，2号巡逻号从看台走往舞台，两人同时出发，分别以各自的速度在舞台与看台间匀速走动，出发1分钟后，1号巡逻员发现对讲机遗忘在出发地，便立即返回出发地，拿到对讲机后（取对讲机时间不计）立即再从舞台走往看台，结果1号巡逻员先到达看台，2号巡逻员继续走到舞台，设2号巡逻员的行驶时间为x（min），两人之间的距离为y（m），y与x的函数图象如图所示，则当1号巡逻员到达看台时，2号巡逻员离舞台的距离是________米．18.正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则S四边形EFMG=________．三、解答题19.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=87°，求你∠AGD的度数．20.巴蜀中学2017春季运动会的开幕式精彩纷呈，主要分为以下几个类型：A文艺范、B动漫潮、C学院派、D民族风，为了解未能参加运动会的初三学子对开幕式类型的喜好情况，学生处在初三年级随机抽取了一部分学生进行调查，并将他们喜欢的种类绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）请补全折线统计图，并求出“动漫潮”所在扇形的圆心角度数．（2）据统计，在被调查的学生中，喜欢“文艺范”类型的仅有2名住读生，其余均为走读生，初二年级欲从喜欢“文艺范”的这几名同学中随机抽取两名同学去观摩“文明礼仪大赛”视频，用列表法或树状图的方法求出所选的两名同学都是走读生的概率．21.化简下列各式（1）（b+2a）（2a﹣b）﹣3（2a﹣b）2（2）÷（﹣a﹣b）+ ．四、解答题22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（12，n），OA=10，E为x轴负半轴上一点，且tan∠AOE= ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）延长AO交双曲线于点D，连接CD，求△ACD的面积．23.“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值．24.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面积；（2）点E为AD的中点时，求证：AD= ．25.对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．五、解答题26.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x+3 与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S△ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF∥y轴交直线AD于点F，作PG∥AC交直线AD于点G，当△PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ QE的值最小时，求此时PQ+QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角△CMN，使CN∥x轴，MN∥y轴，将△CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为△C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的△C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问△CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．答案解析部分一、<b >选择题</b>1.【答案】B【考点】相反数【解析】【解答】解：﹣2017的相反数是2017，故答案为：B．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
重庆市2017年中考数学二轮复习二次函数综合题真题演练
题型八 二次函数综合题类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作y 轴的平行线，分别交抛物线及x 轴于F 、D 两点. 请问是否存在这样的点E ，使DE ＝2DF ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图2. (2017原创)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3. (2016重庆南开阶段测试一)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 分别交x 轴于A (4，0)、B (－1，0)，交y 轴于点C (0，－3)，过点A 的直线y ＝－34x ＋3交抛物线于另一点D .(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)若点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在线段AC 上，且Q 点到x 轴的距离为95，连接PC 、PQ ，当△PCQ 周长最小时，求出点P 的坐标；(3)如图②，在(2)的结论下，连接PD ，在平面内是否存在△A 1P 1D 1，使△A 1P 1D 1≌△APD (点A 1、P 1、D 1的对应点分别是A 、P 、D ，A 1P 1平行于y 轴，点P 1在点A 1上方)，且△A 1P 1D 1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A 1的横坐标m ；若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，再连接AM 交OC 于点R ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．。
重庆八中2017级二模数学中考
重庆市2017年初中毕业暨高中招生考试（全真模拟）数 学 试 题（满分150分考试时间120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24()24b ac b a a--，，对称轴是2b x a =-．一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑． 1．下列各数中最小的数是A ．6-B ．3-C ．0D ．2 2．下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是A B C D3．计算()23x y -的结果是A ．52x y -B ．32x yC ．62x y -D ．62x y 4．下列调查中，最适合采用普查方式的是A ．调查江北区中小学生的睡眠时间B ．调查重庆市初中生的兴趣爱好C ．调查中国中学教师的健康状况D ．调查“天宫二号”飞行器各零部件质量5．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能是A ．1B ．2C ．3D ．4 61的运算结果应在哪两个连续自然数之间A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和57．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，3AE =，9AC =， 4AD =，则AB 的值为A ．6B ．8C ．9D ．12DEBC A（第7题图）机密 2017年 5月23日前8．已知250a b -++=，则243a b --的值是A ．7B ．8C ．9D ．109．下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个黑点，第②个图形中一共有6个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第7个图形中黑点的个数是A ．56B ．76C ．99D ．12510．如图，在等边三角形△ABC 中，6AB =，BD 是AC 边上的高，以点B 为圆心，线段BD 的长度为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是A．92p B．92p C．4p D．4p11．如图，在坡角为30的山坡FB 上有一座信号塔AB ，其右侧有一堵防护墙CD ，测得BD 的长度是30米，当光线AC 与水平地面的夹角为53时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE 的长为19米，则信号塔AB 的高度约为 （参考数据：sin 370.60»，cos370.80»，tan 370.75»1.73）A ．35.5米B ．37.6米C ．38.6米D ．40.3米 12．从1-，12-，1 ，32，5这五个数中，随机抽取一个数记为m ，若数m 使关于x 的一元一次不等式组1(3)120x x m ì+>ïíï-?î有解，且使得关于x 的分式方程3333x m mx x ++=--的解为正数，那么这五个数中所有满足条件的m 的值之和是 A ．12 B ．12 C ．2 D ．112①③④②…（第11题图）（第10题图）BCOAGFEDCBA二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．据报道至2017年6月底，重庆市软件和信息服务业前两季度总收入将达到33 860亿33 86015．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，65ABO ?，则ACB Ð的度数是____________度． 16．重庆八中开展了“书香校园”活动，初三年级某班班长统计了本学期全班50名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制成折线统计图，在这50名学生的图书阅 读数量中，中位数与极差之和是____________本．17．甲、乙两人沿着一条笔直的公路进行长跑比赛，两人同时同地同向起跑，甲匀速跑完全程，并始终领先乙，甲到终点后原地休息．乙先匀速跑了4分钟之后将速度提高至原来的1.5倍，再经过2分钟，乙又将速度降低至出发时的速度，并以这一速度完成余下的比赛．甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示．则比赛的全程为____________米．（第15题图） （第16题图）18．如图，在正方形ABCD 中，以CD 为底边作等腰CDE ∆，使得点E 在正方形ABCD 内部，且CE DE =，连接BD 交CE 于点F ．过 点C 作CG DE ⊥于点G ，过点G 作GH AD ⊥于点H ，连接HF ．若134CE =，54GE =，则四边形AEFH 的面积为____________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19．如图，CD AB //，点E 在AB 上，点CD F 在上，连接EF ．FG 平分CFE ∠交AB 于点G ，若︒=∠140FEB ，求FGE ∠的度数．H G FE D CB A（第18题图）20．学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：篮球（记为A ）、足球（记为B ）、乒乓球（记为C ）、羽毛球（记为D ）．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有_______人，请将条形统计图补充完整； （2）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上．21．计算：（1）()()212a a a +--（2）2121122x x x x x ++⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，已知3CD =，2tan 3BCD ∠=，点B 的坐标为(,1)m -． （1）求线段BC 的长；（2）求反比例函数和一次函数的解析式．项目 246学生最喜欢的活动项目条形统计图学生最喜欢的活动项目扇形统计图 30°D CBA23．在“二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录之后，中国传统文化再次进入人们的视野，与其相关的创意产品颇为畅销．某文具经销商计划用12元/盒的进价购进一款“二十四节气”创意书签用以销售．（1）据调查，当该种书签的售价为14元/盒时，月销量为1780盒．每盒售价每增长1元，月销量就相应减少30盒．若使该种书签的月销量不低于1600盒，每盒售价应不高于多少元？（2）在实际销售时，由于生产原材料价格上涨，每盒书签的进价提高了25%，而每盒书签的售价比（1）中最高售价减少了1%5m ，月销量比（1）中最低月销量1600盒增加了%m ，于是该月销售利润达到了8000元，求m 的值．24．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=．在Rt DBE ∆中，90DBE ∠=．AB DB =，BAC BDE ∠=∠．（1）若4AB =，BE AC 的长；（2）连接CD ，连接AE 交BD 于点F ，点F 恰好是AE 的中点，求证：2CD BF =．25．在一个m （3m ≥，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n m ≤，n 为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为36189+=+=，所以3186是“对称等和数”，其中9k =．再如在正整数53697中，因为5739661+=+=+=，所以53697是“对称等和数”，其中12k =．（1） 已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中4k =．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （19s ≤≤，s 为整数），百位上的数字为t （09t ≤≤，t 为整数），2st 是整数，求这个四位“对称等和数”；（2） 已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．15A a =（09a ≤≤，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （09x ≤≤，x 为整数），数C 十位上的数字为y （09y ≤≤，y 为整数），若1800A B C ++=，求证：15y x =-+．FEDCBA五、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =++x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是线段BC 中点，点E 是BC 上方抛物线上一动点，连接CE ，DE ．当△CDE的面积最大时，过点E 作y 轴垂线，垂足为F ，点P 为线段EF 上一动点，将△CEF 绕点C 沿顺时针方向旋转90°，点F ，P ，E 的对应点分别是F '，P '，E '．点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到点F '处，再沿F C '运动到点C 处，最后沿适当的路径运动到点P '处停止．求△CDE 面积的最大值及点Q 经过的最短路径的长； （3）如图2，直线BH 经过点B 且与y 轴交于点(0,3)H ，动点M 从O 出发沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时动点N 从B 出发沿BH 方向以每秒2个单位长度的速度向点H 运动，当点N 运动到H 点时，点M ，点N 同时停止运动，设运动时间为t ．运动过程中，过点N 作OB 的平行线交y 轴于点I ，连接MI ，MN ，将△MNI 沿NI 翻折得△M NI '，连接HM '，当△M HN '为等腰三角形时，求t 的值．图1 图2。
重庆市2017年中考数学第二部分题型研究题型一规律探索题针对演练
题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (2016荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为 ( )第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (2016重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为 ( )第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (2015重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第3题图B. 29C. 28D. 264. (2014重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为 ( )第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (2016天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n＝( )第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (2016重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是 ( )第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (2016重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (2016重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有 ( )第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (2016重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为 ( )第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (2016重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有 ( )第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (2016重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为( )A. 70B. 71C. 72D. 7313. (2016大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为 ( )第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (2016重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (2016重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为 ( )第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (2016重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为( )第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (2016徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (2016安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (2016龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1. B 【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A 【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3. B 【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n有2＋3(n－1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4. C 【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n个图形中三角形的个数为：6n－4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C 【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n个图形的周长为6＋(n－1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D 【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n中有n(n－1)＋5个“○”，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n 个图形中有2×(1＋2＋…＋n )个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm 2.11. A 【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n )个图形中♥的个数为(n ＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12. B 【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13. C 【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n 个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14. A 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15. B 【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D 【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1) 【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．18. 45 【解析】根据题意，可得序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×13×3＝3×(1＋2)3×6＝3×(1＋2＋3) 3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19. 90 【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60 【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B →C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m停下，则这个微型机器人停在 ( )第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(2016重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线FA开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O2016所在射线是( )第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2017个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D（1, -2），把一根长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为 1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为 6 m，∵2017÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m停下，则这个微型机器人停在B点．2. C 【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线FA、CD、AB、DE、BC、EF、CD、FA、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因2016÷12＝168，则点O2016在第12条射线BC上，故选C.3. 505 【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵2017÷4＝504……1，∴前2017个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3 【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵2014÷4＝503……2，∴滚动2014次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵2016÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型 数式规律针对演练1. (2016张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A. 9B. 7C. 6D. 02. (2016丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (2016贵港)已知a 1＝tt －1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＋1＝11－a n (n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2016＝________(用含有t 的代数式表示)．4. (2016泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为________．第4题图5. (2016南宁)观察下列等式：第1层 1＋2＝3第2层 4＋5＋6＝7＋8第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4层 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第________层． 答案拓展类型 数式规律1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为2016÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0. 2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t111-＝1-t t ，…，∴每3个一次循环，∵2016÷3＝672，∴a 2016的值为t 1.4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜2016＜452，∴2016位于第44层．。
重庆市2017年中考数学二轮复习几何图形探究题真题演练
题型七 几何图形旋转探究类型一 几何图形旋转探究针对演练1. (2016甘孜州)如图①，AD 为等腰直角△ABC 的高，点A 和点C 分别在正方形DEFG 的边DG 和DE 上，连接BG 、AE . (1)求证：BG ＝AE ；(2)将正方形DEFG 绕点D 旋转，当线段EG 经过点A 时(如图②所示)． ①求证：BG ⊥GE ；②设DG 与AB 交于点M ，若AG ∶AE ＝3∶4，求GM MD的值．第1题图2. 四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 上(不与端点B 、C 重合)，点F 在对角线AC 上，且EF ⊥AC ，连接AE ，点G 是AE 的中点，连接DF 、FG . (1)若AB ＝72，BE ＝2，求FG 的长； (2)求证：DF ＝2FG ；(3)将图①中的△CEF 绕点C 按顺时针旋转，使边CF 恰好在正方形ABCD 的边BC 上(如图②)，连接AE ，点G 仍是AE 的中点，猜想BF 与FG 之间的数量关系，并证明你的猜想．第2题图3. (2016重庆南开九下半期考试)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F，使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH；(3)如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α(0°<α<360°)得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN.已知CD＝AE＝4，直接写出DN的取值范围．第3题图4. (2016重庆西大附中第七次月考)已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点，连接EG，CG.(1)如果BE＝2，∠BAF＝30°，求EG，GC的长；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG.延长CG至M，使GM＝GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．第4题图5. (2016重庆巴蜀中学上期期末考试)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE ＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF.(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，不需要证明；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长．第5题图6. (2016重庆育才二诊)菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 和点F 分别是BC 和CD 上一动点，且∠EOF ＋∠BCD ＝180°，连接EF .(1)如图①，当∠ABC ＝90°，若AC ＝42，EC ＝32，求线段EF 的长；(2)如图②，当∠ABC ＝60°时，求证：CE ＋CF ＝12AB ；(3)如图③，当∠ABC ＝90°时，将∠EOF 的顶点移到AO 上任意一点O ′处，∠EO ′F 绕点O ′旋转，仍满足∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，O ′E 交BC 的延长线于点E ，射线O ′F 交CD 的延长线于点F ，连接EF ，探究在整个运动变化过程中，线段CE 、CF ，O ′C 之间满足的数量关系，并证明你的结论．第6题图答案类型一 几何图形旋转探究针对演练1. (1)证明：∵AD 为等腰直角△ABC 的高， ∴AD ＝BD ，∠BDG ＝90°， ∵四边形DEFG 为正方形， ∴∠GDE ＝90°，DG ＝DE ， 在△BDG 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=DE DG ADE BDG AD BD90， ∴△BDG ≌△ADE (SAS)， ∴BG ＝AE.(2)①证明：如解图，第1题解图∵四边形DEFG 为正方形， ∴△DEG 为等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°，∵DE ＝DG ，由(1)得AD ＝BD ， BG ＝AE ，∴△BDG ≌△ADE(SSS)， ∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°， 即∠BGE ＝90°， ∴BG ⊥GE ；②解：设AG ＝3x ，则AE ＝4x ，GE ＝7x ， ∴DG ＝22GE ＝722x ， ∵△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝4x ，在Rt △BGA 中，AB ＝BG 2＋AG 2＝22)3()4(x x +＝5x ， ∵△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠4＝45°，BD ＝22AB ＝522x ， ∴∠3＝∠4，又∵∠BDM ＝∠GDB ， ∴△DBM ∽△DGB ，∴BD ∶DG ＝DM ∶BD ，即522x ∶722x ＝DM ∶522x ，解得：DM ＝25214x ，∴GM ＝DG －DM ＝722x －25214x ＝1227x ，∴GM MD ＝x x142257212＝2425. 2. (1)解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ABC ＝90°，根据勾股定理得，AE ＝AB 2＋BE 2＝10， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵点G 是AE 中点，∴FG ＝12AE ＝5.(2)证明：连接BF ，BG ，如解图①，第2题解图①∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴AB ＝AD ，∠DAC ＝∠BAC ， ∵AF ＝AF ，∴△AFD ≌△AFB (SAS)， ∴DF ＝BF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°， ∵EF ⊥AC ，∴∠AFE ＝90°， ∵G 为AE 的中点， ∴AG ＝FG ＝BG ，∴∠GAF ＝∠GFA ，∠GAB ＝∠GBA ， 又∵∠BAF ＝45°，∴∠BGF ＝∠EGF ＋∠EGB ＝∠GAF ＋∠GFA ＋∠GAB ＋∠GBA ＝45°＋45°＝90°， ∴△BGF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2FG ， ∵DF ＝BF ， ∴DF ＝2FG .(3)解：BF ＝2FG .证明：连接BG ，CG ，如解图②，第2题解图②∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°， AB ＝BC ，根据旋转性质可知，∠CFE ＝90°，∠ECF ＝45°， ∴∠ACE ＝90°， ∵点G 是AE 的中点， ∴EG ＝CG ＝AG ，∴△ABG ≌△CGB (SSS)，∴∠ABG ＝∠CBG ＝12∠ABC ＝45°，∵在△EFG 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FG FG CF EF CG EG ， ∴△EFG ≌△CFG (SSS)，∴∠EFG ＋∠CFG ＝360°－∠CFE ＝360°－90°＝270°， ∴∠EFG ＝135°， ∵∠BFE ＝90°， ∴∠BFG ＝45°，∴△BGF 为等腰直角三角形， ∴BF ＝2FG .3. (1)解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝90°. ∵∠ECD ＝30°， ∴CD ＝CE ·cos30°＝4×32＝23，AD ＝2CD ＝43， 又∵DE ＝CE ·sin30°＝4×12＝2,∴AE ＝AD －DE ＝43－2.∴△AEC 的面积为：12×(43－2)×23＝12－2 3.(2)证明：如解图①，在HF 上取点M ，使MF ＝DH , 连接AM .第3题解图①∵AF ∥DC ， ∴∠F ＝∠DGH . ∵DH ⊥FG ，∴∠DHG ＝∠EDG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DGH ＝∠F . ∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD .在△AMF 和△AHD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AF ADH F HD MF ∴△AMF ≌△AHD (SAS)， ∴AM ＝AH ，∠FAM ＝∠DAH. ∵∠FAM ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＋∠DAH ＝90°，即∠MAH ＝90°，∴MH 2＝2AH 2,∴MH ＝2AH ，∴FH ＝FM ＋MH ＝DH ＋2AH ， 即FH ＝2AH ＋DH.(3)解：25－2≤DN ≤25＋2.【解法提示】如解图②，取AC 的中点O ，连接DO 、NO ，则ON ＝12AE ′＝2.第3题解图②∵CD ＝4，AD ＝2CD ＝8，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝42＋82＝45， ∴ OD －ON ≤DN ≤OD ＋ON ，∴DN 的取值范围是25－2≤DN ≤25＋2. 4. (1)解：∵EF ⊥AB ，∠BAF ＝30°， ∴∠EFA ＝60°， ∵G 是AF 的中点，∴CG ＝EG ＝12AF ＝GF ，∴EG ＝EF ＝GF ， ∵∠B ＝45°， ∴BE ＝EF ＝2， ∴GC ＝EG ＝EF ＝2.(2)证明：连接MF ，如解图①，第4题解图①在△AGC 和△FGM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GM GC FGM AGC FG AG ∴△AGC ≌△FGM (SAS)，∴AC ＝FM ，∠CAG ＝∠MFG ＝45°，由旋转性质可知，∠E BF ＝∠BFE ＝45°，BE ＝EF ， ∴∠EFM ＝∠EBC ＝90°， ∵BC ＝AC ＝MF ， ∴△BCE ≌△FME ，∴EC ＝EM ，∠BEC ＝∠FEM ，∴∠BEC ＋∠CEF ＝∠FEM ＋∠CEF ＝90°， ∴△EMC 是等腰直角三角形． (3)解：GE ⊥GC ，EG ＝GC .证明：连接EC ，延长CG 到M ，使GM ＝GC ，如解图②，易证△ACG ≌△FMG ，得∠MFG ＝∠CAG ，MF ＝CA ＝CB ，第4题解图②∵∠EBF ＝∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∴∠EFM ＝360°－∠BFE －∠AFB －∠MFG ＝360°－45°－(180°－∠ABF －∠BAF )－(45°＋∠BAF )＝90°＋∠ABF ，∠CBE ＝∠EBF ＋∠ABF ＋∠ABC ＝90°＋∠ABF ， ∴∠CBE ＝∠MFE ， ∵BE ＝EF ，∴△BCE ≌△FME (SAS)， ∴EC ＝EM ，∠BCE ＝∠FME ， ∵∠ACG ＝∠FMG ，∴∠FME ＋∠FMG ＋∠MCE ＝∠BCE ＋∠A CG ＋∠MCE ， 即∠EMG ＋∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴∠MEC ＝90°， ∵CG ＝MG ，∴GE ⊥GC ，EG ＝GC.5. 解：(1)DF ＝CF ，DF ⊥CF.【解法提示】∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，点F 为BE 中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°， ∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF ，∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ， ∴∠DFE ＝2∠DBF ，同理得：∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°， ∴DF ＝CF ，DF ⊥CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①所示，此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .第5题解图①∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°， ∴DE ∥BC ，∴∠D EF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF . ∵F 为BE 中点， ∴EF ＝BF.在△DEF 和△GBF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BF EF BGF EDF GBF DEF ,∴△DEF ≌△GBF (AAS)， ∴DE ＝GB ，DF ＝GF . ∵AD ＝DE ， ∴AD ＝GB ， ∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ， ∴DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形， ∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .(3)延长DF 交BA 于点H ，如解图②，第5题解图②∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，AD ＝DE ， ∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.∵由旋转性质可知，∠CAE ＝∠BAD ＝90°， ∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ， ∴∠DEF ＝∠HBF . ∵F 是BE 的中点， ∴EF ＝BF ，在△DEF 和△HBF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BFH EFD BFEF HBF DEF ∴△DEF ≌△HBF (ASA)， ∴ED ＝BH ， ∵AC ＝22，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝4， ∵AD ＝1， ∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3，在Rt △HAD 中，由勾股定理，得DH ＝10， ∴DF ＝102， ∴CF ＝DF ＝102. 6. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形，∴OC ⊥OD ，OC ＝OD ，∠OCE ＝∠ODF ＝45°，∠BCD ＝90°. ∵∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF －∠COF ＝∠COD －∠COF ， ∴∠EOC ＝∠FOD . 在△COE 和△DOF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODF OCE ODOC DOF COE ∴△COE ≌△DOF (ASA)，∴DF ＝CE ＝32.∵CD ＝AC ·sin45°＝42×22＝4， ∴CF ＝CD －DF ＝4－32＝52，在Rt △ECF 中，由勾股定理得， ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝（32）2＋（52)2＝342. (2)证明：如解图①，取BC 的中点G ，连接OG ，第6题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC ⊥OD ，∴OG ＝12BC ＝BG ＝CG .∵∠ABC ＝60°， ∴∠BCD ＝120°，∴∠BCA ＝60°，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∴OC ＝12AC ＝12BC ，∴OG ＝OC ＝CG ，∴∠OGC ＝∠COG ＝60°.∵∠BCD ＝120°，∠EOF ＋∠BCD ＝180°， ∴∠EOF ＝60°，∴∠COF ＝30°， ∴∠EOF ＝∠COG ＝60°， ∴∠GOE ＝∠COF. 在△COF 和△GOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OCF OGE OCOG COF GOE ∴△COF ≌△GOE (ASA)， ∴CF ＝GE.∵EG ＋CE ＝CG ＝12BC ＝12AB ，∴CE ＋CF ＝12AB .(3)解：CF －CE ＝2O ′C.证明：如解图②，第6题解图②过O′作O′G ⊥AC ，与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝90°， ∴菱形ABCD 是正方形， ∴∠ACD ＝45°. 又∵O′G ⊥AC ，∴∠O ′GC ＝∠ACD ＝45°，∴O ′C ＝O′G ，∠O ′GF ＝∠O′CE ＝135°. ∵∠EO ′F ＋∠BCD ＝180°，∠BCD ＝90°， ∴∠EO ′F ＝90°， ∵∠CO ′G ＝90°，∴∠EO ′F －∠EO′G ＝∠CO′G －∠EO′G ， 即∠GO′F ＝∠CO′E ， 在△O′GF 和△O′CE 中，,''''''⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CE O GF O CO G O E CO F GO ∴△O ′GF ≌△O ′CE (ASA)， ∴GF ＝CE.∵CF －GF ＝CG ， ∴CF －CE ＝CG.∵CG ＝O′C 2＋O′G 2＝2O′C， ∴CF －CE ＝2O′C .类型二几何图形动点探究针对演练1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，若点P与点O重合；①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；(2)如图②，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD＝3BP时，证明：PE＝2PF.第1题图2. (2016重庆南开阶段测试三)已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB；(3)如图③，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.(1)如图①，若正方形的边长为22，PB＝1，求BG的长度；(2)如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE＝2BG；(3)如图③，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝2AN.第3题图4. △ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，点D 在AB 边上(不与点A 、B 重合)，以CD 为腰作等腰直角△CDE ，∠DCE ＝90°.(1)如图①，作EF ⊥BC 于F ，求证：DB ＝FC ； (2)在图①中，连接AE 交BC 于M ，求ADBM的值；(3)如图②，过点E 作EH ⊥CE 交CB 的延长线于点H ，过点D 作DG ⊥DC ，交AC 于点G ，连接GH .当点D 在边AB 上运动时，式子HE －GDGH的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．第4题图5. (2016重庆十一中一诊)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF ＝AE ，连接BE 、EF .(1)如图①，当E 是线段AC 的中点，且AB ＝2时，求△ABC 的面积；(2)如图②，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE ＝EF ；(3)如图③，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．第5题图6. (2016重庆A 卷)在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°.点D 是BC 上一点，连接AD .过点A 作AG ⊥AD .在AG 上取点F ，连接DF ，延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF . (1)若AB ＝22，求BC 的长；(2)如图①，当点G 在AC 上时，求证：BD ＝12CG ；(3)如图②，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接．．写出ABCG的值．第6题图7. (2016重庆一中一模)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．(1)如图①，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长；(2)如图②，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE；(3)如图③，若点E在CB的延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．第7题图答案类型二 几何图形动点探究针对演练1. (1)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OD ，∠OAF ＝∠ODE ＝45°，∠AOD ＝90°， ∴∠AOE ＋∠DOE ＝90°， ∵∠EPF ＝90°，∴∠AOF ＋∠AOE ＝90°， ∴∠DOE ＝∠AOF ， 在△AOF 和△DOE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ODE OAF ODOA DOE AOF ∴△AOF ≌△DOE (ASA )． ∴AF ＝DE ；②如解图①，过点O 作OG ⊥AB 于G ，第1题解图①∵正方形的边长为23，∴OG ＝12BC ＝3，∵∠DOE ＝15°，由①知△AOF ≌△DOE ， ∴∠AOF ＝15°，∴∠FOG ＝45°－15°＝30°， ∵cos ∠FOG ＝OG OF， ∴OF ＝︒30cos OG ＝332＝2， 又∵OE ＝OF ，∴EF ＝2OF ＝2 2.(2)证明：如解图②，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，第1题解图②则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPB ＝90°， ∴HP ＝BP ， ∵BD ＝3BP ， ∴PD ＝2BP ， ∴PD ＝2HP ，又∵∠HPF ＋∠HPE ＝90°，∠DPE ＋∠HPE ＝90°， ∴∠HPF ＝∠DPE ，又∵∠BHP ＝∠EDP＝45°， ∴△PHF ∽△PDE ， ∴PF PE ＝PH PD ＝12， 即PE ＝2PF.2. (1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BF ＝DF ，∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°， ∴∠ABD ＝90°，AB ＝2BF ，∴在Rt △ABF 中，根据勾股定理得AF 2＝AB 2＋BF 2，即(5)2＝5BF 2， 解得BF ＝1，AB ＝2，∴在Rt △ABD 中，AD ＝2AB ＝2 2.(2)证明：过B 作BP ⊥AD 于P ，交AF 于Q ，如解图①，第2题解图①则∠ABQ ＝∠QBD ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，∠CDB ＝∠ABD ＝90°， ∴∠DBH ＝45°＝∠ABQ ，又∵∠AFB ＝∠DFG ，∠ABF ＝∠DGF ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠BDH ， ∵AB ＝BD ，∴△ABQ ≌△DBH ， ∴BQ ＝BH ，又∵∠QBF ＝∠HBF ＝45°，BF ＝BF ， ∴△BQF ≌△BHF ， ∴∠BFQ ＝∠BFH . 即∠AFB ＝∠HFB. (3)解：AF ＝3FH .【解法提示】延长FH 交AB 延长线于P ，如解图②，第2题解图②∵由(2)知∠AFB ＝∠P FB ，∠ABF ＝∠PBF ＝90°，FB ＝FB ， ∴△ABF ≌△PBF ， ∴PF ＝AF ，AB ＝BP ，过B 作BQ ∥FH ，交AM 于Q ，∴∠BQM ＝∠FHM ，∠QBM ＝∠HFM ， ∵BM ＝FM ，∴△BMQ ≌△FMH ， ∴BQ ＝FH .∵BQ ∥FH ，AB ＝BP ，∴BQ ＝12PH ，∴FH ＝13FP ，即AF ＝3FH .3. (1)解：∵AB ＝22，BP ＝1，∠ABP ＝90°，∴AP ＝AB 2＋BP 2＝3，∵S △ABP ＝12A P ·BG ＝12AB ·BP ，∴BG ＝223.(2)证明：过点C 作CH ⊥AE 于H ，如解图①，则∠BGP ＝∠CHP ＝90°，第3题解图①∵P 为BC 的中点， ∴PB ＝PC ，∵∠BPG ＝∠CPH ， ∴△BPG ≌△CPH ，∴BG ＝CH ，∠PBG ＝∠PCH ，∵∠PBG ＋∠ABG ＝∠ABG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠BAG ， ∴∠BAG ＝∠P CH ，∵AB ＝BE ，∴∠BAG ＝∠BEG ， ∴∠PCH ＝∠BEG ， ∵AB ＝BE ＝BC ， ∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴∠HCE ＝∠HEC ， ∴HC ＝HE ，∵HC 2＋HE 2＝CE 2， ∴2CH ＝CE ， ∴CE ＝2BG .(3)证明：过D 作DH ⊥AE 于H ，如解图②，第3题解图②∵BN 平分∠CBE ， ∴∠CBN ＝∠EBN ， 由(2)知∠GBP ＝∠BEP. ∵BG ⊥AE ，∴∠GBN ＝∠GNB ＝90°2＝45°，∴BG ＝GN ，∵DH ⊥AP ，∠DAB ＝90°，∴∠DAH ＋∠ADH ＝∠DAH ＋∠BAG ＝90°， ∴∠ADH ＝∠BAG ，∵∠AHD ＝∠AGB ＝90°，AD ＝AB ， ∴△ADH ≌△BAG (AAS)， ∴AH ＝BG ＝GN ，DH ＝AG ， ∴HN ＝HG ＋GN ＝HG ＋AH ＝AG ， ∴DH ＝HN .∵∠DHN ＝90°，∴DN ＝2HN ＝2AG ，∴BN ＋DN ＝2GN ＋2AG ＝2AN .4. (1)证明：∵△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝90°， ∴CD ＝CE ，∠DCB ＋∠ECF ＝90°. ∵EF ⊥BC ，∴∠ECF ＋∠CEF ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CEF ， 在△DBC 和△CEF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC CD CEF DCB CFE DBC ∴△DBC ≌△CFE ， ∴DB ＝CF .(2)解：如解图①，连接AE ，第4题解图①∵△DBC ≌△CFE ， ∴BD ＝CF ，BC ＝EF ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ，∴AB ＝EF ，AD ＝BF ， 在△ABM 和△EFM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF AB EFM ABM EMF AMB ∴△ABM ≌△EFM ， ∴BM ＝FM ， ∴BF ＝2BM ， ∴AD ＝2BM ， ∴AD BM的值为2. (3)解：HE －GDGH的值不变． 在EH 上截取EQ ＝DG ，如解图②，第4题解图②在△CDG 和△CEQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD CEQ CDG EQ DG ∴△CDG ≌△CEQ ，∴CG ＝CQ ，∠DCG ＝∠ECQ ， ∵∠DCG ＋∠DCB ＝45°， ∴∠ECQ ＋∠DCB ＝45°， 而∠DCE ＝90°，∴∠HCQ ＝45°，∴∠HCQ ＝∠HCG ， 在△HCG 和△HCQ 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CQ CG HCQ HCG HC HC ∴△HCG ≌△HCQ ， ∴HG ＝HQ ， ∴HE －GD GH ＝HQ ＋QE －GD HG ＝HG ＋DG －GDHG＝1. 5. (1)解：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝BC ＝2， ∵E 是线段AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，∴BE ＝AB ·sin60°＝2×32＝3， ∴S △ABC ＝12AC ·BE ＝ 3.(2)证明：连接DE和DF ，如解图①，第5题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°， 在△ABE 和△ADE 和△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .(3)解：仍然成立．证明：连接DE 和DF ，如解图②，第5题解图②∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∠BAC ＝∠DAC ，AB ∥CD ， ∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠DCF ＝60°， 在△ABE 和△ADE 和△CD F 中,⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=∠==CF AE AE DCF DAE BAE CD AD AB ∴△ABE ≌△ADE ≌△CDF ，∴BE ＝DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ， ∴∠ADE －∠CDE ＝∠CDF －∠CDE ， ∴∠EDF ＝∠ADC ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ＝EF ， ∴BE ＝EF .6. (1)解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，如解图①，第6题解图①在Rt △ABH 中，∠ABH ＝45°，AB ＝22， ∴BH ＝AH ＝2，在Rt △ACH 中，∠ACH ＝30°， ∴CH ＝23，∴BC ＝BH ＋CH ＝2＋2 3.(2)证明：过点A 作AM ⊥AB 交BC 于点M ，连接GM ，如解图②， ∵∠BAM ＝90°，∠ABM ＝45°，第6题解图②∴AB ＝AM ，∠AMB ＝45°， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAG ＝∠EAG ＝90°， ∵AE ＝AF ，GE ＝DF ， ∴△ADF ≌△AGE ， ∴AD ＝AG ，∵∠BAM ＝∠DAG ＝90°， ∴∠BAD ＝∠MAG ， ∴△ABD ≌△AMG ，∴BD ＝GM ，∠B ＝∠AMG ＝45°， ∵∠AMB ＝45°， ∴∠GMC ＝90°，在Rt △CGM 中，∠C ＝30°， ∴12CG ＝GM ＝BD . (3)解：1＋32.【解法提示】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点G 作GQ ⊥AC 于Q ，过点C 作CM ⊥AG ，与其延长线相交于点M ，如解图③，第6题解图③∵GQ 为AC 的垂直平分线，由(2)同理可得AD ＝AG ， ∴AD ＝AG ＝CG ，又∵AH ＝12AC ，易证△ADH ≌△AGQ ≌△CGQ ，得∠DAH ＝∠GAC ＝∠GCA ＝12(∠DAG －∠CAH )＝12(90°－60°)＝15°，∴∠MGC ＝30°，设CM ＝a ，则GA ＝GC ＝2a ，GM ＝3a ，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝222)348()23(a a a a +=++＝(6＋2)a ， ∴AH ＝12AC ＝12(6＋2)a ，∴AB ＝2AH ＝(1＋3)a ， ∴AB CG＝aa 2)13(+＝3＋12.7. (1)解：在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AB ∥DE ，∴∠A ＝∠ADE ＝45°， ∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠ABF ＝∠FDE ＝∠FED ＝45°，AF ＝BF ，DF ＝EF ， 则△AFB ，△DEF 为等腰直角三角形， ∴AF ＝22AB ＝22×6＝3， DF ＝EF ＝AD －AF ＝6－3，∴DE ＝2DF ＝23－ 6.(2)证明：延长BE 至K ，使EK ＝ED ，连接AK ，如解图，第7题解图在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∵2∠AEB ＝180°－∠BED ，∴∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＋∠BED ＝180°－∠AEB ＝∠AEK ， 在△AEK 和△AED 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED EK AED AEK AE AE , ∴△AEK ≌△AED ， 则AK ＝AD ＝AB ， ∵∠ABK ＝60°，∴△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BE ＋KE ＝AB ＝BC ，即：BC ＝BE ＋DE . (3)解：∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.【解法提示】∵点E 在CB 的延长线上， ∴CE ∥AD ， ∴∠E ＝∠ADE ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝2∠ABD ， ∴∠BED ＋∠CDE ＝2∠ABD.类型三 几何图形背景变换探究针对演练1. △ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，∠AFD ＝60°. (1)如图①，求证：BD ＝CE ；(2)如图②，FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG ＝CD ，连接HA 、HC ，求证：∠AHC ＝60°；(3)在(2)的条件下，若AD＝2BD，FH＝9，求AF长．第1题图2. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的垂直平分线交AD 的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.(1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；(2)如图②，若∠ABE＝60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AC＋AB＝3AE，求∠BAC的度数．第2题图3. (2016重庆八中阶段测试一)如图①，矩形ABCD 中，AB ＝BE ，BF ＝CE ，点G 是FD 的中点，连接GA ，GE .(1)若AB ＝3，AD ＝4，求GA 的长； (2)求证：GA ＝GE ；(3)如图②，若将矩形ABCD 改为平行四边形ABCD ，其他条件均不变，(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．第3题图4. (2016泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE ，若∠A ＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD ； (2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第4题图5. 在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°.(1)如图①，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5.①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；(2)如图②，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(3)如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．第5题图6. (2016重庆育才模拟)已知，如图①，以△ABC中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM.(1)若MF＝3，求AC的长；(2)求证：MD＝ME；(3)如图②，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM，猜想：△MDE 是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第6题图7. (2016沙坪坝区一诊)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，点D是边AB上任意一点，连接CD.(1)如图①，若∠BCD＝30°，且BD＝2，求线段CD的长；(2)如图②，若∠BCD＝15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连接BE，点F在线段CD上，且CF＝BD，连接BF.求证：BE＝BF；(3)如图③，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连接BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论(不需证明)．第7题图8. (2015重庆A卷)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点．过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF.(1)如图①，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB，BD的长；(2)如图①，求证：HF＝EF；(3)如图②，连接CF，CE.猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第8题图答案类型三几何图形背景变换探究针对演练1. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＋∠ACD＝60°，∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠CAE，在△ACE 和△CBD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CAE BCD ACBC ACE B ∴△ACE ≌△CBD (ASA)， ∴BD ＝CE .(2)证明：如解图①，作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，第1题解图①∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°， ∴∠AFC ＝120°，∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°， ∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°， ∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ， ∴CM ＝CN ，∵∠CEM ＝∠ACE ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∠CGN ＝∠AFH ＋∠CAE ＝60°＋∠CAE ， ∴∠CEM ＝∠CGN ，在△ECM 和△GCN 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒CN CM CNG CME CGN CEM∴△ECM ≌△GCN (AAS )，∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ， ∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°， 由(1)知△ACE ≌△CBD ， ∴AE ＝CD ， ∵HG ＝CD ， ∴AE ＝HG ，∴AE ＋EM ＝HG ＋GN ，即AM ＝H N ，在△AMC 和△HN C 中， ,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒CN CM HNC AMC HN AM∴△AMC ≌△HNC (SAS)， ∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，∴∠ACM －∠ECM ＝∠HCN －∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°， ∴△ACH 是等边三角形，∴∠AHC ＝60°.(3)解：如解图②，在FH 上截取FK ＝FC ，第1题解图②∵∠HFC ＝60°，∴△FCK 是等边三角形，∴∠FKC ＝60°，FC ＝KC ＝FK ， ∵由(2)知∠ACH ＝60°， ∴∠ACF ＝∠HCK ，在△AFC 和△HKC 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=HC AC HCK ACF KC FC∴△AFC ≌△HKC (SAS )， ∴AF ＝HK ，∴HF ＝HK ＋FK ＝AF ＋FC ＝9，∵AD ＝2BD ，BD ＝CE ＝CG ，AB ＝AC ， ∴AG ＝2CG ， ∴CFG AFG S S ∆∆＝AG GC ＝21，作GW ⊥AE 于W ，GQ ⊥DC 于Q ， ∵FG 为△AFC 的角平分线， ∴GW ＝GQ ，∵CFGAFG S S ∆∆＝GQ CF GWAF ⋅⋅2121＝AF CF ＝21，∴AF ＝2CF ， ∴AF ＝6.2. 解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，如解图①所示，第2题解图①∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DG ，∴Rt △ACD ≌Rt △AGD (HL)， ∴AC ＝AG ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，即△BDG 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DG ＝GB ，∴AB ＝AG ＋GB ＝AC ＋CD. (2)AB ＝AC ＋CE.证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示，第2题解图②∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ， 在△ACE 和△AHE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE HAE CAE AH AC ∴△ACE ≌△AHE (SAS )， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴BE ＝HE .又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE .(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，第2题解图③同(2)问可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ，∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， ∵在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32， ∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.3. (1)解：∵AB ＝BE ，AB ＝3， ∴BE ＝3， ∵BC ＝AD ＝4，∴EC ＝BC －BE ＝4－3＝1， ∵BF ＝CE ， ∴BF ＝1，∴AF ＝AB －BF ＝3－1＝2，∴DF ＝AF 2＋AD 2＝25，∵∠DAF ＝90°，G 是DF 的中点，∴AG ＝12DF ＝ 5.(2)证明：如解图①，连接DE、EF ，第3题解图①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠C ＝90°， ∵AB ＝BE ，∴CD ＝BE ， 在△BEF 和△CDE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BF C B CD BE ∴△BEF ≌△CDE (SAS)， ∴∠BEF ＝∠CDE ，∵∠CED ＋∠CDE ＝90°， ∴∠CED ＋∠BEF ＝90°， ∴∠DEF ＝90°， ∵点G 是DF 的中点，∴GE ＝12DF ，∵AG ＝12DF ，∴GA ＝GE . (3)解：成立．证明：如解图②，延长CG ，与BA 的延长线相交于点M ，第3题解图②∵AB ∥CD ，∴∠M ＝∠DCG ， 在△GMF 和△GCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GD GF CGD MGF GCD M ∴△GMF ≌△GCD (AAS)， ∴GM ＝GC ，FM ＝DC ， ∵AB ＝CD ＝BE ， ∴AB ＝FM ， ∵BF ＝CE ，∴BE ＋CE ＝FM ＋BF ， ∴BM ＝BC ，∴∠ABG ＝∠EBG ， 在△ABG 和△EBG 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG BG EBG ABG EB AB ∴△ABG ≌△EBG (SAS )， ∴GA ＝GE .4. (1)证明：如解图①，过点D 作DF ∥BC 交AC 于F ，则AD ＝AF ＝DF ， ∠FDC ＝∠ECD ， ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴∠DBE ＝∠DFC ＝120°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD .第4题解图①(2)解：EB ＝AD 成立，理由如下： ∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．如解图②，过D 点作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，第4题解图②则AD ＝AF ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ， 又∵∠DEC ＝∠ECD ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ， 又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°， ∴△DBE ≌△CFD ， ∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD . (3)解：EB AD＝ 2.【解法提示】作DF ∥BC 交AC 于F ，如解图③，第4题解图③同(1)得：△DBE ≌△CFD (AAS)， ∴EB ＝DF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ， ∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝2AD ， ∴DF AD＝2，∴EB AD＝ 2.5. (1)①证明：如解图①，第5题解图①∵在△ACE 和△BCD 中，,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DC EC BCD ACB BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFE ＝∠ACE ＝90°， ∴AF ⊥BD ；②解：∵∠ECD ＝90°，BC ＝AC ＝12，DC ＝EC ＝5，∴BD ＝122＋52＝13，∵S △ABD ＝12AD ·BC ＝12BD ·AF ，即12×17×12＝12×13·AF ∴AF ＝20413.(2)证明：如解图②，第5题解图②∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB ＋∠ACD ＝∠ECD ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， 在△ACE 与△BCD 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4，∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°， ∴AF ⊥BD .(3)解：∠AFG 是一个固定的值，理由如下：如解图③，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，第5题解图③∵由(2)知△ACE ≌△BCD ， ∴S △ACE ＝S △BCD ，AE ＝BD ，∵S △ACE ＝12AE ·CN ，S △BCD ＝12BD ·CM ，∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ， ∴CF 平分∠BFE ， ∵AF ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°， ∴∠EFC ＝45°， ∴∠AFG ＝45°.6. (1)解：∵DF ⊥AB ，DB ＝DA ， ∴AF ＝BF ， ∵BM ＝MC ，∴FM ＝12AC ，∴AC ＝2FM ＝6.(2)证明：如解图①，取AC 中点G ，连接MG 、EG.第6题解图①∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ，∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB ＋∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC ＋∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ， 在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE ， ∴DM ＝EM .(3)解：△EMD 是等腰直角三角形，证明：如解图②中，取AC 中点G ，连接MG 、EG ，DF 交MG 于点O .第6题解图②∵△ADB 、△AEC 都是等腰直角三角形，AF ＝FB ，AG ＝GC ， ∴DF ＝AF ＝FB ，GE ＝AG ＝GC ，EG ⊥AC ， ∴∠DFB ＝∠EGC ＝90°， ∵AF ＝BF ，BM ＝MC ，AG ＝GC ， ∴FM ∥AG ，MG ∥AF .∴四边形AFMG 是平行四边形，∴FM ＝AG ＝GE ，MG ＝AF ＝DF ，∠BFM ＝∠BAC ＝∠CGM ， ∵∠DFM ＝∠DFB －∠BFM ，∠EGM ＝∠EGC －∠CGM ， ∴∠DFM ＝∠EGM ， 在△DFM 和△MGE 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GE FM MGE DFM MG DF ∴△DFM ≌△MGE .∴DM ＝EM ，∠MDF ＝∠EMG ， ∵AB ∥MG ，∴∠MOD ＝∠BFD ＝90°， ∴∠OMD ＋∠MDO ＝90°， ∴∠EMG ＋∠OMD ＝90°，∴∠EMD ＝90°，∴△EMD 是等腰直角三角形．7. (1)解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，如解图①，第7题解图①在Rt △BDE 中，BD ＝2，∠B ＝45°， ∴DE ＝BD ·sin45°＝2， 在Rt △CDE 中，∠BCD ＝30°， ∴CD ＝2DE ＝2 2.(2)证明：连接EF ，如解图②，第7题解图②∵△DCE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∠ECD ＝∠CDE ＝∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝∠BCD ＋∠CBD ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDE ＝60°， 在△CEF 和△DEB 中，,60⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=︒DB CF EDB ECF DE CE ∴△CEF ≌△DEB ，∴EF ＝EB ，∠CEF ＝∠DEB ，∴∠CEF ＋∠DEF ＝∠DEB ＋∠DEF ， 即∠CED ＝∠BEF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BE ＝BF . (3)解：OB ＝22CD. 【解法提示】连接BE ，如解图③，第7题解图③∵∠DCE ＝90°，CD ＝CE ， ∴DE ＝2CD ，∵∠CED ＝∠ABC ＝45°， ∠CGE ＝∠DGB ， ∴△CGE ∽△DGB ， ∴CG DG ＝GE GB，∵∠DGC ＝∠BGE ， ∴△CDG ∽△EBG ，∴∠EBG ＝∠CDG ＝45°，∴∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∵O 是DE 的中点，∴OB ＝12DE ，∵DE ＝2CD ， ∴OB ＝22CD . 8. (1)解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝23， ∴AB ＝2AC ＝4 3. ∵点H 是AC 中点，∴AH ＝12AC ＝ 3.∵AD ⊥AB ，∴∠DAH ＝90°－60°＝30°. ∵DH ⊥AC ，∴在Rt △ADH 中，cos30°＝AH AD， ∴AD ＝30cos AH ＝332＝2，∴BD ＝22＋（43）2＝213. (2)证明：连接AF ，如解图①.在Rt △ABD 中，F 为BD 中点，第8题解图①∴DF ＝AF ，∴∠FDA ＝∠FAD . ∵∠BAC ＝60°， AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°， 由(1)知∠DAH ＝30°，∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠CAD ＝30°＋30°＝60°. ∵DH ⊥AC ，∴∠ADH ＝60°＝∠DAE ，又∵AD ＝AD ，∠AHD ＝∠AED ＝90°， ∴△AHD ≌△DEA (AAS)， ∴DH ＝AE .∵∠FDA ＝∠FAD ，∠ADH ＝∠DAE ， ∴∠FDH ＝∠FAE ，∴△FDH ≌△FAE (SAS)， ∴HF ＝EF.(3)解：△CEF 是等边三角形．证明：取AB 的中点M ，连接FM 、CM ，如解图②，第8题解图②∵F 为BD 的中点，M 为AB 的中点，∴FM ∥AD 且FM ＝12AD .由(2)知，∠CAE ＝30°，且在Rt △ADE 中，AE ＝12AD ，∴AE ＝MF .在Rt △ABC 中，M 为AB 中点， ∴AM ＝CM .∵∠MAC ＝60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AC ＝CM ，∠AMC ＝∠ACM ＝60°. ∵∠AMF ＝90°，∴∠CMF ＝90°－60°＝30°＝∠CAE， ∴△CAE ≌△CMF (SAS)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF，∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°，∴△CEF为等边三角形．拓展类型几何图形折叠探究1. 如图①，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE.(1)若AB＝BC，DE＝1，BE＝3，求△ABC的周长；(2)如图②，若AB＝BC，AD＝BD，∠ADB的平分线DF交BE于点F，求证：BF＝2DE；(3)如图③，若AB≠BC，AD＝BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．第1题图2. 已知Rt△ABC≌Rt△CDE.现将它们摆放成图①所示位置，其中B、C、D三点在同一直线上，连接AE.(1)如图①，若AB＝2，BC＝4，求AE的长；(2)如图②，取AE的中点M，连接BM、DM，证明：BM＝DM；(3)如图③，将图①的Rt△CDE以直线CD为对称轴向下翻折，仍然连接AE，取AE的中点M，连接BM、DM，请问：BM＝DM还成立吗？请说明理由．第2题图答案拓展类型 几何图形折叠探究1. (1)解：∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，∠AEB ＝90°， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴DE ＝12AC ＝AE ，∴AC ＝2DE ＝2，AE ＝1，∴AB ＝12＋32＝10， ∴BC ＝10，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝210＋2. (2)证明：连接AF ，如解图①，第1题解图①∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ， ∴∠3＝∠4，∵∠ADB ＝90°，AD ＝BD ， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°， ∴∠3＝22.5°，∵∠1＋∠C ＝∠3＋∠C ＝90°， ∴∠1＝∠3＝22.5°， ∵DF 平分∠ADB ， ∴∠ADF ＝∠BDF ， 在△ADF 和△BDF 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DF BDF ADF BD AD ∴△ADF ≌△BDF (SAS )，∴AF ＝BF ，∠2＝∠3＝22.5°， ∴∠EAF ＝∠1＋∠2＝45°， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF ＝2AE ，∵DE ＝AE ，AF ＝BF ， ∴BF ＝2DE .(3)解：BE ＝DG ＋AE .理由如下： 作DH ⊥DE 交BE 于H ，如解图②，第1题解图②∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＋∠ACD ＝∠2＋∠ACD ＝90°， ∴∠1＝∠2，∴∠ADE ＝90°－∠ADH ＝∠BDH ， 在△ADE 和△BDH 中，,21⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BDH ADE BDAD ∴△ADE ≌△BDH (ASA)， ∴DH ＝DE ，AE ＝BH ，∴△DHE 是等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°，∴∠3＝90°－∠DEH ＝45°， ∵△ADC 沿着AC 翻折至△AGC ，∴DE ＝GE ，∠3＝∠4＝45°， ∴∠DEG ＝∠EDH ＝90°，DH ＝GE ， ∴DH ∥GE ，∴四边形DHEG 是平行四边形， ∴DG ＝EH ，∴BE ＝EH ＋BH ＝DG ＋AE .2. (1)解：∵Rt △ABC ≌Rt △CDE ， ∴∠BAC ＝∠DCE ，AC ＝CE ， 在Rt △AB C 中，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°， ∴∠DCE ＋∠BCA ＝90°， ∵B ，C ，D 三点共线，∴∠ACE ＝180°－(∠DCE ＋∠BCA )＝90°， ∴AC ⊥CE ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∵AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AE ＝2AC ＝2·AB 2＋BC 2＝2×25＝210. (2)证明：连接CM ，如解图①，第2题解图①∵△ACE 是等腰直角三角形，点M 是AE 的中点， ∴CM ＝AM ＝ME ，∠CAE ＝∠CEA . 在△ABM 和△CDM 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CM AM DCM BAM CD AB ∴△ABM ≌△CDM ， ∴BM ＝DM.(3)解：成立．理由如下：如解图②，延长BM 交DE 于点N ，第2题解图②∵∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∴AB ∥DE ，。