高中数学第六章平面向量及其应用61平面向量的概念课件新人教A版必修第二册

题型3 向量的表示及应用
一辆消防车从A地去B地执行任务．先从A地向北偏东30°方向 行驶2千米到D地．然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从 C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D，D→C，C→B，A→B. (2)说明B地相对于A地的位置．
素养点睛：本题考查了数学抽象和数学建模的核心素养．
【答案】B
【解析】两个向量相等需同向等长，反之也成立，故A，C错误，
a，b可能反向；B正确；D两向量不相等，可能是不同向或者长度不相
等或者不同向且长度不相等．
3．(题型2)如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量 A→B
与D→C的关系是
()
A．A→B＝D→C
B．|A→B|＝|D→C|
C．A→B>D→C
(2)与a共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A，A→D.
(3)与a相等的向量有
→ EF
，
→ DO
，
→ CB
；与b相等的向量有
→ DC
，
→ EO
，
F→A；与c相等的向量有F→O，E→D，A→B.
【例题迁移1】 (变换问法)本例条件不变，写出与向量 B→C 相等的 向量．
3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点， 然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方 向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
解：(1)向量A→B，B→C，C→D如图所示． (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D 共线，又| A→B |＝| C→D |，∴在四边形ABCD中，AB綉
素养达成
1．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何和物 理背景，它是沟通代数与几何的桥梁，注意向量与数量的区别与联系 (体现数学抽象和直观想象的核心素养)．
2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起 点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向 线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示， 但并不能说向量就是有向线段．
(2)若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必 相同．
(3)任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．
课堂互动
题型1 向量的有关概念
(1)下列各量中是向量的是
A．时间
B．加速度 C．面积
(2)给出下列命题：
①零向量没有方向；
②向量A→B的长度和向量B→A的模相等；
③若单位向量的起点相同，则终点相同．
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于___1_个__单__位__长__度____的向量
平行向量 (共线向量)
相等向量
方向__相__同__或__相__反__的非零向量，向量a与b平行，记作 a∥b，规定：零向量与任意向量_平__行___ 长度_相__等___且方向__相__同__的向量；向量a与b相等，记 作a＝b
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的
画“×”)
(1)若a，b都是单位向量，则a＝b.
()
(2)若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．
()
(3)零向量的大小为0，没有方向．
()
【答案】(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不 同．
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定 要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量(体现逻辑推 理的核心素养)．
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量 都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面 内形成一个单位圆．
1．(题型1)在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一
易错防范：解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量 的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条 件，要特别注意零向量的特殊性．
正解：① A→B 与 B→A 是相反向量，模相等，正确；②零向量的方向是 任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同， 又起点相同，则终点相同，正确；④单位向量的模相等，但方向不一定 相同，不正确．故不正确命题的序号是②④.
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习目标
素养要求
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解
平面向量的实际背景，理解平面向量的相
数学抽象
关概念
2.理解平面向量的几何表示和基本要素
数学抽象
3.理解两个向量相等的含义以及共线向量 数学抽象、逻辑推理
的概念
自学导引
向量的定义及表示
1．定义：既有__大__小__，又有__方__向__的量叫做向量． 2 ． 表 示 ： (1) 有 向 线 段 ： 具 有 __方__向__ 的 线 段 ， 它 包 含 三 个 要 素 ： __起__点__、方向、长度；
【例题迁移3】
(变换问法)本例条件不变，写出与
→ FC
的模相等的
向量．
解：与F→C的模相等的向量有C→F，A→D，D→A，E→B，B→E.
相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量，再确定哪 些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段，再构造 同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的终点为起点，起点 为终点的向量． 提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
原因
①
√ |A→B|＝|B→A|＝|AB|
②
× 0是一个向量，而0是一个数量
③
× 向量不能比较大小
④
× 单位向量的模均为1，但方向不确定
5．(题型3)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿 东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到 达D点．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求A→D的模．
CD．∴四边形ABCD为平行四边形．∴A→D＝B→C.∴|A→D|＝|B→C|＝200 km.
易错警示 忽略了零向量的特殊性致误
给出下列命题： ①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等． ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反． ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同． ④若m，n都是单位向量，则m＝n. 其中不正确命题的序号是__________． 错解：④
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
O→C＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
素养点睛：本题考查数学抽象和逻辑推理的核心素养．
解：(1)与a的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E.
(2)向量的表示：
长度
|A→B|
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的
画“×”)
(1)向量就是有向线段．
()
(2)如果|A→B|>|C→D|，那么A→B>C→D.
()
(3)力、速度和质量都是向量．
()
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向 线段．
解：相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与B→C相等 的向量有A→O，O→D，F→E.
【例题迁移2】 (变换问法)本例条件不变，写出与向量 B→C 长度相 等的共线向量．
解：与 B→C 长度相等的共线向量有 C→B ， O→D ， D→O ， A→O ， O→A ， F→E ， E→F.
点，这些向量的终点形成的轨迹是
()
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
【答案】A
【解析】平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
2．(题型1，2)下列命题中正确的是
()
A．若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b
B．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|
向南行驶2 h．则关于下列说法：
①汽车的速度大于摩托车的速度；
②汽车的位移大于摩托车的位移；
③汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程．
其中正确的个数是
()
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B 【解析】向量不能比较大小，速度、位移是向量．数量可以比较大 小，所以只有③正确．
题型2 相等向量与共线向量
2．如图，四边形ABCD为平行四边形． (1)与O→A的模相等的向量有多少个？ (2)与O→A的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出与A→B共线的向量．
解：(1)与O→A的模相等的向量有A→O，O→C，C→O三个． (2)与O→A的模相等且方向相反的向量为O→C，A→O. (3)与A→B共线的向量有D→C，C→D，B→A.
判断一个量是否为向量的关键 关键看它是否具备向量的两要素： (1)有大小；(2)有方向．两条件缺一不可．
理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任一向 量共线． (2)任意两个单位向量不一定相等，但是模都为1.
1．汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以50 km/h的速度
解：(1)作出向量如图所示． (2)∵D在A北偏东30°方向上，B在C南偏西30 °方向上，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝2，∴四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝6，∵C在D北偏 东60°方向上，∴B在A北偏东60°方向6千米处． ∴B在A北偏东60°方向上且|A→B|＝6.
用有向线段表示向量的步骤及其注意事项 (1)步骤： ①定起点：先确定向量的起点； ②定方向：再确定向量的方向； ③定终点：根据向量的长度确定向量的终点． (2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示 在书写时不要忘了字母上的箭头．
D．A→B<D→C
【答案】B 【解析】|A→B|与|D→C|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
4．(题型2)有下列说法：①向量
→ AB
和向量
→ BA
长度相等；②向量0＝
0；③向量 A→B 大于向量 C→D ；④单位向量都相等．其中，正确的说法是
________(真命题的个数为
A．1
B．2
C．3
() D．长度
D．0
()
素养点睛：本题考查数学抽象的核心素养． 【答案】(1)B (2)A 【解析】(1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量，而时间、面 积、长度是只有大小的量，是数量． (2)零向量不是没有方向，而是方向任意．向量 A→B 与 B→A 是起点、终 点互换，故长度相等．因为单位向量的方向任意，故起点相同，终点不 一定相同．
(2)向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． (3)质量不是向量．
(1)向量可以比较大小吗？ (2)有向线段就是向量吗？
【提示】(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
向量的有关概念
名称
定义
向量的长度 向量A→B的大小称为向量A→B的长度(或称模)，记作|A→B|