数学学案：平面直角坐标轴中的伸缩变换

1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换
1．会画出伸缩变换后的平面图形．
2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．
平面直角坐标轴中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．
（1）若P （x ,y ）为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的错误!,得到点P ′（x ′，y ′），坐标对应为错误!通常
叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．
（2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍,得到P ″（x ″，y ″）．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧
x ″＝2x ，，y ″＝y 通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．
【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( ）．
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解
剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中,分别作出f (x ，y ）＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；
(2）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；（3）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的错误!.第（1）种坐标系中的意思是x 轴与y
轴上的单位长度一样,f（x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y)＝0的图形；第（2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，此时f（x,y)＝0表示的图形与第(1）种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!,此时f(x，y）＝0表示的图形与第（1)种坐标系中的图形是不同的．
2．对伸缩变换图形的画法
剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x轴和y轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案:
单位长度
【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．
题型一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆错误!＋错误!＝1的图形：
（1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的错误!.
分析：(1)常规描点法画椭圆；（2)改变y轴上的单位长度；(3）改变x轴上的单位长度．
反思：改变x轴或y轴的单位长度,导致了椭圆错误!＋错误!＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．
题型二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换
【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x2
9
－错误!＝1
的图形：
（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；
（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1 3 .
反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化．
【例1】解:(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，错误!＋错误!＝1的图形如下：
（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下：
（3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下图:
【例2】解：（1)建立平面直角坐标系,使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－错误!＝1的图形如下图:
（2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!－错误!＝1的图形如下:
（3）如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的错误!,错误!－错误!＝1的图形如下图：
1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可
能是( )．
A ．双曲线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
2已知一椭圆的方程为22=1164
x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( ）．
3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．
4在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线y2＝－4x的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1
.
2
答案：
1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．
2．B 如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，则该椭圆的形状为选项B中所示．
3．平行四边形
4．解：（1）建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位
长度，抛物线y2＝－4x的图形如下：
(2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!,抛物线y2＝－4x的图形如下：
(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原
来的1
2
，抛物线y2＝－4x的图形如下：。