临汾第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试(文)数学试题 含答案

临汾一中2015-2016学年度第一学期高二年级期末考试
文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1.直线1x =的倾斜角是( ）
A ．0
B ．4
π C ．2
π D ．不存在
2。

过圆2
2(1)3x y -+=的圆心,且与直线220x y --=垂直的直线方程是
（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y -+=
C ．220x y +-=
D ．210x y +-=
4.下列说法不正确的是( ）
A ．空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B ．同一平面的两条垂线一定共面
C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 5。

下列命题中，真命题是（ ) A ．2
,x R x x ∀∈≥
B ．命题“若1x =，则2
1x
=”的逆命题
C ．2
,x R x
x ∃∈≥
D ．命题“若x y ≠，则sin sin x y ≠”的逆否命题
6。

“a 和b 都不是偶数”的否定是（ ）
A ．a 和b 至少有一个是偶数
B ．a 和b 至多有一个是偶数
C ．a 是偶数，b 不是偶数
D ．a 和b 都是偶数
7。

在极坐标中,直线sin()24
πρθ+=,被圆3ρ=截得的弦长为（ )
A ．22
B ．2
C ．25
D ．23
8.已知1:2,:P q x x x
><
,则p 是q 的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
9。

点,M N 分别是正方体111
1
ABCD A BC D -的棱11
1
1
,A B A D 的中点，用过点,,A M N
和点1
,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所
示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的( ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．②④③ 10。

已知圆C 的方程为2
28150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为
（ ）
A ．2
B ．43
C ．23
D ．3
11.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 31
+ D 51
+
12.若圆2
21
:5O x
y +=与圆222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A B 、两点，且两圆在
点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）
13。

与参数方程为2x y t ⎧
=⎪⎨
=⎪⎩t 为参数）等价的普通方程为 . 14。

已知双曲线2
21x
y -=，
点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，
若1
2
PF PF ⊥，则1
2
||||PF PF +的值为 。

15。

已知圆：2
24x
y +=,直线l 的方程为x y m +=，若圆上恰有三个点到直
线l 的距离为1，则实数m = 。

16。

若点(,)P x y 在曲线1cos sin x y θθ
=-+⎧⎨
=⎩
（θ为参数，R θ∈）上，则1
y
x -的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17。

（本小题满分10分）
已知A 是曲线4cos ρϕ=上任意一点，求点A 到直线cos()43
πρθ-=距离的最
大值和最小值.
18. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 是椭圆2
214x y +=上的一个动点，求
38z x y =+的取值范围。

19。

(本小题满分12分）
已知过点(1,2)M 的直线l 与抛物线2
4x
y =交于A B 、两点,且M 恰为A B 、的
中点，求直线l 的方程。

20。

（本小题满分12分）
已知椭圆22
194
x y +=上任意一点M
（除短轴端点外)与短轴两端点1
2
,B B 的
连线分别与x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心,求||||OP OQ •的值。

21. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，0
60DAB DBF ∠=∠=，2AB =，且FA FC =。

（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求三棱锥E ABD -的体积.
22. （本小题满分12分)
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 3
顶点恰好是双曲线2
21y
x -=的两个焦点.
(1）求椭圆C 的方程；
（2）点(2,1),(2,1)P Q -在椭圆上,,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，满足于APQ BPQ ∠=∠，试求直线AB 的斜率。

高二文科数学答案
一、选择题
CCDDC ACABB DB 二、填空题 13.
22(0)y x x =≥
14。

23 15. 2± 16。

33[] 三、解答题
17.解：∵4cos ρθ=,2
4cos ρρθ=，
从而2
24x
y x +=,
即2
2(2)
4x y -+=，
又∵cos()43
πρθ-=, ∴cos cos sin sin 43
3ππ
ρθρθ+=,
∴80x -=,
又∵32d =>
∴直线与圆相离。

∴最大值为5，最小值为1。

18。

解：设椭圆的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ
为参数）
则38z x y =+
6cos 8sin θθ=+
34
10(cos sin )55
θθ=+
010sin()θφ=+
∵R θ∈(或[0,2)θπ∈） ∴[10,10]z ∈-。

19．解：设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y
则：2
11
222
44x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩121212()()4()x x x x y y ⇒-+=-
∵1
2
12122
x x
x x +=⇒+=，
∴121221
42
AB
y y k x x -=
==-
∴:230AB
l
x y -+=。

20．解：设0
1
2
(,),(0,2),(0,2)M x y B B -, ∴1
00
2
MB y k x +=
， ∴100
2
:2MB y l
y x x ++=
•, ∵0y =， ∴0
022P
x x
y =
+,2000022:22
MB Q y x l y x x x y -+=•⇒=-，
∴20
204|||||||||4|P Q x OP OQ x x y •=•=-，
∵222200
00414949
x y y x +=⇒-=，
∴||||9OP OQ •=。

21．解:（1）记,AB CD 相交于点O ，连接,DF OF , 因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥, 因为AF CF =，
又因为O 为AC 的中点， 所以AC OF ⊥，
又因为BD ⊂平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ， 且BD
OF O =,
所以AC ⊥平面BDEF .
（2)方法一：
因为四边形BDEF 为菱形, 所以//EF BD ，
因为四边形BDEF 为菱形，且0
60DBF ∠=，
所以DF BF =，
又因为O 为BD 的中点， 所以OF BD ⊥,
又因为BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，且BD AC O =，
所以OF ⊥平面ABCD ，
因为2AB =，0
60DAB DBF ∠=∠=，
所以11
||133
E ABD
F ABD ABD V
V S OF --∆====.
方法二：
E ABD A BDE V V --=,
由（1）得AC ⊥平面BDEF ， 所以AO ⊥平面BDEF ， 因为2AB =,0
60DAB DBF ∠=∠=,
所以111
|||OC|=1332
E ABD
A BDE BDE V
V S OC S --∆===⨯⨯四边形BDEF ，
22．解：（1
）计算得双曲线的焦点为，从而可知椭圆的两
个顶点坐标为，
由于椭圆的焦点在x 轴上，所以2
2b
=
，由于离心率为
2
，得28a =. 由此可得椭圆的方程为22
182
x y +=.
（2）因为APQ BPQ ∠=∠，所以直线AP 与直线BP 的倾斜角互补， 设1
1
2
2
(,),(,),AP
A x y
B x y k
k =，则有BP k k =-;
直线AP 的方程(2)1y k x =-+，直线BP 的方程(2)1y k x =---，
联立方程22
1
8
2(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
，
化简可得2
222(14)(816)161640k
x k k x k k ++-+--=,
由于直线AP 与椭圆的交点为A P 、,所以212
16164
214k k x k --=+， 即21288214k k x k --=+，代入直线方程AP 得:212441
14k k y k --+=+，
A 点的坐标为2222
882441
(,)1414k k k k k k
----+++; 计算可得B 点的坐标为2222
882441
(
,)1414k k k k k k +--++++, 则1
2
AB
k
=
.。