§3.2.1几种函数增长快慢的比较之欧阳科创编

§3.2.1几种函数增长快慢的比较
教学目标：（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规
律
教学重点与难点：
重点：函数增长快慢比较的常用途径； 难点：了解影响函数增长快慢的因素. 教学方法：
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函
数增长快慢的比较，体会比较方法。

教学过程：
一、提出问题引入课题
观察函数4
x
y y =
=与在
[0，+∞）上的图象，
说明在不同区间内，
函数增长的快慢情况.在同一坐标中函数图象如右： 结论：若0＜x ＜
164
x 若x ＞164
x
师：增函数的共同特点是函数值y 随自变量x 的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是
否相同？
师生合作观察研究函数4
x
y y =
=与的增长快慢.
①x ∈(0，16)时，y 的图象在4
x y =
图象上方可知y =
增长
较快
②(16,)x ∈+∞时，y =
的图在
4
x y =
图象下方，可知
4
x y =
增长较快
二、问题引入课题，激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1．实例探究：
比较函数y =2x ，y = x 2
，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2x
= x 2
的根，即y = 2x 与y = x 2
的交点横坐标.
2．规律总结
①一般地，对于指数函数y =a x
(a ＞1)和幂函数y =x n
(n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x
会小于x n
，但由于a x
的增长快于x n
的增长，因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x
＞x n
.
②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n
(n ＞0)在区间
(0,)+∞上，随着
x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定
变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.
③在区间(0,) 上，尽管函数y = a x(a＞1)，y = log a x(a＞1)和y= x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y= x n(n＞0)的增长速度，而y = log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
①列表
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8
y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482
y=x2 0.04 0.36 1 1.96 3.24
y=log2x–2.322 –0.737 0 0.485 0.848 x 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y=2x 4.595 6.063 8 10.556 …
y=x2 4.84 6.76 9 11.56 …
y=log2x 1.138 1.379 1.585 1.766 …
②作图
③结论
x∈R时log2x＜x2，且log2x＜2x.
进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.
①列表
x 0 1 2 3 4
y=2x 1 2 4 8 16
y=x20 1 4 9 16
x 5 6 7 8 …
y=2x32 64 128 256 …
y=x225 36 49 64 …
②作图
③结论x∈(0，2)时2x＞x2，x∈(2，4)时，2x＜
x2，x∈(4,) 时2x＞x2
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图
象，并比较其的增长情况：
（1）y=0.1e x–100,x∈[1,10]；
（2）y=20ln x+100,x∈[1,10]；
（3）y=20x,x∈[1,10].
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋
于稳定；函数（3）以稳定的
速率增加.进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
时间：2021.02.05 创作：欧阳科。