2012届高三数学复习课件(广东文)第5章第1节__两角和与差及二倍角的三角函数公式
2012届高考数学一轮复习 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)教案
4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理 1.C （α+β）的推导角α的始边为Ox ，交单位圆于P 1，终边OP 2交单位圆于P 2，角β的始边为OP 2，终边交单位圆于P 3，角－β的始边为Ox ，终边交单位圆于P 4，由|31P P |=|42P P |，得［cos （α+β）－1］2+sin 2（α+β）=［cos （－β）－cos α］2+［sin （－β）－sin α］2.∴cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β. 2.S （α±β）、C （α－β）、T （α±β）以及推导线索（1）在C （α+β）中以－β代β即可得到C （α－β）. （2）利用cos （2π－α）=sin α即可得到S （α+β）；再以－β代β即可得到S （α－β）. （3）利用tan α=ααcos sin 即可得到T （α±β）. 说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.●点击双基1.（2004年重庆，5）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于A.－21B.21C.－23D.23解析：原式=sin17°（－sin43°）+（－sin73°）（－sin47°）=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=21. 答案：B2.（2005年春季北京，7）在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析：由2sin A cos B =sin C 知2sin A cos B =sin （A +B ），∴2sin A cos B =sin A cos B +cos A sin B .∴cos A sin B －sin A cos B =0. ∴sin （B －A ）=0.∴B =A . 答案：B 3.︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是A.21 B.23C.3D.2解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3. 答案：C4.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=_______.解析：由0＜α＜2π，2π＜β＜π，得2π＜α+β＜2π3. 故由sin （α+β）=6533，得cos （α+β）=－6556. 由cos β=－135，得sin β=1312. ∴sin α=sin ［（α+β）－β］=sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=6533·（－135）－（－6556）·1312=－845507. 答案：－8455075.△ABC 中，若b =2a ，B =A +60°，则A =_______.解析：利用正弦定理，由b =2a ⇒sin B =2sin A ⇒sin （A +60°）－2sin A =0⇒3cos A －3sin A =0⇒sin （30°－A ）=0⇒30°－A =0°（或180°）⇒A =30°.答案：30° ●典例剖析【例1】 设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］= (2757)∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】 （2000年春季京、皖）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c .证明：222c b a -=C B A sin sin ）（-.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.证明：由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，b 2=a 2+c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2=b 2－a 2－2bc cos A +2ac cos B ， 整理得222c b a -=cAb B a cos cos -.依正弦定理有c a =C A sin sin ，c b =C B sin sin ，∴222c b a -=C A B B A sin cos sin cos sin -=C B A sin sin ）（-.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A +B +C =π，a +b ＞c ，a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B 等.【例3】 已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值.剖析：由已知首先消去γ是解题关键.解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β.平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1.∴－2cos （β－α）=－1.∴cos （β－α）=21.∴β－α=±3π. ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α.∴β－α=3π. 评述：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.●闯关训练 夯实基础1.（2004年上海，1）若tan α=21，则tan （α+4π）=____________. 解析：tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3.答案：32.要使sin α－3cos α=mm --464有意义，则应有 A.m ≤37B.m ≥－1C.m ≤－1或m ≥37D.－1≤m ≤37 解析：2sin （α－3π）=m m --464⇒sin （α－3π）=mm --432.由－1≤m m --432≤1⇒－1≤m ≤37. 答案：D3.（2004年福建，2）tan15°+cot15°等于 A.2B.2+3C.4D.334 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C 4.在△ABC 中，若22b a =BAtan tan ，则△ABC 的形状为_______. 解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为BA 22sin sin =B A B A sin cos cos sin ⇒B A sin sin =⇒A Bcos cossin2A =sin2B ⇒2A =2B 或2A =π－2B ⇒A =B 或A +B =2π. 答案：等腰三角形或直角三角形 5.（2004年湖南，17）已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值. 解：由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，得tan α=31. 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32. 6.已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β. 解：由cos α=71，cos （α+β）=－1411，得cos β=cos ［（α+β）－α］=21， 得β=3π. 培养能力 7.已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x+4πcos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π，∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）.又cos2x =sin （2π－2x ）=sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.8.已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm-+11tan α. 证明：∵sin β=m sin （2α+β）， ∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］.∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α. ∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α. ∴tan （α+β）=mm-+11tan α. 9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－54. 由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010.所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 探究创新10.sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 解：令t =cos α+cos β，① sin α+sin β=22，②①2+②2，得t 2+21=2+2cos （α－β）.∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］. ∴t ∈［－214，214］. ●思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.3.注意倍角的相对性，如3α是23的倍角. 4.要时时注意角的范围的讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C （α+β）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.拓展题例【例1】 已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），（a ≠b ）. 求证：（a +b ）⊥（a －b ）. 分析：只要证（a +b ）·（a －b ）=0即可.证法一：（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=1－1=0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：在单位圆中设OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作□OACB ，则OACB 为菱形.∴OC ⊥BA . ∴OC ·BA =0， 即（a +b ）·（a －b ）=0. ∴（a +b ）⊥（a －b ）. 【例2】 α、β∈（0，2π），3sin 2α+2sin 2β=1，① 3sin2α－2sin2β=0②，求α+2β的值.解：由①得3sin 2α=1－2sin 2β=cos2β.由②得sin2β=23sin2α. ∴cos （α+2β）=cos αcos2β－sin αsin2β =3cos αsin 2α－sin α·23sin2α=0. ∵α、β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，2π3）. ∴α+2β=2π.。
高考总复习数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 课时规范练33 两角和与差的三角函数、二倍角公式
=cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=-sin 30°=- ,故 A 正确;
sin 15°·
sin 30°sin
故 B 正确;
2
2
1
75°= sin
2
cos 15°-sin 15°=cos 30°=
故C
1
15°sin(90°-15°)= sin
2
2
15°cos
1
15°= sin
4
3
,
2
tan48 °+tan72 °
正确;1-tan48 °tan72 °=tan(48°+72°)=tan
120°=- 3,故 D 错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
30°= ,
8
1
2x=- ,则
3
7.(2024·广东深圳中学模拟)已知 cos
1
=1+ cos
2
2
1
2x=1+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5
×(- )= .
3 6
8.(多选题)(2024·海南高三学业水平诊断)已知
( AC )
1
4
A.tan α=-2
B.sin 2α=5
C.cos
3
2α=5
D.tan
π
α∈(2 ,π),且
因为
所以
2 5
D.- 5
14.(2024·浙江杭州、宁波联考)已知 tan(α+β),tan(α-β)是关于 x 的方程
2012届高三数学复习课件(广东文)第4章第1节__任意角的三角函数
解析： ) 设弧长为l，弓形面积为S弓． (1 10π 因为α = ，R = 10，所以l =| α |i R = ( cm )， 3 3 1 1 2 所以S弓 = S扇 − S ∆ = lR − R sinα 2 2
π
1 10π 1 π 3 2 ) ( cm 2 )． = × ×10 − × 10 × sin60° = 50( − 2 3 2 3 2 c −l ( 2 ) 方法1：由已知2R + l = c，所以R = ( l < c )， 2 1 1 c−l 1 c 2 c2 所以S扇 = Rl = i il = ( cl − l 2 ) = − (l − ) + . 2 2 2 4 2 16 c 2i c l l 2l 当l = ，即α = = = = 2 = 2时，扇形面 2 R c −l c−l c− c 2 2 c2 c2 积有最大值 .所以，当α = 2时，扇形面积有最大值 . 16 16
调性、有界性和对称性．二是 关注对诱导公式及同角三角函 数的基本关系的考查；三是充 分利用数形结合的思想，把图 象和性质结合起来，考查学生 的图象转换能力．在高考试题
，
考纲要求
高考展望
中，本章的知识点主要是以选 择题、填空题或解答题形式出 现，属中低档题．解题时要注 意规范解答，避免非智力因素 失分. 失分.
解析： 设扇形的半径为r，面积为S，圆心角为a，则 扇形的弧长为20 − 2r. 1 2 所以S = i( 20 − 2r )ir = − ( r − 5 ) + 25. 2 20 − 10 所以，当r = 5，α = = 2时，扇形的面积S 最大， 5 且最大值为25.
三角函数的定义
例题3： tanα = 2，利用三角函数的定义，求sinα 和cosα 若 的值．
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
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地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
2012高考数学理一轮复习(北师大)精品学案5两角和与差及二倍角和三角函数
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考点1 考点2 考点3
考纲解读
(1)会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式.
两角和与差 (2)会用两角差的余弦公式推导出两角
的正弦、余 弦和正切公
差的正弦、正切公式.
式
(3)会用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式和二倍角
5 ∴cosα= 1 - sin2 4.
5
∵β为第一象限，cosβ=
5 ,
13
∴sinβ= 1 - cos2 12 .
13
故sin2α=2sinαcosα= ,24
25
cos2α=1-2sin2α= ,7
25
sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-
cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-
的正弦、余弦、正切公式，了解它们
的内在联系.
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考向预测
在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型 就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公 式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力， 故求值题仍将是今后命题的重点内容.
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1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)= sinαcosβ±cosαsinβ ；
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已知α为第二象限角,sinα= ,3β为第一象限角,
5
cosβ= 5 ,求tan(2α-β)的值.
13
【解析】解法一: tan( 2 ) tan 2 tan ,
∵α为第二象限角,sinα=
,∴3 cosα=1
5
tan 2 tan
高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第24课二倍角的三角函数课件
[思想与方法] 1．三角函数的求值与化简要注意观察角、 函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变 换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图象与性质相结合的综合 问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数 解析式整理为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借 助三角函数图象解决．
[易错与防范] 1．利用辅助角公式 asin x＋bcos x 转化时， 一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角． 2．计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形 式的函数最值时，不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的 范围混淆．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
(4)等式 1＋cos α＝2sin2α2对∀α∈R 均成立．(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列各式中值为 23的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos215°－sin215°＝cos 30°＝ 23，2sin215° －1＝－cos 30°＝－ 23， sin215°＋cos215°＝1.]
＝12sin2α＋π3＝－14， 即 sin2α＋π3＝－12. ∵α∈π3，π2， ∴2α＋π3∈π，43π， ∴cos2α＋π3＝－ 23， ∴sin 2α＝sin2α＋π3－π3 ＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3·sin π3＝12.
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题2 第12课时 解三角形
解析
1由余弦定理得a 2 b 2 c 2 2bccosA
1 2 1 1 a 7 2 2 ( c) c 2 c c c . 3 3 2 c 3
3
cos B sin C cos C sin B 2 cotB cotC sin B sin C sin( B C ) sin A . sin B sin C sin B sin C 由正弦定理和 1的结论得 7 2 c 2 sin A 1 a 2 9 14 14 3 ， sin B sin C sin A bc 9 3 1cc 3 3 3 14 3 故cotB cotC . 9
22
解析
在AOB中，设OA a，OB b.
因为OA为正西方向，OB为东北方向， 所以AOB 135. 则 AB a 2 b 2 2abcos135 a 2 b 2 2 ab
2
2ab ab (2 2) ab， 当且仅当a b时， "成立． " 又O到AB的距离为10， 1 1 所以S ABO absin135 AB 10， 2 2 2 得 AB ab. 20
2 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若
运用正弦定理，则务必注意可能有两解．
27
3．余弦定理：a 2 b 2 c 2 2bccos A，cos A b2 c2 a2 等，常选用余弦定理判定三角形的形状．已 2bc 知三角形两边一对角时，也可用余弦定理，但应注意解 的取舍． 1 1 1 aha absinC r a b c (其 2 2 2 中r为三角形内切圆的半径，注意在直角三角形中，有r 4．面积公式：S 1 a b c ，其中a，b为直角边的长，c为斜边长)． 2 5．求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运 用正弦定理、余弦定理实现边角互化．
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式
B.tan(α-β)=-1
C.tan(α+β)=1
D.tan(α+β)=-1
解析 因为 tan
sin-cos
β=
,所以
sin+cos
tan
以 1+tan αtan β=tan α-tan β,所以
tan-1
β=
,所以
tan+1
tan αtan β+tan β=tan α-1,所
tan-tan
=
α- α
.
α+ α
2.两角和与差的正切公式的变形:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α.
+
π
2cos(α+ )sin
4
π
2sin(α+ )cos
4
π
2sin[(α+4)+β]=
β.又 sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cos
3
sin αcos
1
sin(α-β)=3,cos
αsin
αsin
1
β=6,则
1
β=6,∴sin(α-β)=sin
1
β= . ∵sin(α+β)=sin
2
αcos β-cos αsin β=
αcos β+cos αsin
2 2 1
2012届高考文科数学第一轮考纲(两角和与差及二倍角的三角函数公式)复习课件16
第 5 讲两角和与差及二倍角的三角函数公式1．公式体系(1)两角和与差的三角函数(6 个)：cos(α＋β) ＝ _____________________；cos(α－β) ＝ ________________________；sin(α＋β) ＝______________________； sin(α－β) ＝ _______________________； tan(α＋β)＝___________ ；tan(α－β)＝____________ tanα+tanβ.1-tanαtanβ cosαcosβ－ sinαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ sinαcosβ＋ cos αsinβ sinαcosβ－cosαsinβtanα-tanβ. 1+tanαtanβ 2．公式的应用 (1)正用：从左到右使用公式； (2)反用：从右到左使用公式； (3) 变用：公式的变形使用，例如 tanα±tanβ＝tan(α±β) (1 ? tanαtanβ)等. 3．三个统一三角函数式的各种变形中，问题的切入点是要从三个“统一”入手，首先是角的统一，其次是函数名称的统一与次数的统一． 1．在△ABC 中，sinA·sinB<cosA·cosB，则这个三角形的形状是( ) B A．锐角三角形 C．直角三角形 B．钝角三角形 D．等腰三角形 B 第三象限 4．已知角α的终边过点(3，－4)，则 cos2α＝_______. －2cosx 考点 1 三角公式的使用数 f(x)＝m·n－1. (1)求函数 f(x)的值域；解题思路：C ＝π－(A＋B)，求 f(C)相当于求 f[π－(A＋B)]，转化为两角和的三角函数问题．解决问题过程中，要深入研究问题的本质，本题的实质是直接使用两角和与差的三角函数公式．【互动探究】，求 cosA 的值．考点 2 三角公式的综合应用 (1)判断△ABC 的形状； (2)若 cosC＝－7 25 解题思路：用向量乘法的概念，将问题转化为两角和与差的三角函数问题．边角统一是处理问题的基本规律．当边的问题化为角的问题时，我们可以使用相关的知识解决问题．【互动探究】错源：公式的变形例3：已知 a、b 是两个不共线的向量，并且 a＝(cosα，sinα)， b＝(cosβ，sinβ)．(1)求证：a＋b 与 a－b 垂直；解方程解出 sinα的值，而是通过角的变形来处理．一般来讲，条件中出现的角为单角，结论中出现的角为两角之和或差．【互动探究】例 4：如图 6－5－1 的程序框图中，函数 f′n (x)表示函数 fn (x) 的函数．若输入函数 (x)＝sinx－cosx，则输出的函数 fn (x)可化为( ) f1 图 6－5－1 解题思路：通过探究发现函数的周期，求出一个周期内的函数的所有值即可．解析：f1 (x)＝sinx－cosx， f2 (x)＝(sinx－cosx)′＝cosx＋sinx， f3 (x)＝(cosx＋sinx)′＝－sinx ＋cosx， f4 (x)＝(－sinx＋cosx)′＝－cosx－sinx， f5 (x)＝(－cosx－sinx)′＝sinx －cosx＝f1 (x) ……除以 4 的余数是 2, 输出的函数 fn (x)＝f2 (x)．选 C. 点评：以框图为载体的三角函数问题，主要是通过函数的周期性与相关的三角公式解决．【互动探究】图 6－5－2 1．合一变换与降次都是经常使用的方法，合一变换的目的是把一个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数．降次的目的，一方面把一个角变为原来的两倍．另外一方面是为了次数的统一． 2．在处理三角函数问题时，三个统一中(角的统一、函数名统一、次数统一)，角的统一是第一位的．。
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2
高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式课件 理
【规律(guīlǜ)方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已
知角表示(biǎoshì)： ①已知角为两个时，待求角一般(yībān)表示为已知角的和或差；
②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
第十二页，共二十九页。
考点(kǎo di给ǎn)值2求值问题(wèntí)
－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
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第二十七页，共二十九页。
第二十八页，共二十九页。
内容(nèiróng)总结
第5讲。1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.。cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1 －2sin2α。2sin αcos α。例1：(1)(2015 年新课标Ⅰ) sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°。(3)(2015
故选 D. 答案(dá àn)：D
第八页，共二十九页。
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
第二十四页，共二十九页。
解：(1)由角 α 的终边过点 P－35，－45，得 sin α＝－45， 所以 sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角 α 的终边过点 P－35，－45，得 cos α＝－35， 由 sin(α＋β)＝153，得 cos(α＋β)＝±1123. 由 β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－5665或 cos β＝1665. 【规律(guīlǜ)方法】求cosβ的值，注意β＝(α＋β)－α的转化.
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
,cos
α= 33 ,则cos α
6
=
答案 1 - 6
26
解析
∵α∈ 0, 2
,cos
α= 3 , 3
∴sin α= 6 . 3
∴cos α
6
=cos
αcos -sin
6
αsin
6
= 3 × 3 - 6 × 1 = 1 - 6 .
.
3
答案 (1) 2 5 (2) 7
25
9
栏目索引
.
考点突破 栏目索引
解析 (1)依题意得sin α= 1 cos2α = 2 5 ,
5
因为sin(α+β)= 3 <sin α且α,β都是锐角,
5
所以α+β∈ 2 , ,所以cos(α+β)=- 54 .
于是cos β=cos[(α+β)-α]
5
A. 7 B.- 7 C. 16 D.- 16
25
25
25
25
答案 A 由sin(α-kπ)= 3 (k∈Z)得sin α=± 3 .
5
5
所以cos
2α=1-2sin2α=1-2× 53
2
=1- 18 = 7 .故选A.
25 25
教材研读 栏目索引
5.已知α∈ 0, 2
2 cos10 cos 80
=
2
2
cos10sin10
=
2 1 sin 20
=-1.
2
考点突破 栏目索引
考点突破 栏目索引
2-2 在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=
高考数学第1轮总复习 第20讲 两角和与差及二倍角的三角函数课件 理 (广东专)
【点评】此题若选用求 sin(α＋β)的值，则需进一步缩小 α，β 的范围，否则容易导致增解，对于此类问题，一般选择在相 应区间上具有单调性的三角函数来求解．
素材3
已知 α，β 都是锐角，并且 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β ＝0，试求 α＋2β 的大小．
【解析】由已知 3sin2α＝cos2β，① 3sin2α＝2sin2β，② ②÷①，得ssiinn22αα＝2csoisn22ββ，所以csoinsαα＝csoins22ββ， 所以 cosαcos2β－sinαsin2β＝0，所以 cos(α＋2β)＝0， 又 0<α＋2β<32π，所以 α＋2β＝2π.
a 4.降幂公式
cos2 ⑩__________.sin2
【要点指南】
①sin cos cos sin ；②cos cos sin sin ；
③ tan tan ；④2sin cos；⑤cos2 sin2 ； 1 tantan
⑥2cos2 1；⑦ 2tan ；⑧ a2 b2 sin( )； 1 tan2
所以 sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β) ＝－cos[(34π＋β)－(π4－α)] ＝－cos(34π＋β)·cos(π4－α)－sin(34π＋β)·sin(π4－α) ＝－(－1123)×35－153×(－45) ＝5665.
【点评】“凑角法”是给值求值中常用的技巧，解题时首 先要分析已知条件和结论中各个角之间的相互关系，并根 据这种关系来选择公式．
3 2.
4.若 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则 tan(α＋π4)＝
3 22
.
【解析】tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)] ＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π4π4 ＝1＋25－25×14 14＝232.
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拼角、凑角技巧
4 3 例题2：已知cos ，cos( ) ，且， 都为锐角， 5 5 求sin的值．
解析：因为0
2
， 0
2
，
4 3 又cos ，所以sin . 5 5 3 因为cos( ) ， 5
4 所以0 ，所以sin( ) . 2 5 所以sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin 4 4 3 3 7 . 5 5 5 5 25
x x 1 2 x 拓展练习： 已知函数f x sin cos cos . 2 2 2 2 2 1 若f ( ) ， (0， )，求的值； 4
2 求函数f x 在[
4
， ]上的最大值和最小值．
1 1 cos x 1 1 解析： f x sin x sin x cos x 1 2 2 2 2 2 2 2 sin( x )．由题意知f ( ) sin( ) ， 2 4 2 4 4 1 即 sin( ) . 4 2
1.已知tan( ) 3，tan( ) 5，则tan2 D 1 1 4 4 A. B. C. D. 8 8 7 7
解析： 2 tan[( ) ( )] tan tan( ) tan( ) 35 1 tan( ) tan( ) 1 3 5 4 . 7
3 例题1：已知 为锐角，且cos . 5 5 1 求sin2的值；2 求tan( )的值． 4
3 解析：因为 为锐角，且 cos ， 5 4 2 所以 sin a 1 cos . 5
4 3 24 1 sin 2 2sin cos 2 . 5 5 25 sin 4 ， 2 因为 tan cos 3 4 5 1 tan tan 5 1 4 3 所以 tan( ) . 5 4 4 7 1 tan tan 1 1 4 3
4m 6 所以1 2sin( x ) 2，所以1 2， 6 4m 4m 6 4 m 1 7 即 ，解得2 m . 3 4m 6 2 4m 7 故满足条件的实数m的取值范围是[2， ]． 3
要求m的取值范围，需求 3sinx cosx的范围，故应 先将该式化为Asin( x )的形式，再由 3sinx cosx 4m 6 的范围解与 有关的不等式．形如asin bcos 4m a 2 2 的函数解析式，可用配凑的方法化为 a b ( a 2 b2 b sin cos ) s a 2 b 2 in(a )的形式，其 a 2 b2 b 中 满足tan . a
由题设条件，应用二倍角的余弦公式，得 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) 7 (cos sin )． 5 7 1 又 cos 2 ，故 cos sin .② 25 5 3 4 联立①②，解得 sin ， ， cos 5 5 3 因此 tan .由两角和的正切公式， 4 tan 3 48 25 3 得 tan( ) 3 1 3 tan 11
，
考纲要求 (1)两角和与差的三角函数公式． ①会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式． ②能利用两角差的余弦公式导出两角 差的正弦、余弦、正切公式． ③能利用两角差的余弦公式导出两角 和的正弦、余弦、正切公式，导出二 倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系． (2)简单的三角恒等变换 能利用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半 角公式，但对这三组公式不要求记 忆).
反思小结：解题时，要注意找出未知角与已知角之间的 关系，把未知角用已知角配凑表示．本题的关键在于找 出未知角 与已知角、 的关系，可知 ( ) ， 从而利用两角差的正弦公式求解．类似的角的配凑技巧 还有如2 ( ) ( )， ( ) ( )等．还 2 要注意已知某角的一个三角函数值，求这个角的其他三 角函数值时，要由角的范围确定其他三角函数值的符号．
2 由0
2
，得0
2
.
13 2 又因为 cos( ) ，所以 sin( ) 1 cos ( ) 14 13 2 3 3 1 ( ) . 14 14 由 ( )，得 cos cos[ ( )] 1 13 4 3 3 3 cosacos( ) sinasin( ) 7 14 7 14 1 .所以 . 2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4m 6 例题3： 0 x ，求使 3sinx cosx 已知 有意义 2 4m 的实数m的取值范围．
3 1 解析： 3sinx cosx 2( sinx cosx) 2 2 cosxsin ) 2sin( x )． 6 6 6 2 因为0 x ，所以 x ， 2 6 6 3 2(sinxcos
5
1.两角和与差的三角函数要注意的问题
1 不仅要明确公式的一致性，而且要注意不同公式的结
构特点：角的顺序、函数的顺序、符号的规律，便于记 忆和运用．
2 两角和与差的正弦、余弦公式中的角a、b可以为任意角，
而两角和与差的正切公式中的角a、b必须满足：a、b k
公式的综合运用
1 1 例题3： cos( ) ，cos( ) ，求tan tan 已知 6 3 的值．
1 1 解析： cos( ) ，所以 cos cos sin sin .① 因为 6 6 1 1 因为 cos( ) ，所以 cos cos sin sin .② 3 3 1 ① ②得 cos cos . 4 1 sin sin 1 ② ①得 sin sin .所以 tan tan b . 12 cos cos 3
1 13 拓展练习：已知cos ，cos( ) ，且0 . 7 14 2 求： tan2的值； 的大小． 1 2
1 解析： 由 cos ， ， 0 1 7 2
2
1 2 4 3 得 sin 1 cos 1 ( ) . 7 7 sin 4 3 所以 tan 7 4 3， cos 7 2 tan 2 4 3 8 3 于是 tan 2 . 2 2 1 tan 1 (4 3 ) 47
1 1 4.已知sin sin ，cos cos ， 3 59 2 则cos( ) 72 .
1 1 解析：因为sin sin ，cos cos ， 2 3 1 1 2 2 所以(sin sin ) (cos cos ) ， 4 9 13 59 59 所以2cos( ) 2 ，所以cos( ) . 36 36 72
1 5.sin17cos47 sin73sin47 2
解析：sin17cos47 sin73sin47 sin17cos47 cos17sin47 sin(17 47) sin(30) 1 . 2
两角和与差及二倍角的三角公式的直接运用
高考展望
三角恒等变换是三角函数的 重要内容之一，高考在降低对三 角函数恒等变形的要求下，加强 了对三角函数性质和图象的考查 力度．预计2012年的高考，一是 以化简、求值为主，应用三角函 数公式进行恒等变形后，求三角 函数的值或综合讨论三角函数的 性质等，常以选择题、填空题或 解答题形式出现，属中低档 题．二是考查公式的正用、逆用 和变形运用．这需要熟练掌握公 式，理清公式的来龙去脉与用途.
2.函数f x sinxcosx的最小正周期为 B A.
2
B.
C. 2
D. 4
3.tan 80 tan 40 tan 80 tan 40的值等于 B A. 3 B. 3 3 C. 3 3 D. 3
tan 80 tan 40 解析：由 tan120 ， 1 tan 80 tan 40 得 tan 80 tan 40 3 tan 80 tan 40 tan120 3
拓展练习： cos20cos40cos80的值． 求
2sin 20 cos 20 cos 40 cos80 解析：原式 2sin 20 sin 40 cos 40 cos80 2sin 20 sin 80 cos80 sin160 2 2sin 20 2 2 2sin 20 sin 20 1 . 8sin 20 8
反思小结：观察欲求值式为两个单角的"正切" 之积， 而条件则是两个复角的" 余弦 " 之值，因此解题的基本 思路定为化 "复 " 为 " 单 "，化 "弦 " 为 切"．故首先运用 两角和与差的余弦公式将条件式展开，此题便可迎刃 而解．练题不仅仅是为了加深对所学知识的理解，巩 固公式、法则、技能的运用，更应是不断地学习、探 索分析问题与解决问题的方法．如本例中，不仅要熟 悉两角和与差的余弦公式的运用，更要学会分析与策 划，比较已知与未知，找出差异与联系("复 "与" 单 "，弦 " " 与" 切") 利用已知、挖掘已知、变换已知(利用公式、 解方程法，以"弦 " 化 " 切") 破解未知．
因为 (0， )，则