高中数学(苏教版)选修1-1精品课件：第三章第3节第2课时极大值与极小值

首 页
上一页
下一页
末 页
2．极大值与导数的关系 x x0 左侧 x0 f′(x)＝0 极大值 f(x0) x0 右侧 f′(x) ＜ 0 减
f′(x) f′(x) ＞ 0 f(x) 增
3．极小值与导数的关系 x x0 左侧 x0 f′(x)＝0 极小值 f(x0)
首 页 上一页
x0 右侧 f′(x) ＞ 0 增
首 页
上一页
下一页
末 页
[例 2]
已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处
取得极值 10，求常数 a、b 的值．
[思路点拨]
由于函数 f(x)在 x＝1 处有极值 10，可得
f′(1)＝0 且 f(1)＝10，由此列出方程组求 a，b 的值，但还要 检验求出的 a，b 的值是否满足函数取得极值的条件．
[例 1]
求函数 y＝x4－4x3＋5 的极值.
[思路点拨]
先求 f′(x) 和使 f′(x)＝0 成立的点，再
结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判 断极值．
首 页
上一页
下一页
末 页
[精解详析]
y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令 y′＝4x2(x－3)＝0，得 x1＝0，x2＝3. 当 x 变化时，y′， y 的变化情况如下表： x (－∞，0) y′ y － 0 0 不是 极值 (0，3) － 3 0 极小 值－22 (3，＋∞) ＋
首 页
上一页
下一页
末 页
问题 2：y＝f(x)在这些点的导数值是多少？
提示：导数值为 0.
问题 3：在这些点附近 y＝f(x)的导数的符号有 何规律？
提示：在这些点的左右两侧导数符号相反．
首 页
上一页
下一页
末 页
1．极大值与极小值的定义 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 及其附近有定义，若 f(x0)的值 比 x0 附近所有各点的函数值都 大 ， 我们就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的一个极大值；若 f(x0)的值比 x0 附近所有各点的函 数值都 小 ， 我们就说 f(x0)是函数 y＝f(x)的一个 极小值 ． 极大值和极小值统称为极值．
下一页
f′(x) f′(x) ＜ 0 f(x) 减
末 页
1．函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在 某一点附近的大小情况． 2．由函数极值的定义知，函数在一个区间的端点处 一定不可能取得极值． 3．若函数在某区间内有极值，则函数在该区间内不 页
首 页
上一页
下一页
末 页
首 页
上一页
下一页
末 页
[精解详析]
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
2 f（1）＝10， 1＋a＋b＋a ＝10， 依题意得 即 f′（1）＝0， 3＋2a＋b＝0，
a＝4， a＝－3， 解得 或 b＝－11 b＝3，
但由于当 a＝－3，b＝3 时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0， 故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x＝1 处取得极值，
2 3 x －2x－1 （3x＋1）（x－1） 1 1 3 f′(x)＝－x－ 2＋ ＝ ＝ . 2x 2 2x2 2x2
首 页
上一页
下一页
末 页
1 1 令 f′(x)＝0，解得 x1＝1，x2＝－ (因 x2＝－ 不 3 3 在定义域内，舍去)． 当 x∈(0，1)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)上为 减函数； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 故 f(x)在(1，＋∞)上为增函数． 故 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝3.
故当 x＝3 时函数取得极小值，且 y 极小值＝f(3)＝－22.
首 页
上一页
下一页
末 页
[一点通] 求函数 y＝f(x)的极值的方法： (1)求导数 f′(x)； (2)令 f′(x)＝0，求出使 f′(x)＝0 的各个值 x0； (3)检验 x0 左右两侧导函数的符号， ①如果在 x0 的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极 大值； ②如果在 x0 的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极 小值； ③如果在 x0 左右两侧导数符号相同， 那么 f(x0)不是极值． (4)求出极大(小)值．
首 页
上一页
下一页
末 页
1 3 解：(1)因为 f(x)＝aln x＋ ＋ x＋1， 2x 2 a 1 3 故 f′(x)＝x－ 2＋ . 2x 2 由于曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于 y 轴，故该 1 3 切线斜率为 0，即 f′(1)＝0，从而 a－ ＋ ＝0， 2 2 解得 a＝－1. 1 3 (2)由(1)知 f(x)＝－ln x＋ ＋ x＋1(x>0)， 2x 2
第 2 课时
极大值与极小值
首 页
上一页
下一页
末 页
首 页
上一页
下一页
末 页
函数 y＝f(x)的图象如图所示：
问题 1：函数 y＝f(x)在 a，b，c，d，e，f 等点的函数 值与这些点附近的函数值有什么关系？
首 页
上一页
下一页
末 页
提示：以 a，b 两点为例，函数 y＝f(x)在点 x ＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函 数值都小，而在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在 x＝ b 附近其他点的函数值都大．同理，在 c，d，e， f 处的函数值比它在该点附近其他点的函数值都 大或都小．
首 页 上一页 下一页
末 页
1．求函数 y＝3x3－x＋1 的极值．
1 1 解：y′＝9x －1，令 y′＝0，得 x1＝ ，x2＝－ . 3 3
2
当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表： x y′ y
1 －∞，－ 3
1 － 3 0 极大值
1 1 － ， 3 3
1 3 0 极小值
1 ，＋∞ 3
＋
－
＋
首 页
上一页
下一页
末 页
1 因此，当 x＝－ 时，y 有极大值，且 y 3 11 ＝ ； 9 1 7 当 x＝ 时，y 有极小值，且 y 极小值＝ . 3 9
极大值
首 页
上一页
下一页
末 页
1 3 2．设 f(x)＝aln x＋ ＋ x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x) 2x 2 在点(1，f(1))处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．