人教版八年级下期数学18.2.3 第1课时 正方形的性质1

学习目标
情境引入
1.理解正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.
2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（重点、
难点）
导入新课
图片引入
观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么 共同特征？
各边相等， 四个角都是 直角……
讲授新课
正方形的性质
合作探究
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?
〃
正方形矩
形
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
矩形
邻边 相等 正方形
发现：
一组邻边相等的矩形是正方形
菱形
一个角是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
正 矩形 方
形
(20 2)2 800(cm2 )
30 10
对角线AC = （20 2）2 +（20 2）2 40(m)
4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边
△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE,
D
A
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
EM
B
F
C
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
当堂练习
1．在正方形ABCD中,∠ADB= 45° ,∠DAC= 45° , ∠BOC= 90°.
A
D
A
D
O
O
E
B
C
第1题
B
C
第2题
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则
C
∴∠ EAD= ∠ EDA=90°-75°=15°
做一做 如图,点E是正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC， 若AE交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数.
解：∠E =22.5°，
A
D
∠AFC=112.5°. F
B
C
E
例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长 线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明 理由.
还可以用其 他方法说明， 试试看.
例2 已知：如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵∠EBC= ∠ ECB= ∠ CEB=60° A
D
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
E
∠ ABE= ∠ DCE=30°
∴∠ BAE= ∠ BEA= ∠ CDE= ∠ CED=75°B
A
D
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=BO= 1 AC.
E
2 ∵S△APO+S△BPO=S△ABO
P
O
F
∴ 1 AO·PE+ 1 BO·PF = 1 AO·BO
B
C
2
2
2
∴PE+PF= AO= 1 AC=5.
2
∵四边形ABCD是正 方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OC,OB=OD
对 称 图 形
典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的
等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角 A
D
线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO
O
是全等的等腰直角三角形.
B
C
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每
条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂
直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直形,
A
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
∟
∟D A
D
形 语 言B
CB
∟
∟
轴
O
对
称
CB
C
图
文 字 对边平行，
四个角
形
对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线
语 四条边都相等
都是直角
平分一组对角
中
言
心
符 ∵四边形ABCD ∵四边形ABCD
号 语 言
是正方形
∴AB∥CD, AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
是正方形 ∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
是等腰直角三角形,并且
B
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
D O
C
做一做
如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE 相等吗?为什么?
解: BE = DE.理由如下： 连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD 又点E在AC上 ∴BE =DE
D
C
E
A
B
∠EBC的度数是 22.5°.
3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取 定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积 和对角线分别是多少？ 解：根据勾股定理：
BC2= EC2- EB2 = 302 – 102 = 800
∴BC= 800 20 2(m) ∴这块场地的面积=
菱形
平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也 是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
填一填：
角： 四个角都是直角.
A
边： 四条边相等.
a
对角线： 对角线相等且互相垂直平分. B
对称性： 轴对称图形（4条对称轴）.
a D a C
a
正方形的性 质
边
角
对角线
对称性
图A
DA
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
A
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角） B
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
D
E F
C
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF.
A
D
∴BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF.
又∵四边形ABCD是正方形.
E
∴AD=BC=AE=BE,
C
B
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公
共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结
DG、BE.试说明：DG＝BE.
证明：根据正方形的性质 可得AD=AB，AG=EF 又由旋转可得
D
C
G F
∠DAG=∠BAE ∴△ DAG≌△ BAE（SAS)
A
B
E
∴DG=BE
6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于
点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值.
解：连接PO