D1.8函数的连续性与间断点Word版

第八节 函数的连续性与间断点
一、填空题
1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x
⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =. 提示：()20(0)lim (0)x f a bx a f --→=+==，0sin (0)lim x bx f b x -
+
→==. 2.
设0
()1,
0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩
在0x =处连续，则常数a
=，b = 1 .
提示：000(0)lim lim lim x x x ax f x ----→→→====，(0)1f =-，0
0ln(1)(0)lim lim x x bx bx f b x x --+→→+=-=-=-. 3.()sin x f x x
=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =. 4.若函数e ()(1)
x a f x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a = e . 提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1
lim(e )0x x a →-=，从而e a =. 二、单项选择题
1.0x =是1()sin f x x x
=的 A . A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 提示：00
1lim ()lim sin 0x x f x x x →→== 2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩ D .
A. 在0,1x x ==处都间断
B. 在0,1x x ==处都连续
C. 在0x =处连续，1x =处间断
D. 在0x =处间断，1x =处连续
提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+
===. 3.
设函数2,0(),0x f x x k x ≠⎪=⎨⎪=⎩
在0x =处连续，则k = B . A. 4 B. 14 C. 2 D. 12
提示：
0001lim (),(0)4x x x f x f k →→→====. 4.函数1
11122,0()22
1,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩
在0x =处 B . A. 左连续 B. 右连续 C. 左右均不连续 D. 连续 提示：1100
lim 20,lim 2x x x x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==. 三、讨论函数11e ,0()ln(1),10
x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.
解：11100(0)lim ln(1)0(0),(0)lim e e x x x f x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连
续，且0x =是第一类跳跃型间断点.
四、若0
x 0x cosx),(sinx e a,2x f(x)x >≤⎩⎨⎧++= 在-∞(，)∞+内连续，求a. 解： 由于)(x f 在0=x 处连续, 所以)0()0()0(f f f ==-
+. 1)cos (sin lim )(lim )0(0
0=+==++→→+x x e x f f x x x , a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0
0, a f =)0(. 故1=a .
五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩
. 试讨论()g x 在0x =处的连续性. 解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭
，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.
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