【东南大学】《几何与代数》总复习资料
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常记为E或I. 数量矩阵: kE, kI, 其中k为常数.
对角矩阵: diag{1, 2, …, n}, 常用表示.
对称矩阵: AT = A.
反对称矩阵: AT = A.
方阵: 行数=列数.
正交矩阵: QTQ = QQT = E.
正定矩阵: AT = A且x 有xTAx > 0.
可逆矩阵: AB = BA = E.
一. 初等阵与初等变换 (左行右列)
一次初等 A 行变换 B B PA
一次初等 A 列变换 B B AP
二. 用初等变换求逆矩阵 (A E) 初等行变换 (E A1)
三. 用初等变换解矩阵方程 (左行右列)
(A B) 初等行变换 (E A1B) 解AX=BX= A1B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
A的行(列)向量组线性无关
任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示
A的行(列)向量组是Rn的基. A为Rn的两组基下的过渡矩阵.
A的解空间的维数为0. A的列空间的维数为n. A的特征值均不为零 ATA为正定阵.
标准方程
条件 方 程
r(g)=3, 1z12 2 z22
b=0
3z32 d
r(g)=2, 1z12 2z22 bz3 b0
r(g)=2, b=0
1z12 2 z22 d
r(g)=1
1z12 bz3
p,q p=3,q=0 p=0,q=3
p=2, q=1
Eigen pair: A= (≠)
相似: P1AP=B 相合: PTAP=B
正定: AT=A, xTAx>0 (x≠)
判别解:
r1<r2无解 线
r1=r2=n
矩 唯一解, 性
r1=r2<n 阵 无穷多解
方
的 线性 程
运
方程组 Ax=b
组
算
的
计算
应
(A b) rref 用
基解:非主列变 量=e1..enr 特解:非主列 变量=0
解线性 方程组 Ax=b (AX=B) 逆矩阵
(A b) 行变换
(A B) 行变换
行变换
阶梯阵
判别解:r1<r2无解r1=r2=n 唯一解, r1=r2<n无穷多解
行最简形
基解:非主列变量为e1..enr 特解:非主列变量为0
行最简形 (A E) (E A1)
行列式
行/列 变换
三角形 注意对角线方向的符号 某行(列)有 按此行(列)展开 一非0元素
方阵
方
阵
的 反对称
特 殊
矩阵
形
式
方阵
对称 矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对角 矩阵
可逆 矩阵
数量 正交 正定 初等 矩阵 矩阵 矩阵 矩阵
零矩阵 单位矩阵
《几何与代数》复习要点
特殊矩阵
行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量. 列矩阵An1: 只有一列, 又名列向量. 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Omn或O. 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0,
用A=PP 1 计 应 算f(A) =Pf()P1 用
量
A可逆A的特征值≠0,
1/是A1的特征值; |A|/是A*的特征值.
化实二次型为
AT=AR,对应于不同
标准形
特征值的特征向量正交
等价 定义 定 义
等价类 不变量
实关对系称阵矩相阵似，特征值同，p,q同，必代相表合；反之不然.
0 Ai1 Ai2 0
A aij
n
AB aikbkj AB BA
k1
AB 0 A 0 or B 0
[ ]或( ),初等变换时用
n阶行列式
A : Rnn R
A B A B
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.
Th4.5. 若I可由II线性表示, 则秩(I)秩(II); 且这两个向量组等价 秩(I)=秩(II). 反之不成立
A 初等 E B 列变换 BA1
解XA=BX= BA1
方阵的行列式
定义 性质 计算
应用
•
(1)N( j1 j2
|AT| = |A|.
•
a jn ) 1
|A|
j1ca2j2 s
ctanj|nA|.
•
|A|cs
c t
|A|.
A1 As An A
1. 化为三角形行列式 2. 箭形行列式的计算
相抵 相似
正交 相似 相合
Rmn
B P1 Ps AQ1 Qt
Pi , Q j 为初等阵
相抵标准形 ①秩
Em rn
P可逆, s.t.
Rnn B P1 AP
Rnn,
实对称
Q正交, s.t., B Q1 AQ QT AQ
若A可相似 ②特征值,
对角化
迹,行列式
1
方阵A与E 相似 A = E P 1 AP E
A与E相合A正定 i >0 p=n A=PTP k>0
A = 定
|E–A| = |E–(P1AP)|
其中 义
i = tr(A), i = |A|
|E–A| = 0 计 特
|E–A| = |E–AT|
几何与代数总复习
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 一 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩 矩 分块运算: 分块转置
阵 初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵
Q正交且|Q|=1 右手系→右手系
x = Qy,Q正交 g(y) = yTy + B’Ty + c = 0
即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0
作坐标轴的平移
y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
8
r
A C
O B
r
A
K(A)={xRn|Ax= }
A的列向量组的 极大无关组
Ax = 的
基础解系
齐次线性方程组的解空间
{xRn|Ax = , ARmn}
Ax = 的
基础解系
维数
n 0
1, …, s的秩
A的秩
A的秩 n r(A)
n r(A)
向量组的线性相关与线性无关
向量组1,…,s-1,s线性相关 共线共面的推广 (1,…,s)x=Ax= 有非零解 r(A) < s 某个向量i可由其余的向量线性表示. 向量组1,…,s-1,s 线性无关 x11+x22+…+xss= 只在x1=x2=…=xs=0时成立. (1,…,s)x= 只有零解. r(A) = s =向量个数 唯一表示定理: I l.i.,{I,}l.d.可由I 唯一线性表示.
特征多项式: |EA|
叉积/混合积
几何
面积/体积
行列式与矩阵的区别
mn矩阵
定义 加法
数乘 乘法 符号
A Rmn
A B aij bij
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
2A1 Ai1 Ai2 2An
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
p=2, q=0 p=1, q=1 p=2, q=0 p=1, q=1 p=1, q=0 p=0, q=1
d 二次曲面 d>0 椭球面 d<0 球1 面2 3 d>0 单叶双曲面 d<0 双叶双曲面 d=0 二次锥面
椭圆抛物面 d=0
双曲抛物面 椭圆柱面 d0 双曲柱面
d=0 抛物柱面
r
B
r
A O
O
B
n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r
A*
1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用 初等变换 终止矩阵
结果
秩
行变换 阶梯阵
极大无 关组(基)
阶梯阵 行变换
行最简形
r(A)=非0行数 主列对应原矩阵的列 非主列的线性表示关系
向量空间的例子
基
Rn本身
{e1, e2, …, en}
零空间{}
无
生成子空间L(1, …,s) = {k11+…+ kss|k1,…,ksR}
1, …, s的
极大无关组
矩阵A的列空间, 即 L(A1,A2,…, An)
A的列向量组的 极大无关组
A的值域R(A)= {Ax|xRn}=L(A1,A2,…, An) A的核空间或零空间
A1 Ai1 Ai2 An
A n A
AB A B BA AB 0 A 0 or B 0
| |,初等变换时用 =
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E
A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A与E相抵 A为初等阵的乘积
(E–A)x = 0 算 征
A = f(A) =f()
相似对角化
值
P –1AP=diag(1,…,n) 和
A有n个l.i.的特征向量 特 A(复)r(iEA)=nni 征
性 质
A的零化多项式的根可能是 但未必都是A的特征值.
对应于不同特征值的 特征向量线性无关
A有n个不同特征值A 向
3. 行列式按行(列)展开 aik Ajk = |A|ij ,
4. 提公因子法 5. 降阶递推法 6. 分解行列法
n元方程组Ax=b, |A|≠0
克拉默法则: xj=Dj /D
矩阵
伴随矩阵: A*=(Aji), AA*=|A|E
逆矩阵: A1 = A*/|A| 秩:r(A)=rr级子式0,任一k(>r)级子式=0
《几何与代数》复习要点
向量
向量
线性 运算
内积 度量
线性 映射
线性组合 线性表示 线性相关性
向量空间
极大无关组 秩
长度 单位向量 基
维数
夹角 正交 Schmidt正交化方法
线性变换 正交变换 正交矩阵
几个概念之间的联系 几何向量 代数向量 向量 矩阵 向量组 线性方程组
向量空间 V Rn,对加法数乘封闭
对角矩阵: diag{1, 2, …, n}, 常用表示.
对称矩阵: AT = A.
反对称矩阵: AT = A.
方阵: 行数=列数.
正交矩阵: QTQ = QQT = E.
正定矩阵: AT = A且x 有xTAx > 0.
可逆矩阵: AB = BA = E.
一. 初等阵与初等变换 (左行右列)
一次初等 A 行变换 B B PA
一次初等 A 列变换 B B AP
二. 用初等变换求逆矩阵 (A E) 初等行变换 (E A1)
三. 用初等变换解矩阵方程 (左行右列)
(A B) 初等行变换 (E A1B) 解AX=BX= A1B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
A的行(列)向量组线性无关
任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示
A的行(列)向量组是Rn的基. A为Rn的两组基下的过渡矩阵.
A的解空间的维数为0. A的列空间的维数为n. A的特征值均不为零 ATA为正定阵.
标准方程
条件 方 程
r(g)=3, 1z12 2 z22
b=0
3z32 d
r(g)=2, 1z12 2z22 bz3 b0
r(g)=2, b=0
1z12 2 z22 d
r(g)=1
1z12 bz3
p,q p=3,q=0 p=0,q=3
p=2, q=1
Eigen pair: A= (≠)
相似: P1AP=B 相合: PTAP=B
正定: AT=A, xTAx>0 (x≠)
判别解:
r1<r2无解 线
r1=r2=n
矩 唯一解, 性
r1=r2<n 阵 无穷多解
方
的 线性 程
运
方程组 Ax=b
组
算
的
计算
应
(A b) rref 用
基解:非主列变 量=e1..enr 特解:非主列 变量=0
解线性 方程组 Ax=b (AX=B) 逆矩阵
(A b) 行变换
(A B) 行变换
行变换
阶梯阵
判别解:r1<r2无解r1=r2=n 唯一解, r1=r2<n无穷多解
行最简形
基解:非主列变量为e1..enr 特解:非主列变量为0
行最简形 (A E) (E A1)
行列式
行/列 变换
三角形 注意对角线方向的符号 某行(列)有 按此行(列)展开 一非0元素
方阵
方
阵
的 反对称
特 殊
矩阵
形
式
方阵
对称 矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对角 矩阵
可逆 矩阵
数量 正交 正定 初等 矩阵 矩阵 矩阵 矩阵
零矩阵 单位矩阵
《几何与代数》复习要点
特殊矩阵
行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量. 列矩阵An1: 只有一列, 又名列向量. 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Omn或O. 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0,
用A=PP 1 计 应 算f(A) =Pf()P1 用
量
A可逆A的特征值≠0,
1/是A1的特征值; |A|/是A*的特征值.
化实二次型为
AT=AR,对应于不同
标准形
特征值的特征向量正交
等价 定义 定 义
等价类 不变量
实关对系称阵矩相阵似，特征值同，p,q同，必代相表合；反之不然.
0 Ai1 Ai2 0
A aij
n
AB aikbkj AB BA
k1
AB 0 A 0 or B 0
[ ]或( ),初等变换时用
n阶行列式
A : Rnn R
A B A B
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
Th4.3 大向量组由小向量组线性表示大向量组l.d.
Th4.5. 若I可由II线性表示, 则秩(I)秩(II); 且这两个向量组等价 秩(I)=秩(II). 反之不成立
A 初等 E B 列变换 BA1
解XA=BX= BA1
方阵的行列式
定义 性质 计算
应用
•
(1)N( j1 j2
|AT| = |A|.
•
a jn ) 1
|A|
j1ca2j2 s
ctanj|nA|.
•
|A|cs
c t
|A|.
A1 As An A
1. 化为三角形行列式 2. 箭形行列式的计算
相抵 相似
正交 相似 相合
Rmn
B P1 Ps AQ1 Qt
Pi , Q j 为初等阵
相抵标准形 ①秩
Em rn
P可逆, s.t.
Rnn B P1 AP
Rnn,
实对称
Q正交, s.t., B Q1 AQ QT AQ
若A可相似 ②特征值,
对角化
迹,行列式
1
方阵A与E 相似 A = E P 1 AP E
A与E相合A正定 i >0 p=n A=PTP k>0
A = 定
|E–A| = |E–(P1AP)|
其中 义
i = tr(A), i = |A|
|E–A| = 0 计 特
|E–A| = |E–AT|
几何与代数总复习
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 一 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩 矩 分块运算: 分块转置
阵 初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵
Q正交且|Q|=1 右手系→右手系
x = Qy,Q正交 g(y) = yTy + B’Ty + c = 0
即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0
作坐标轴的平移
y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立.
AB O, A 0 B O
矩阵的秩 非零子式的最高阶数
1) r(Amn) min{m, n} 2) A,B相抵 A,B同型, r(A)= r(B) = r(PAQ) (P,Q可逆).
5) If AB 0, then r A r B n.
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
7 maxr A , r B r A, B r A r B
8
r
A C
O B
r
A
K(A)={xRn|Ax= }
A的列向量组的 极大无关组
Ax = 的
基础解系
齐次线性方程组的解空间
{xRn|Ax = , ARmn}
Ax = 的
基础解系
维数
n 0
1, …, s的秩
A的秩
A的秩 n r(A)
n r(A)
向量组的线性相关与线性无关
向量组1,…,s-1,s线性相关 共线共面的推广 (1,…,s)x=Ax= 有非零解 r(A) < s 某个向量i可由其余的向量线性表示. 向量组1,…,s-1,s 线性无关 x11+x22+…+xss= 只在x1=x2=…=xs=0时成立. (1,…,s)x= 只有零解. r(A) = s =向量个数 唯一表示定理: I l.i.,{I,}l.d.可由I 唯一线性表示.
特征多项式: |EA|
叉积/混合积
几何
面积/体积
行列式与矩阵的区别
mn矩阵
定义 加法
数乘 乘法 符号
A Rmn
A B aij bij
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
2A1 Ai1 Ai2 2An
A1 Ai1 An A1 Ai2 An
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
p=2, q=0 p=1, q=1 p=2, q=0 p=1, q=1 p=1, q=0 p=0, q=1
d 二次曲面 d>0 椭球面 d<0 球1 面2 3 d>0 单叶双曲面 d<0 双叶双曲面 d=0 二次锥面
椭圆抛物面 d=0
双曲抛物面 椭圆柱面 d0 双曲柱面
d=0 抛物柱面
r
B
r
A O
O
B
n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r
A*
1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用 初等变换 终止矩阵
结果
秩
行变换 阶梯阵
极大无 关组(基)
阶梯阵 行变换
行最简形
r(A)=非0行数 主列对应原矩阵的列 非主列的线性表示关系
向量空间的例子
基
Rn本身
{e1, e2, …, en}
零空间{}
无
生成子空间L(1, …,s) = {k11+…+ kss|k1,…,ksR}
1, …, s的
极大无关组
矩阵A的列空间, 即 L(A1,A2,…, An)
A的列向量组的 极大无关组
A的值域R(A)= {Ax|xRn}=L(A1,A2,…, An) A的核空间或零空间
A1 Ai1 Ai2 An
A n A
AB A B BA AB 0 A 0 or B 0
| |,初等变换时用 =
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E
A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A与E相抵 A为初等阵的乘积
(E–A)x = 0 算 征
A = f(A) =f()
相似对角化
值
P –1AP=diag(1,…,n) 和
A有n个l.i.的特征向量 特 A(复)r(iEA)=nni 征
性 质
A的零化多项式的根可能是 但未必都是A的特征值.
对应于不同特征值的 特征向量线性无关
A有n个不同特征值A 向
3. 行列式按行(列)展开 aik Ajk = |A|ij ,
4. 提公因子法 5. 降阶递推法 6. 分解行列法
n元方程组Ax=b, |A|≠0
克拉默法则: xj=Dj /D
矩阵
伴随矩阵: A*=(Aji), AA*=|A|E
逆矩阵: A1 = A*/|A| 秩:r(A)=rr级子式0,任一k(>r)级子式=0
《几何与代数》复习要点
向量
向量
线性 运算
内积 度量
线性 映射
线性组合 线性表示 线性相关性
向量空间
极大无关组 秩
长度 单位向量 基
维数
夹角 正交 Schmidt正交化方法
线性变换 正交变换 正交矩阵
几个概念之间的联系 几何向量 代数向量 向量 矩阵 向量组 线性方程组
向量空间 V Rn,对加法数乘封闭