黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三数学上学期第三次月考试题理

黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三数学上学期第三次月考试题 理
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1复数，则 （ ）
A ．Z 的虚部为-1
B ． Z 的实部为1
C ． Z =2
D ． Z 的共轭复数为1+i
2．已知集合{}3A x x =≤，集合{
()}B lg ,x y a x x N ==-∈且，若集合}{
A B 0,1,2⋂=,则实数a 的取值范围是
A ． []2,4
B ．[)2,4
C ．(]2,3
D ．[]2,3 （ ）
3．“4m =”是“直线()+3430mx m y -+=与直线230x my ++=平行”的 （ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件 4．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数1
()()822
x
g x f x =+-的定义域为
（ ）
A ． []0,3
B ． []0,2
C ． []1,2
D ． []1,3
5．执行如下所示的程序框图，如果输入[]1,2t ∈-，则输出的属于 （ ）
第5题图 第6题图 第9题图 A ． []1,4 B ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ． 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ． 1,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被
一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ） A ．
12 B ． 13 C ． 14 D ．15
7．若点(),2x kx -满足不等式组1
04x x y x y ≥-⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，则k 的取值范围为 （ ）
A ．(][),12,-∞-⋃+∞
B ． []1,2-
C ． (][),72,-∞-⋃+∞
D ． []7,2- 8．将函数2
()2cos 16g x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭的图象，向右平移4
π
个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍
，
得
到
函
数
()
f x ，则下列说法正确的是
（ ）
A ． 函数()f x 的最小正周期为2π
B ． 函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 C ． 函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最小值为
D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴
9．如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）
A ． 异面直线1C P 和1C
B 所成的角为定值 B ． 直线CD 和平面1BP
C 平行 C ． 三棱锥1
D BPC -的体积为定值 D ． 直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值
10．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且2019
1lg lg
0a a
+=，2
2
()1f x x
=
+，则122019()()+()f a f a f a +=
L
（ ）
A ． 2018
B ． 4036
C ．2019
D ．4038
11．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =
，sin cos a B A =，则
ABC ∆面积的最大值是
（ ）
A ． ． ．．4 12．已知{}()0M f α
α=
=，{}()0N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得-n αβ<，则
称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数” ，若2()31x
f x -=-与2()x
g x x ae =-互为“1度零点
函
数
”
，
则
实
数
a 的取
值
范
围
为
（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．在直角梯形ABCD 中，AD BC P ，0
90ABC ∠=，4AB BC ==，2AD =，则向量BD uuu r
在
向量AC u u u r
上的投影为_______.
14．已知向量a v 与b v
的夹角是3
π，且1,2a b ==v v ，若
)
b a λ+⊥v v
，则实数λ=__________．
15．甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张。

甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是__________．
16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23
BAC π
∠=
，3AP =，AB =Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为3
π
，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
三、解答题（17题10分，其余各12分，共70分）
17．已知函数()2f x x =-，（1）求不等式3()42f x -≤的解集；（2）设函数()26
g x x =+，若
0x R ∃∈，使200()()4f x g x a a +≤-，求实数a 的取值范围。

18．如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，0
60APC ∠=，AB =4AP PB +=，（1）
求BP 的长；（2）若
53
4
AC =
，求cos ACP ∠的值.
19．已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求
1231111n
T T T T ++++L
20．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间t （分） (]20,30
(]30,40
(]40,50
(]50,60
频数
2
18
20
10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出王先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ， 2AB =， 60ABC ∠=o ， E ， F 分别是BC ， PC 的中点. （1）证明： AE PD ⊥；（2）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为5，求二面角E AF C --的余弦值.
22．设函数()sin .x
f x e a x b =++
(1)当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；
(2)若()f x 在0x =处的切线方程为10x y --=，求,a b 的值.并证明当()0,x ∈+∞时，
()ln .f x x >
高三月考数学（理科）答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
C
C
A
D
B
A
C
D
C
A
B
13、2- 14、3- 15、8和9 16、57π 17、（1）48
0,,433
⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
；（2）1a ≤-或5a ≥
18、(1) ;(2) .
19、(Ⅰ) 3n
n a =；(Ⅱ)
123111113112212n T T T T n n ⎛⎫++++=-- ⎪++⎝⎭
L . 20、． （1）当时，
当
时，
.
得： （2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”
的概率
可取，，，.
，
，
的分布列为
或依题意
，
21． 解析：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形， 60ABC ∠=o
，∴ABC ∆为正三角形.
又E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.
∵PA ⊥平面ABCD ， AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ， AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥
.
（2）如图， H 为PD 上任意一点，连接AH ， EH . 当线段EH 长的最小时， EH PD ⊥，由（1）知AE PD ⊥， ∴PD ⊥平面AEH ， AH ⊂平面AEH ，故AH PD ⊥. 在Rt EAH ∆中， 3AE = 5EH = EA AH ⊥，∴2AH =
Rt PAD ∆中，
2AD =， 45PDA ∠=o ，∴2PA =.由（1）知AE ， AD ， AP 两两垂直，以A 为坐
标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ， F 分别是BC ， PC 的中点，可得
()0,0,0A ， (
)3,1,0B
-， )3,1,0C
， ()0,2,0D ，()0,0,2P ， )
3,0,0E
，
31,12F ⎫
⎪⎪⎝⎭
，所以
)
3,0,0AE =u u u v ， 31,12AF ⎫
=⎪⎪⎝⎭
u u u v .设平面AEF 的一法向量为()
111,,n x y z =v
，则0,
{ 0,n AE n AF ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 因此111130 310
22
x x y z =++=，取11z =-，则()0,2,1n =-v
，因为BD AC ⊥， BD PA ⊥， PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面AFC ，
故BD u u u v 为平面AFC 的一法向量.又()
3,3,0BD =-u u u v ，所以cos ,n BD u u u v v
m BD m BD
⋅=⋅u u u v v u u u v v
15
512
=
=
⨯二面角E AF C --15
22题
18题图
21题图。