上海梅山第一中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试(答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，当EPF ∠在ABC 内绕点P 旋转时，下列结论错误的是（ ）
A ．AE CF =
B ．EPF 为等腰直角三角形
C ．EP AP =
D ．2ABC AEPF S S =四边形
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．324．已知点(2,3)A ，O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 逆时针旋转90︒，点A 旋转后的对应点1A ，则点1A 的坐标是（ ）
A ．(2,3)--
B ．(2,3)-
C ．(3,2)-
D ．(3,2)- 5．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）
A ．(33,3)
B ．(63,6)-
C ．(3,33)-
D ．(33,3)- 6．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．戴口罩讲卫生 B ．勤洗手勤通风
C ．有症状早就医
D ．少出门少聚集
7．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （4，6）、B （5，2）、C （2，1），如果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△''A B C ，那么点A 的对应点'A 的坐标是（ ）．
A ．（－3，3）
B ．（3，－3）
C ．（－2，4）
D ．（1，4） 8．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
9．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）
A ．顺时针
B ．逆时针
C ．顺时针或逆时针
D ．不能确定 10．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．70°
D ．90°
二、填空题
13．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 在CD 边上，1DE =，把ADE 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE '△，连接EE '，则线段EE '的长为______．
14．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．
15．如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′= °，∠AOB= ．
16．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．
17．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．
18．如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝_______．
19．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于直角坐标系的原点．若点A 的坐标为（－2，3），则点C 的坐标为___________．
20．如图，把Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转40︒，得到Rt AB C ''∆，点C '恰好落在边AB
上，连接BB '，则BB C ''∠=___________度．
三、解答题
21．如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,3)A -，0()6,B -，(1,0)C -．
（1）将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △．画图，写出点A 的对应点1A 的坐标． （2）将ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到222A B C △．画图，写出点B 对应点2B 的坐标．
（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．
22．（探索发现）如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且45MAN=∠︒，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒，点D 与点B 重合，得到ABE ∆，连接AM 、AN 、MN ．
（1）试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，45MAN=∠︒，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，120BAD=∠︒，180B+D=∠∠︒，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，60MAN=∠︒，请直接写出线段BN ，DM ，MN 之间的数量关系．
23．将边长为4的正方形ABCD与边长为5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE 在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一周，直线EB与直线DG交于点P，
（1）DG与BE的数量关系：______；DG与BE的位置关系：______．
（2）如图2，当点B在线段DG上时，求ADG的面积．
（3）连结PF，当42
PE 时，求PF的值．
24．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点B2的坐标为．
25．阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题：（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______；（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两
种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
26．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．
（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形，直接写出点A的对应点A′的坐标；
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，AP⊥BC，∠C=∠B=∠BAP=∠CAP=45°，
∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
45APE CPF AP CP EAP FCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，EP=PF ，S △AEP =S △CPF ，
∴△EPF 是等腰直角三角形，
S 四边形AEPF =
12
S △ABC ，即2S 四边形AEPF =S △ABC ， A 、B 、D 均正确， ∵旋转过程中，EP 的长度的变化的，故EP≠AP ，C 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】
解：A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D ．
【解答】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到
BP ，即可得到答案．．
【详解】
解：解：∵△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD 为正方形，BA=BC ，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，
∴
．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质． 4．D
解析：D
【分析】
根据点(,)x y 绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为(,)y x -解答即可．
【详解】
解：A 、1A 两点是绕原点逆时针旋转90︒得到的，
1A ∴的坐标为(3,2)-．
故选：D ．
【点睛】
考查由旋转得到的两点的坐标的变换；用到的知识点为：点(,)x y 绕原点逆时针旋转90︒得到的坐标为(,)y x -．
5．D
解析：D
【分析】
先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．
【详解】
在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，
16,2
OB AB OA ∴====，
由旋转的性质得：6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，
∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，
(0,6)A B ''∴-， 又点D 为斜边A B ''的中点，
06
)2
D -'∴，即3)D '-， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
7．A
解析：A
【解析】
解：△A′B′C的位置如图．
A′（-3，3）．故选A．
8．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．
【详解】
如图所示：
，
共5种，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．
9．B
解析：B
【分析】
根据图示进行分析解答即可．
【详解】
齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】
此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
10．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.
【详解】
解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；
B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；
D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
11．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D ．
【点睛】
考核知识点：中心对称图形的识别.
12．D
解析：D
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用
∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
∵以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，A B=AB′，
∴∠AB′B=12
（180°-120°）=30°， ∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．
故选：D ．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
二、填空题
13．【分析】先根据正方形的性质可得再根据旋转的性质可得从而可得点在同一条直线上然后根据线段的和差可得最后在中利用勾股定理即可得【详解】四边形ABCD 是正方形由旋转的性质得：点在同一条直线上则在中故答案为
解析：【分析】
先根据正方形的性质可得90,3ABC D C CD BC AB ∠=∠=∠=︒===，再根据旋转的性质可得1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，从而可得点,,E B C '在同一条直线上，然后根据线段的和差可得4E C '=，最后在Rt ECE '中，利用勾股定理即可得．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
90,3ABC D C CD BC AB ∴∠=∠=∠=︒===，
1DE =，
312CE CD DE ∴=-=-=，
由旋转的性质得：1,90BE DE ABE D ''==∠=∠=︒，
180ABC ABE '∴∠+∠=︒，
∴点,,E B C '在同一条直线上，
134E C BE BC ''∴=+=+=，
则在Rt ECE '中，22222425EE CE E C ''=+=+=，
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．
14．6【分析】连接PC 由直角三角形的性质及旋转的性质可得根据可进行求解
【详解】解：连接PC 如图所示：在Rt △ABC 中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根据旋转的性质可得：∴∴PC=4∵CM=BM=2又∵即
解析：6
【分析】
连接PC ，由直角三角形的性质及旋转的性质可得8A B AB ''==，4PC =，根据PM PC CM ≤+，可进行求解．
【详解】
解：连接PC ，如图所示：
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=4，
∴AB=8，
根据旋转的性质可得：8A B AB ''==，
∴A P B P PC ''==，
∴PC=4，
∵CM=BM=2，
又∵PM PC CM ≤+，即6PM ≤，
∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线）；
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理是解题的关键．
15．30°110°【分析】根据旋转的性质得到利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可【详解】∵△AOB 中∠B=30°将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到
△A′OB′∠A′=40°∴∠B=∠B′=
解析：30°， 110°
【分析】
根据旋转的性质得到，利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
∵△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，∠A′=40°，
∴∠B=∠B′=30°，∠A′=∠A=40°，
则∠B′=30°，∠AOB=180°-∠A-∠B=110°．
故答案为30，110．
考点：旋转的变换
16．∠B=90°【分析】根据旋转的性质得AB=CD∠BAC=∠DCA则AB∥CD得到四边形ABCD为平行四边形根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°【详解】∵△ABC绕AC的中点O顺
解析：∠B=90°．
【分析】
根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
【详解】
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
17．120°【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合根据旋转变化的性质可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°故答案为120°考点：旋转对称图形
解析：120°．
【解析】
试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
18．【分析】如图连接CE′过B作BH⊥CE′于H根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝BD＝BE＝2根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′D′B＝BE′＝BD＝2根据
角的和差关系可得∠ABD′＝∠C 解析：26
+
【分析】
如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′
于H，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BC＝22，BD＝BE＝2，根据旋转的性质可得∠D′BD＝∠ABE′，D′B＝BE′＝BD＝2，根据角的和差关系可得∠ABD′＝∠CBE′，利用SAS可证明△ABD′≌△CBE′，可得∠D′＝∠CE′B＝45°，可得出
BH＝E′H＝
2
2
BE′＝2，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得CE′的长.
【详解】
如图，连接CE′，过B作BH⊥CE′于H，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22，∴AB＝BC＝22，BD＝BE＝2，
∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
在△ABD′和△CBE中
AB BC
ABD CBE BD BE
''
=
⎧
⎪
∠=∠
''
⎨
⎪=
⎩
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，
过B作BH⊥CE′于H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝
2
2
BE′＝2，
在Rt△BCH中，CH＝22
BC CH
-=826
-=，
∴CE′＝26
+，
26
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题关键.
19．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知点A与点C关于原点对称
所以C 的坐标为（2-3）【详解】∵在平行四边形ABCD 中A 点与C 点关于原点对称∴C 点坐标为（2-3）故答案为：（2-3）【点睛】本题主
解析：(2,3)-
【分析】
根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A 与点C 关于原点对称，所以C 的坐标为（2，-3）.
【详解】
∵在平行四边形ABCD 中，A 点与C 点关于原点对称，
∴C 点坐标为（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A 与点C 关于原点对称的特点，是解题的关键．
20．20【分析】先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°∠BAB′=40°AB=AB′则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′【
解析：20
【分析】
先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数，然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′．
【详解】
解：∵Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB′C′，点C′恰好落在边AB 上， ∴∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B ，
∴∠ABB′=12
（180°-40°）=70°， ∴∠BB′C′=90°-∠CBB′=20°．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．理解旋转前后对应角相等，旋转角相等，对应线段相等是解题关键．
三、解答题
21．（1）画图见解析，(4,3) （2）画图见解析，()0,6- （3）(3,3)或(7,3)-或(5,3)--
【分析】
（1）根据点平移的规律，找到点A 、B 、C 向右平移6个单位后点1A 、1B 、1C 点的坐标，顺次连接即可．
（2）根据旋转三要素找到各点的对应点，顺次连接即可得到222A B C △，结合图像可得点2B 的坐标．
（3）以BC 为对角线，AC 为对角线，AB 为对角线，三种情况入手讨论，即可得到第四个点D 的坐标．
【详解】
（1）如图所示，111A B C △即为所求，
其中点1A 的坐标为(4,3).
（2）如图所示，222A B C △即为所求，
其中点2B 的坐标为()0,6-.
（3）如图所示：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标，
分别为(3,3)或(7,3)-或(5,3)--.
【点睛】
本题考查了作图—旋转变换，平移变换以及平行四边形的性质，最后一问的求解注意分类讨论，避免漏解．
22．（1）MN DM BN =+，证明见解析；（2）MN BN DM =-,证明见解析；（3）MN DM BN =+．
【分析】
（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证
AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证
AMN AEN ≌，则可得：MN BN DM =-； （3）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM ≌ABE ，利用SAS 可证AMN AEN ≌，则可得：MN DM BN =+；
【详解】
证明：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=AD ，ABC
ADC BAD =90 将ADM 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∴ADM ≌ABE ∴AM
AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90 ∵MAN 45 EAN
MAN 45 在AMN 和AEN 中 AM
AE MAN
EAN AN AN
AMN AEN SAS
≌
MN EN
∵EN EB BN DM BN =+=+，
∴MN BN DM =+
（2）如图②，将ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=AD ，ABC
ADC BAD =90 ∵ADM 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE
∴ADM ≌ABE
∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAE BAD 90, ∵MAN 45
EAN
MAN 45 在AMN 和AEN 中
AM
AE MAN
EAN AN AN
AMN AEN SAS ≌
MN EN
∵BN
EB EN DM MN ， 即：MN BN DM =-；
（3）如图，
∵AB AD =，BAD 120∠=，B D 180，
将ADM 绕点A 顺时针旋转120，得到ABE
∴ADM ≌ABE ∴AM AE,DM BE,MAD EAB MAE
BAD 120 MAN 60 EAN MAN 60 在AMN 和AEN 中
AM
AE MAN
EAN AN AN
AMN AEN SAS
≌ MN EN EN
BE BN MN DM BN ；
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．
23．（1）相等；垂直；（2）4234ADG S =+△；（3）7PF =． 【分析】
（1）由题意可得△DAG ≌△BAE ，从而可得DG=BE ，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知DG ⊥BE ；
（2）连结AC 交DG 于点 O ，则由勾股定理可得OG 的长度，从而得到△ADG 的面积； （3）连结GE 并旋转△PGF 至△HEF ，由勾股定理即可得到正确解答．
【详解】
（1）在△DAG 与△BAE 中，DA=BA ，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE ，
∴△DAG ≌△BAE ，
∴DG=BE ，∠DGA=∠BEA ，
∴∠BEA+∠GDE=∠DGA+∠GDE=90°，
∴∠DPE=90°，∴DG ⊥BE ；
（2）如图，当B 在线段DG 上时，连结AC 交DG 于点O ，则22AO =，
()2252217OG =-=2217DG =
(122172242342ADG S =⨯⨯=+△
（3）如图，连结GE ，以F 为中心旋转△FGP 至△FEH ，
则与（1）类似有△DAG ≌△BAE ，∴∠DGA=∠BEA ，
∴∠DGE+∠GEP=∠DGA+45°+∠GEP=45°+∠BEA+∠GEP=45°+45°=90°，
∴∠GPE=90°， ∴()()2222524232PG GE PE =-=-=，
由旋转性质可知∠FEH=∠FGP ，
∴∠FEH+∠FEP=∠FGP+∠FEP=360°-（∠GFE+∠GPE ）=360°-180°=180°，
∴P 、E 、H 三点共线，且PFH △是等腰直角三角形，
∵PH=PE+EH=PE+GP=423272=
∴(222227298,49PF PH PF ====，PF=7．
【点睛】
本题考查正方形的综合应用，灵活运用三角形全等的判定与性质、旋转的性质和勾股定理求解是解题关键．
24．（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②（-3，3）．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2即可；
②利用所画图形写出B 2点的坐标．
【详解】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；
②点B2的坐标为（﹣3，3）．
故答案为（-3，3）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角．
25．（1）正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；（2）见解析
【分析】
（1）根据旋转对称图形的定义解答即可；
（2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可．
【详解】
解：(1) 正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
故答案为：正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；
(2)如图所示：
【点睛】
本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
26．（1）B1的坐标为（2，-3）；（2）图见解析，A′的坐标为（0,6）．
【分析】
（1）直接利用关于原点对称点的性质得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出图形，再写出A′的坐标即可．
【详解】
解：（1）点B关于坐标原点O对称的点B1的坐标为：（2，-3）；
（2）如下图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形，A′的坐标为（0,6）．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，坐标与图形变化——旋转．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．。