2021_2022学年高中数学第2章平面解析几何初步2.3.3直线与圆的位置关系课件新人教B版必修2

A．±1 B．±12
C．±
3 3
D．± 3
C [设 l：y＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＝0.
又 l 与圆相切，∴
1|2＋k| k2＝1.∴k＝±
3 3 .]
3．直线 x＋2y－5＋ 5＝0 被圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦长为
() A．1
B．2
C．4
D．4 6
C [圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线 x＋2y
过一点的圆的切线方程的求法 1．点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的 斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方 程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 x＝x0 或 y ＝y0.
2．点在圆外时 (1)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离 等于半径，可求得 k，也就得切线方程． (2)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消 去 y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0 求出 k，可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
＝4 5.两边平方，整理得 2k2－5k＋2＝0，解得 k＝12或 k＝2 符合 题意．
故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
法二：如图所示，|OH|是圆心到直线 l 的距离，|OA|是圆的半径， |AH|是弦长|AB|的一半．
在 Rt△AHO 中，|OA|＝5， |AH|＝12|AB|＝12×4 5＝2 5， 则|OH|＝ |OA|2－|AH|2＝ 5. ∴|5k12－＋k1|＝ 5，解得 k＝12或 k＝2. ∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
直线与圆相交时弦长的两种求法 1．几何法：如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆的半径为 r，弦长为|AB|，则有|A2B|2＋d2＝r2，则|AB|＝2 r2－d2.
图1
图2
2．代数法：如图 2 所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线 与圆的两交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|(直线 l 的斜率 k 存在且不为 0)．
Δ
Δ_＞_0 Δ＝__0
图形
Δ_＜_0
1．直线 3x＋4y－5＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
B [圆心(0,0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d＝ |3－2＋5|42＝1，又圆 x2＋y2＝1 的半径 r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切．]
2．设直线 l 过点 P(－2,0)，且与圆 x2＋y2＝1 相切，则 l 的斜率 是( )
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到 直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的 综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法． (2)求圆的切线的方法． (3)求直线与圆相交时弦长的方法． 3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜 率不存在的情况．
－5＋ 5＝0 的距离 d＝|1＋2×122＋－252＋ 5|＝1，所以弦长为 2 5－12＝
4.]
4．若直线 x＋y－m＝0 与圆 x2＋y2＝2 相离，则 m 的取值范围是 ________．
m＜－2 或 m＞2 [因为直线 x＋y－m＝0 与圆 x2＋y2＝2 相离， 所以 |1－2＋m|12＞ 2，解得 m＜－2 或 m＞2.]
合作探究 提素养
直线与圆位置关系的判定 【例 1】 已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－ 4x－2y＋1＝0.当 m 为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过 圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．
1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线 x－y－1＝0 上截得的弦长为 2 2，则此圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝4. [圆心到直线的距离 d＝|2＋12－1|＝ 2，由 于弦长距 d、半径 r 及弦长的一半构成直角三角形，所以 r2＝d2＋( 2)2 ＝4，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．
() (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )
[答案] (1)√ (2)√
2．已知直线 ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆 x2＋y2＝1 相切，则三边
长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )
2．经过点 P(2，－1)且被圆 C：x2＋y2－6x－2y－15＝0 所截得 的弦长最短，求此时直线 l 方程．
[解] 圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25.圆心 C(3,1)．所以点 P 在 圆内．当 CP⊥l 时，弦长最短．
又 kCP＝13＋ －12＝2.所以 kl＝－12，所以直线 l 的方程为 y＋1＝－12(x －2)，即 x＋2y＝0.
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
B [由题意知， a2|c＋| b2＝1，∴a2＋b2＝c2，因此三角形为直角 三角形．]
3．由点 P(1,3)引圆 x2＋y2＝9 的切线段的长是________．
1 [点 P 到原点 O 的距离为|PO|＝ 10， ∵r＝3，且 P 在圆外， ∴切线段长为 10－9＝1.]
法一：联立方程组yx－ 2＋5y＝2＝k2x5－. 5， 消去 y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由 Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得 k＞0.又 x1＋x2＝－10kk2＋1－1 k，
x1x2＝25kk2＋k－1 2， 由斜率公式，得 y1－y2＝k(x1－x2)． ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2x1－x22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k2100kk22＋11－2k2－4·25kk2＋k－12
1．已知圆 C 的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l 的方程为 y＝x ＋m，求当 m 为何值时，
(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点．
[解] (1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线 y＝x＋m 上，故 有 m＝0.
(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 所以 d＝|1－121＋＋1m2 |＝|m2|＝2，m＝±2 2，即 m＝±2 2时，直线 l 与圆相切． (3)直线与圆有两公共点，d＜r，即|m2|＜2，所以－2 2＜m＜2 2 时有两个公共点．
[解] 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程，化简、整 理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当 Δ＞0，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆 相交，即直线与圆有两个公共点；
当 Δ＝0，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只 有一个公共点；
2．求过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 k， 则切线方程为 y＋7＝k(x－1)， 即 kx－y－k－7＝0.∴|－kk2－＋71|＝5， 解得 k＝43或 k＝－34.
∴所求切线方程为 y＋7＝43(x－1)或 y＋7＝－34(x－1)， 即 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
圆的弦长问题 [探究问题] 1．已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦 长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB| ＝ x2－x12＋y2－y12求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如 何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所 示，求得弦长 l＝2 r2－d2.
两个公共点；
当 d＝2，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只 有一个公共点；
当 d＞2，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公 共点．
直线与圆的位置关系的判断方法 1．几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判 断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来 判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系 来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直 线系．
综合问题．(难点)
养.
自主预习 探新知
直线与圆的位置关系的判定
位置关系
相交 相切
公共点个数
_2_个 _1_个
判定 几何法：设圆心到直线的距离 d＝
方法
|Aa＋Bb＋C| A2＋B2
d_＜_r
d_＝_r
相离
_0_个
d_＞_r
判定 代数法：由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b02＝r2 方法 消元得到一元二次方程的判别式
直线与圆相切的有关问题 【例 2】 过点 A(4，－3)作圆 C：(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线， 求此切线的方程． [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜 率，进而求出切线方程．
[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点 A 在圆外． (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 k， 则切线方程为 y＋3＝k(x－4)． 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为 1， 所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1，
所以 k2＋8k＋16＝k2＋1，解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即 15x＋8y－36＝0. (2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x＝4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x＝4. 综上，所求切线方程为 15x＋8y－36＝0 或 x＝4.
当 Δ＜0，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公 共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为(2,1)，半径 r＝2.
圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有
【例 3】 直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C：x2＋y2＝25 相交截得 的弦长为 4 5，求 l 的方程．
[思路探究] 设出点斜式方程，利用 r、弦心距及弦长的一半构 成三角形可求．
[解] 据题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y－5＝k(x －5)，与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
第二章 平面解析几何初步
圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系
学习目标
核心素养
1．理解直线与圆的三种位置关 1．通过直线与圆的位置关系的学
系．(重点)
习，培养直观想象逻辑推理的数学
2．会用代数法和几何法判断直 核心素养．
线与圆的位置关系．(重点) 2．通过解决直线与圆位置关系的
3．能解决直线与圆位置关系的 综合问题，培养数学运算的核心素