2019-2020学年北京市首师大附中高二(上)期中数学试卷

2019-2020学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷
一、选择题
1. 抛物线x2＝4y的焦点坐标为（）
A.(1, 0)
B.(−1, 0)
C.(0, 1)
D.(0, −1)
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．
【解答】
∵抛物线x2＝4y中，p＝2，p
2
=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标
为(0, 1 )，
2. “a＝2”是“直线2x+ay−1＝0与直线ax+3y−2＝0垂直”（）
A.充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先求出直线2x+ay−1＝0与直线ax+3y−2＝0垂直时，a满足的条件，即可判断．【解答】
当直线2x+ay−1＝0与直线ax+3y−2＝0垂直时，2a+3a＝0即a＝0，
所以“a＝2”是“直线2x+ay−1＝0与直线ax+3y−2＝0垂直”的既不充分又不必要条件．
3. 若双曲线E:x2
9−y2
16
=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，
则|PF2|等于（）
A.11
B.9
C.5
D.3【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】
由题意，双曲线E:x2
9−y2
16
=1中a＝3．
∵|PF1|＝3，∴P在双曲线的左支上，
∴ 由双曲线的定义可得|PF 2|−|PF 1|＝6， ∴ |PF 2|＝9．
4. 直线l:x +y +3＝0被圆C:{x =−1+4cosθ
y =2+4sinθ （θ为参数）截得的弦长为（ ）
A.2√2
B.4√2
C.4√3
D.8
【答案】 B
【考点】 圆的参数方程 【解析】
利用平方关系把圆C 的参数方程化为标准方程，求出圆心C 到直线l 的距离d ，利用直线l 被圆C 截得的弦长＝2√r 2−d 2即可得出． 【解答】
圆C:{
x =−1+4cosθ
y =2+4sinθ （θ为参数）化为：(x +1)2+(y −2)2＝16， 可得：圆心C(−1, 2)，半径r ＝4． ∴ 圆心C 到直线l 的距离d =
√2
=2√2．
∴ 直线l 被圆C 截得的弦长＝2√r 2−d 2=2√16−(2√2)2=4√2．
5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点，直线
y =b
2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC =90∘，则该椭圆的离心率为( )
A.√63
B.2√33
C.1
2
D.√22
【答案】 A
【考点】 椭圆的离心率 椭圆的定义
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】
设右焦点F(c, 0)，将y =b
2代入椭圆方程求得B ，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】
解：设右焦点F(c, 0)， 将y =b
2代入椭圆方程可得
x=±a√1−b2
4b2=±√3
2
a，
可得B(−√3
2a, b
2
)，C(√3
2
a, b
2
)，
由∠BFC=90∘，可得k BF⋅k CF=−1，b
2
−√3
2a−c
b
2
√3
2
a−c
=−1，
化简为b2=3a2−4c2，
由b2=a2−c2，即有3c2=2a2，
由e=c
a ，可得e2=c2
a
=2
3
，
可得e=√6
3
.
故选A.
6. 设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）
A.若m // n，n⊂α，则m // α
B.若m // α，n⊂α，则m // n
C.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D.若m⊥β，m⊂α，则α⊥β
【答案】
D
【考点】
平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】
由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：
在A中，若m // n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
在B中，若m // α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；
在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
7. 已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=
√2|AF|，则△AFK的面积为（）
A.4
B.8
C.16
D.32
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(x0, y0)，过A 点向准线作垂线AB，则B(−2, y0)，根据|AK|=√2|AF|及AF＝AB＝x0−(−2)＝x0+ 2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．
【解答】
∵抛物线C:y2＝8x的焦点为F(2, 0)，准线为x＝−2
∴ K(−2, 0)
设A(x 0, y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，则B(−2, y 0) ∵ |AK|=√2|AF|，又AF ＝AB ＝x 0−(−2)＝x 0+2
∴ 由BK 2＝AK 2−AB 2得y 02＝(x 0+2)2，即8x 0＝(x 0+2)2，解得A(2, ±4) ∴ △AFK 的面积为1
2|KF|⋅|y 0|=1
2×4×4=8
8. 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π
3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.4√33
B.2√33
C.3
D.2
【答案】
A
【考点】
圆锥曲线的共同特征 双曲线的定义 椭圆的定义 正弦定理 【解析】
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】
解：设椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2(a 1>a 2)，半焦距为c ， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ， 则{
m +n =2a 1,
m −n =2a 2, 得a 1+a 2=m ， ∴ 1e 1
+1
e 2
=
a 1+a 2
c
=m
c ，
由正弦定理得m
sin(120∘−∠PF 2F 1
)=2c
sin60∘， 即m
c
=2sin(120∘−∠PF 2F 1)
sin60∘
=
3
∘−∠PF 2F 1)≤3
=4√33
.
故选A .
二、填空题
已知直线的参数方程为{x =1+1
2t
y =1+√3
2t
（t 为参数），则其倾斜角为________． 【答案】 π3
【考点】
参数方程与普通方程的互化 【解析】
把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小． 【解答】
直线的参数方程为{x =1+1
2
t
y =1+√3
2t
（t 为参数）， 消去参数t ，化为普通方程是y −1=√3(x −1)， 则该直线的斜率为√3，倾斜角为π
3．
若圆O:x 2+y 2＝1与圆C:x 2+y 2+6x +8y +m ＝0相切，则实数m ＝________． 【答案】 −11或9 【考点】
圆与圆的位置关系及其判定 【解析】
由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得m 的值． 【解答】
圆x 2+y 2+6x +8y +m ＝0 即(x +3)2+(y +4)2＝25−m ， 表示以(3, 4)为圆心，半径等于√25−m 的圆．
由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 可得5＝|√25−m −1|， 解得m ＝−11．
两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=√25−m +1， 解得m ＝9， 若方程
x 2k−2
+
y 25−k
=1表示的是焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．
【答案】
(72
, 5) 【考点】 椭圆的离心率 【解析】
焦点在x 轴上的椭圆，满足x 2的分母大于y 2的分母并且大于0，建立不等式可求k 的取值范围． 【解答】 由题意方程
x 2k−2
+
y 25−k
=1表示的是焦点在x 轴上的椭圆，
k −2>5−k >0， ∴ 7
2<k <5．
直线l 与双曲线x 2−4y 2＝4相交于A 、B 两点，若点P(4, 1)为线段AB 的中点，则直线l 的方程是________． 【答案】 x −y −3＝0 【考点】
直线与双曲线的位置关系
【解析】
设出A ，B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x 1+x 2和y 1+y 2的值，进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程． 【解答】
设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝8，y 1+y 2＝2，
∵ x 12−4y 12＝4，x 22−4y 2
2＝4， 两式相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)−4(y 1+y 2)(y 1−y 2)＝0， ∴ 8(x 1−x 2)−8(y 1−y 2)＝0， ∴ k AB ＝1，
∴ 直线的方程为y −1＝1(x −4)，即x −y −3＝0．
已知圆C 1:(x +2)2+(y −1)2=1，圆C 2与圆C 1关于直线y ＝x +1对称，则圆C 2的标准方程是________． 【答案】
x 2+(y +1)2＝1 【考点】
关于点、直线对称的圆的方程 【解析】
求出圆C 2的圆心坐标，又圆C 1和圆C 2的半径相等，即可得到其方程． 【解答】
依题意，设圆C 2的圆心坐标为(a, b)，
则因为圆C 1:(x +2)2+(y −1)2=1，的圆心为(−2, 1)，
所以{b+1
2
=
−2+a
2
+1,b−1
a+2
=−1,
解得{a =0
b =−1 ，
所以圆C 2的标准方程是：x 2+(y +1)2＝1，
已知椭圆G:
x 26
+y 2
b 2=1(0<b <√6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别
为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点P 的轨迹关于y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是________． 【答案】 ①③ 【考点】 椭圆的离心率 【解析】
运用椭圆的定义可得P 也在椭圆
y 26
+x 2
6−b 2=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断
①正确；
通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③． 【解答】 椭圆G:
x 26
+y 2
b 2=1(0<b <√6)的两个焦点分别为
F1(√6−b2, 0)和F2(−√6−b2, 0)，
短轴的两个端点分别为B1(0, −b)和B2(0, b)，
设P(x, y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|＝2a＝2√6>2b，
即有P在椭圆y2
6+x2
6−b
=1上．
对于①，将x换为−x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0<b<√6，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x2＝y2，即有6−b2＝b2，即b=√3时，
|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
三、解答题
已知动点P与平面上点A(−1, 0)，B(1, 0)的距离之和等于2√2．
（1）试求动点P的轨迹方程C．
（2）设直线l:y＝kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=4√2
3
时，求直线l的方程．【答案】
由|AB|＝2<|PA|+|PB|＝2√2，
根据椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝2√2，即a=√2，c＝1，
b=√a2−c2=1，则动点P的轨迹方程C为x2
2
+y2＝1；
将直线l:y＝kx+1代入椭圆方程x2+2y2＝2，
可得(1+2k2)x2+4kx＝0，
解得x1＝0，x2=−4k
1+2k2
，
可得M(0, 1)，N(−4k
1+2k2, 1−2k2
1+2k2
)，
由题意可得|MN|=√16k2
(1+2k2)2+(1−2k2
1+2k2
−1)2=4√2
3
，
解得k＝±1，即有直线l的方程为y＝±x+1．
【考点】
椭圆的离心率
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
轨迹方程
【解析】
（1）由椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可你到底所求轨迹方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，再由两点的距离公式解方程可得斜率k，进而得到直线方程．
【解答】
由|AB|＝2<|PA|+|PB|＝2√2，
根据椭圆的第一定义，可得P 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝2√2，即a =√2，c ＝1， b =
√a 2
−c 2
=1，则动点P 的轨迹方程C 为x 2
2+y 2＝1；
将直线l:y ＝kx +1代入椭圆方程x 2+2y 2＝2， 可得(1+2k 2)x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 2=−4k
1+2k 2， 可得M(0, 1)，N(−
4k 1+2k 2
, 1−2k 2
1+2k 2)，
由题意可得|MN|=√16k 2
(1+2k 2)2
+(1−2k 2
1+2k 2−1)2=4√2
3
， 解得k ＝±1，即有直线l 的方程为y ＝±x +1．
如图，在四棱锥P −ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD // BC ，AD ⊥AB ，且PB ＝AB ＝AD ＝3，BC ＝1．
(Ⅰ)若点F 为PD 上一点且PF =1
3PD ，证明：CF // 平面PAB ； (Ⅱ)求二面角B −PD −A 的大小．
【答案】
证明：(Ⅰ)过点F 作FH // AD ，交PA 于H ，连接BH ， 因为PF =1
3PD ，所以HF =1
3AD ＝BC ．…．
又FH // AD ，AD // BC ，所以HF // BC ．…． 所以BCFH 为平行四边形，所以CF // BH ．…． 又BH ⊂平面PAB ，CF 平面PAB ，…．（一个都没写的，则这不给） 所以CF // 平面PAB ．…．
（2）因为梯形ABCD 中，AD // BC ，AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB ． 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB ⊥AB ，PB ⊥BC ，
如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…． 所以C(1, 0, 0)，D(3, 3, 0)，A(0, 3, 0)，P(0, 0, 3)．
设平面BPD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，平面APD 的一个法向量为m →
=(a, b, c)， 因为PD →
=(3, 3, −3)，BP →
=(0, 0, 3)
所以{n →⋅PD →
=3x +3y −3z =0
n →⋅BP →
=3z =0
，…．
取x ＝1得到n →
=(1, −1, 0)，…．
同理可得m →
=(0, 1, 1)，…． 所以cos <m →,n →
>=
m →⋅n
→
|m →
|⋅|n →
|
=−1
2，…．
因为二面角B −PD −A 为锐角， 所以二面角B −PD −A 为π
3．…．
【考点】
直线与平面平行
二面角的平面角及求法 【解析】
(Ⅰ)过点F 作FH // AD ，交PA 于H ，连接BH ，证明HF // BC ，CF // BH ，然后证明CF // 平面PAD ．
(Ⅱ)说明BC ⊥AB ．PB ⊥AB ，PB ⊥BC ，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD 的一个法向量，平面APD 的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B −PD −A 的大小． 【解答】
证明：(Ⅰ)过点F 作FH // AD ，交PA 于H ，连接BH ， 因为PF =1
3PD ，所以HF =1
3AD ＝BC ．…．
又FH // AD ，AD // BC ，所以HF // BC ．…． 所以BCFH 为平行四边形，所以CF // BH ．…． 又BH ⊂平面PAB ，CF 平面PAB ，…．（一个都没写的，则这不给） 所以CF // 平面PAB ．…．
（2）因为梯形ABCD 中，AD // BC ，AD ⊥AB ，所以BC ⊥AB ． 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB ⊥AB ，PB ⊥BC ，
如图，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…． 所以C(1, 0, 0)，D(3, 3, 0)，A(0, 3, 0)，P(0, 0, 3)．
设平面BPD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，平面APD 的一个法向量为m →
=(a, b, c)， 因为PD →
=(3, 3, −3)，BP →
=(0, 0, 3)
所以{n →⋅PD →
=3x +3y −3z =0
n →⋅BP →
=3z =0
，…．
取x ＝1得到n →
=(1, −1, 0)，…．
同理可得m →
=(0, 1, 1)，…． 所以cos <m →,n →
>=
m →⋅n
→
|m →
|⋅|n →
|
=−1
2，…．
因为二面角B −PD −A 为锐角， 所以二面角B −PD −A 为π
3．…．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
，点(2, 1)
在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O:x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点，求证：∠POQ是定值．【答案】
由题得e=c
a =√2
2
，所以c2=1
2
a2，则b2=1
2
a2，
再将点(2, 1)带入方程得4
a2+11
2
a2
=1，解得a2＝6，所以b2＝3，则椭圆C的方程为：
x2 6+y2
3
=1；
①当直线PQ斜率不存在时，则直线PQ的方程为x=√2或x=−√2，
当x=√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)，此时OP→⋅OQ→=0，所以OP⊥OQ，即∠POQ＝
90∘，
当x=−√2时，同理可得OP⊥OQ，∠POQ＝90∘；
②当直线PQ斜率存在时，不妨设直线PQ的方程为y＝kx+m，即kx−y+m＝0，
因为直线与圆相切，所以
√k2+1
=√2，即m2＝2k2+2，
联立{kx−y+m=0
x2
6
+y2
3
=1
，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则有x1+x2=−4km
1+2k2，x1x2=2m2−6
1+2k2
，
此时OP→⋅OQ→=x
1
x2+y1y2＝x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+
x2)+m2=(1+k2)×2m2−6
1+k2+km×(−4km
1+2k2
)+m2，
将m2＝2k2+2代入上式可得OP→⋅OQ→=0，所以OP⊥OQ，则∠POQ＝90∘；
综上：∠POQ是定值为90∘．
【考点】
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）由题得e=c
a =√2
2
得到a，b，c的关系，再将点(2, 1)代入可解得a2＝6，进而得到
方程；
（2）考虑PQ斜率不存在和存在两种情况，分别计算出OP→⋅OQ→=0，可得∠POQ＝90∘
为定值．
【解答】
由题得e=c
a =√2
2
，所以c2=1
2
a2，则b2=1
2
a2，
再将点(2, 1)带入方程得4
a2+11
2
a2
=1，解得a2＝6，所以b2＝3，则椭圆C的方程为：
x2 6+y2
3
=1；
①当直线PQ斜率不存在时，则直线PQ的方程为x=√2或x=−√2，
当x=√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)，此时OP→⋅OQ→=0，所以OP⊥OQ，即∠POQ＝
90∘，
当x=−√2时，同理可得OP⊥OQ，∠POQ＝90∘；
②当直线PQ斜率存在时，不妨设直线PQ的方程为y＝kx+m，即kx−y+m＝0，
因为直线与圆相切，所以
√k2+1
=√2，即m2＝2k2+2，
联立{kx−y+m=0
x2
6
+y2
3
=1
，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则有x1+x2=−4km
1+2k2，x1x2=2m2−6
1+2k2
，
此时OP→⋅OQ→=x
1
x2+y1y2＝x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+
x2)+m2=(1+k2)×2m2−6
1+k2+km×(−4km
1+2k2
)+m2，
将m2＝2k2+2代入上式可得OP→⋅OQ→=0，所以OP⊥OQ，则∠POQ＝90∘；综上：∠POQ是定值为90∘．
设A、B分别为椭圆x2
4+y2
3
=1的左右顶点，设点P为直线x＝4上不同于点(4, 0)的任意
一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N．
（1）判断B与以MN为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明．
（2）记直线x＝4与轴的交点为H，在直线x＝4上，求点P，使得S△APN＝S△APH．【答案】
点B在以MN为直径的圆内．证明如下：
由已知可得A(−2, 0)，B(2, 0)．设M(x0, y0)．
∵M点在椭圆上，∴y02=3
4
(4−x02)．①
又点M异于顶点A、B，∴−2<x0<2．
由P、A、M三点共线可得y P
4−(−2)=y0
x0+2
，
即P(4, 6y0
x0+2
)．
从而BM →
=(x 0−2, y 0)，BP →
=(2, 6y
x 0
+2)．
∴ BM →⋅BP →
=2x 0−4+
6y 02x 0+2
=
2x 0+2(x 02−4+3y 02)． ②
将①代入②，化简得BM →
⋅BP →
=52
(2−x 0)．
∵ 2−x 0>0，∴ BM →⋅BP →
>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．
可得A(−2, 0)，B(2, 0)．设N(x 0, y 0)．P(4, t)， 由P 、B 、N 三点共线可以得t
4−2=y 0
x
−2
，即t =2y 0
x 0−2
．
又S △APN ＝S △APH 等价于S △ABN ＝S △BPH ． 即1
2×4×|y 0|=1
2×2×|t|＝|2y 0
x 0−2
|⇒x 0＝1．
∴ 1
4
+
y 023
=1，∴ y 0=±3
2，
∴ t ＝±3． 故点P(4, ±3)
【考点】 椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系 【解析】
（1）由已知得A(−2, 0)，B(2, 0)．设M(x 0, y 0)．又点M 异于顶点A 、B ，可得−2<x 0<2．由P 、A 、M 三点共线可以得P ．可得BM →⋅BP →
>0，即可证明． （2）设N(x 1, y 1)．P(4, t)由P 、B 、N 三点共线可得t =2y 0
x 0−2
．由S △APN ＝S △APH ．等价
于S △ABN ＝S △BPH ．解得x 0＝1．即可． 【解答】
点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：
由已知可得A(−2, 0)，B(2, 0)．设M(x 0, y 0)．
∵ M 点在椭圆上，∴ y 0
2=3
4(4−x 02)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴ −2<x 0<2． 由P 、A 、M 三点共线可得y P
4−(−2)=y 0
x 0+2，
即P(4, 6y 0
x
0+2
)．
从而BM →=(x 0−2, y 0)，BP →
=(2, 6y
0x 0+2)．
∴ BM →
⋅BP →
=2x 0−4+
6y 02
x
+2
=2
x 0+2
(x 02−4+3y 02)． ②
将①代入②，化简得BM →
⋅BP →
=5
2
(2−x 0)． ∵ 2−x 0>0，∴ BM →⋅BP →
>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内．
可得A(−2, 0)，B(2, 0)．设N(x 0, y 0)．P(4, t)， 由P 、B 、N 三点共线可以得t
4−2=y 0
x
−2
，即t =2y 0
x 0−2
．
又S △APN ＝S △APH 等价于S △ABN ＝S △BPH ． 即1
2×4×|y 0|=1
2×2×|t|＝|2y 0
x 0−2
|⇒x 0＝1．
∴ 1
4
+
y 023
=1，∴ y 0=±3
2，
∴ t ＝±3． 故点P(4, ±3)。