四川省成都市万春中学2018年高三数学文月考试题含解析

四川省成都市万春中学2018年高三数学文月考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 阅读右面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
试题分析：若输入，符合条件，得到不合题意；若输入，符合条件，得到不合题意；若输入，符合条件，
得到符合题意.故选.
考点：算法与程序框图.
2. 平面向量与的夹角为60°，则
（A）（B）（C）4 （D）12
参考答案：
3. 我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者. 若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率
是（）
A. B．C．D．
参考答案：
A
4. 已知圆锥的体积为9π，母线与底面所成的角为45°，则该圆锥的母线长为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
先设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为；根据圆锥的体积，以及母线与底面所成的角为，即可列出方程组，求出结果.
【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，
由圆锥的体积为，母线与底面所成的角为，
可得，解得，
故选D
【点睛】本题主要考查圆锥的有关计算，熟记圆锥的体积公式等即可，属于常考题型.
5. 已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）
A． x= B． x= C． x= D． x=﹣
参考答案：
D
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．
专题：三角函数的求值．
分析：由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin （2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．
解答：解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），
∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，
∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x
=sin2x+
=﹣sin（2x+），
令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，
∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，
结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，
故选：D
点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．
6. 设函数，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
7. 已知集合U={1,2，3，4，5，6，7},A={1,2,4},B={1,3,5}，则= ( )
A. {2,4,6}
B. {1,3,5}
C. {3,5}
D. {2,4}
参考答案：
D
,所以，选D.
8. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
9. 复数等于
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 若复数z满足，则|z|=（）
A. 5
B.
C. 2
D.
参考答案：
B
【分析】
根据复数的运算，化简求得，再利用模的计算公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，复数满足，则，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中复数的运算法则，以及复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算：
参考答案：
略
12.
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，M、N分别是AB、A1D1的中点，则MN的长为。

参考答案：
答案:
13. 若变量满足约束条件，且的最小值为4，则
参考答案：
1
14. 已知函数的零点个数为.
参考答案：
2
15. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|＜）的部分图象如图所示，且线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，则函数f（x）的解析式为．
参考答案：
f（x）=sin（x+）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数图象可得A，又由题意，可求T，利用周期公式可求ω，由f（）
=sin（+φ）=，结合范围|φ|＜，可求φ的值，即可得解函数解析式．【解答】解：由函数图象可得，A=，
因为：线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，
所以：PQ==4，
所以可得：T==4，解得：ω=，
由于：点（，）在函数图象上，
可得：f（）=sin（+φ）=，即：sin（+φ）=1，
解得：+φ=2kπ+，k∈Z，
解得：φ=2kπ+，k∈Z，
又因为：|φ|＜，
所以，解得：φ=．
故答案为：f（x）=sin（x+）．
16. 已知一正整数的数阵如下则第7行中的第5个数是______________．
参考答案：
26
略
17. 已知函数的图象与直线的交点为，函数
的图象与直线的交点为，恰好是点到函数
图象上任意一点的线段长的最小值，则实数的值是 .
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；
（Ⅱ）若函数，求函数的单调区间．
参考答案：
解：（Ⅰ）∵，
∴．……………………1分
∵在处切线方程为，
∴，………………3分
∴，．（各1分）………5分
（Ⅱ）．
．………7分
①当时，，
-+
的单调递增区间为，单调递减区间为．………9分
②当时，令，得或………10分
（ⅰ）当，即时，
-+ 0 -
的单调递增区间为，单调递减区间为，； (11)
分
（ⅱ）当，即时，，
故在单调递减；……12分
（ⅲ）当，即时，
-0 + -
在上单调递增，在，上单调递…13分
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（“综上所述”要求一定要写出来）
略
19. 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．
（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；
（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（2）（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．
【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得
a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．
所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为
40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，
，，．
所以随机变量ξ的分布列为：
．
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的，都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“型”函数．
（1）求证：函数是上的“型”函数；
（2）设是（1）中的“型”函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“型”函数，求实数和的值．
参考答案：
（1）当时，；当时，，
∴ 存在闭区间和常数符合条
件． 4分
（2）对一切的恒成立，
∴
，
6分
解得
．
10分
（3）存在闭区间和常数，使得对任意的，
都有，即，
∴ 对任意恒成立
∴ 或
12分① 当时，
当时，
当，即时，
由题意知，符合条
件； 1 4分
②当时，
∴不符合要
求；
16分
综上，．
21. 为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
参考答案：
略
22. 已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时， =，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN 的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A （﹣2，0），B（0，1），
则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，
则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，
则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，
①当MN为斜边时， =，解得：m=0，
满足△＞0，
此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，
点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．
此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，
②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，
∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，
即21m2+8m﹣4=0，
解得：m=，m=﹣（舍），
由△＞0，则m=，
过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，
∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，
综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．。