2017-2018学年北师大版选修1-1 函数的极值 学业分层测评

4.1.2 函数的极值
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图4­1­5所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有( )
图4­1­5
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．
【答案】 C
2．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值
【解析】∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.
当x∈(－1,1)时f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；
同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( ) A．(－3,6) B．[－3,6]
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.
【答案】 B
4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图4­1­6所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
图4­1­6
A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．小于或等于0
【解析】 f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，由题意知，x ＝x 0与x ＝2是方程3ax 2
＋2bx ＋c ＝0的两根，由图像知，a ＞0且x 0＋2＜0，∴－2b
6a
＜0，∴b ＞0.
又f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)＞0. 【答案】 B
5．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则此函数的解析式是( ) A ．y ＝x 3
＋6x 2
＋9x B ．y ＝x 3－6x 2
＋9x C ．y ＝x 3
－6x 2
－9x
D ．y ＝x 3
＋6x 2
－9x
【解析】 设f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a ≠0)， 则f (x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，
由题意得f ′(1)＝f ′(3)＝0，f (1)＝4，f (3)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，
解得：a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0. 【答案】 B 二、填空题
6．(2016·湛江高二检测)函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋1在x ＝________处取得极小值． 【解析】 f ′(x )＝3x 2
－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2；由f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．
【答案】 2
7．函数f (x )＝2x 3
－3x 2＋a 的极大值为6，那么a ＝________.
【解析】 由f ′(x )＝6x 2
－6x ，知函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f (x )在x ＝0处取得极大值6，故a ＝6.
【答案】 6
8．已知函数f (x )＝－12
x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．
【解析】 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2
＋4x －3x
＝－
x －
x －x
，
由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 【答案】 (0,1)∪(2,3) 三、解答题
9．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3
－2x 2
＋x ＋1； (2)f (x )＝x 2
e
x .
【解】 (1)函数的定义域为R ，
f ′(x )＝3x 2－4x ＋1
＝3(x －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13. 令f ′(0)>0，可得x >1或x <1
3；
令f ′(x )<0，可得1
3
<x <1.
∴函数f (x )＝x 3－2x 2
＋x ＋1的单调递增区间为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间
为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.
∴当x ＝13时，函数有极大值，且为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝43
27，
当x ＝1时，函数有极小值，且为f (1)＝1， (2)函数的定义域为R ，
f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x
＝x (2－x )e －x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2
.
10．是否存在实数a ，使函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极值？若存在，求出a
的值，并判断f (1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在实数a 使函数f (x )＝13x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极值．
又f ′(x )＝x 2
＋2x ＋a ，
∴f ′(1)＝0，即1＋2＋a ＝0，∴a ＝－3
当a ＝－3时，f ′(x )＝x 2
＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－3.
当x >1时，f ′(x )>0，当－3<x <1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在x ＝1处取极小值． 故存在实数a ＝－3使函数f (x )＝13
x 3＋x 2
＋ax ＋1在x ＝1处取极小值．
[能力提升]
1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
【解析】 ∵f (x )在x ＝－2处取得极小值， ∴当x ＜－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )＜0； 当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0. ∴当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0； 当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0； 当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0； 当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；
当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中图像知，选C. 【答案】 C
2．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x
－1)·(x －1)k
(k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值
【解析】 当k ＝1时，f ′(x )＝e x
·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．
当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x
＋e x －2) 显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0，
x 在1的右边附近f ′(x )>0，
∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C. 【答案】 C
3．设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2
－9x ＋6. ∵x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m 恒成立， 即3x 2
－9x ＋(6－m )≥0恒成立， ∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－3
4.
即m 的最大值为－3
4.
(2)∵当x <1时，f ′(x )>0； 当1<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0；
∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5
2－a ；
当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .
故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >5
2.。