大学2021年专业课线性代数考试试卷及答案
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由克莱姆法则知方程组仅有零解，即向量组 线性无关。10分
2、证明：由题设知： ， ，故 。
用反证法，假设 是A的特征向量，则应存在数 ，使 ，于是
，即 。5分
因 ，有 和 线性无关，由上式得 。8分
即 ，矛盾。因此 不是A的特征向量。10分
线性代数（A）课程考试试题参考答案及评分标准
开课单位：机电工程学院课程类别：□公共课 专业课□基础课
课程编号
学分/学时
3/3
试 卷
A卷 □B卷
出题教师
考试方式
闭卷 □开卷 □其他
专业/年级
修读方式
必修 □选修
一、填空题（共5题，每题2分，共10分）
1、0；2、14； 3、8； 4、有非零解； 5、 。
二、判断题（共10题，每题1分，共10分）
1-5 √×××√ 6-10 ×√××√
三、计算题（共6题，每题10分，共60分）
1、解：
2、解：
由 可知，A可逆，其逆阵为
10分
3、解：对线性方程组的增广矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩，可得
第三个方程为矛盾方程，因此所求的方程组无解。 10分
4、解：设 构成矩阵 对A施以初等行变换
所以A的特征值为 5分
当 时，解方程（A+2E）x=0，由
得 是 的特征向量，它的所有特征向量为 ；8分
当 时，解方程（A-7E）x=0，由
得 ，所以属于 的所有特征向量是 10分
四、证明题（共2题，每题10分，共20分）
1、证明：设有数 使
即有
得 5分
因为 线性无关，所以得 8分
这个齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为 ，
5分
可见 ，即向量组 的秩为2。 8分
由B可知， 为向量组的一个最大无关组。 10分
5、解：对系数矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩阵，
5分
R(A)=2<4，基础解系由两个线性无关的解构成，原方程组的同解方程组为
其中 为自由未知量，取 得原线性方程组的通解为
8分
所以原方程组的基础解系为 10分
.6、解：A的特征多项式为
2、证明：由题设知： ， ，故 。
用反证法，假设 是A的特征向量，则应存在数 ，使 ，于是
，即 。5分
因 ，有 和 线性无关，由上式得 。8分
即 ，矛盾。因此 不是A的特征向量。10分
线性代数（A）课程考试试题参考答案及评分标准
开课单位：机电工程学院课程类别：□公共课 专业课□基础课
课程编号
学分/学时
3/3
试 卷
A卷 □B卷
出题教师
考试方式
闭卷 □开卷 □其他
专业/年级
修读方式
必修 □选修
一、填空题（共5题，每题2分，共10分）
1、0；2、14； 3、8； 4、有非零解； 5、 。
二、判断题（共10题，每题1分，共10分）
1-5 √×××√ 6-10 ×√××√
三、计算题（共6题，每题10分，共60分）
1、解：
2、解：
由 可知，A可逆，其逆阵为
10分
3、解：对线性方程组的增广矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩，可得
第三个方程为矛盾方程，因此所求的方程组无解。 10分
4、解：设 构成矩阵 对A施以初等行变换
所以A的特征值为 5分
当 时，解方程（A+2E）x=0，由
得 是 的特征向量，它的所有特征向量为 ；8分
当 时，解方程（A-7E）x=0，由
得 ，所以属于 的所有特征向量是 10分
四、证明题（共2题，每题10分，共20分）
1、证明：设有数 使
即有
得 5分
因为 线性无关，所以得 8分
这个齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为 ，
5分
可见 ，即向量组 的秩为2。 8分
由B可知， 为向量组的一个最大无关组。 10分
5、解：对系数矩阵施以行初等变换，把其化为行阶梯型矩阵，
5分
R(A)=2<4，基础解系由两个线性无关的解构成，原方程组的同解方程组为
其中 为自由未知量，取 得原线性方程组的通解为
8分
所以原方程组的基础解系为 10分
.6、解：A的特征多项式为