福建省晋江市季延中学高二数学上学期期末考试试题理

季延中学2016年秋高二年期末考试数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）
1．命题“000(0,), lnx 1x x ∃∈∞=- ”的否定是（ ）
A ．000(0,),lnx 1x x ∃∈∞≠-
B ．000(0,),lnx 1x x ∃∉∞=-
C ．(0,),lnx x 1x ∀∈∞≠-
D ．(0,),lnx x 1x ∀∉∞=-
2. 由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，则n 等于 （ ）
A ．99
B ．100
C ． 96
D ．101
3. 命题“∀a 、b ∈R ，若a ＝b ，则a 2＝ab ”的否命题是（ ）
A ．∀a 、b ∈R ，若a 2＝ab ，则a ＝b
B ．∀a 、b ∈R ，若a 2
＝ab ，则a ≠b
C ．∀a 、b ∈R ，若a 2≠ab ，则a ≠b
D ．∀a 、b ∈R ，若a ≠b ，则a 2≠ab 4. “m>0”是“方程23x +2
y m
=1表示椭圆”的 ( )条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分又不必要 5. 满足线性约束条件23,23,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）
A 1.
B 1.5.
C 2.
D 3.
6. 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若,cos cos A b B a = 则ABC ∆的形状 一定是（ ）
A. 等腰直角三角形
B.等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
7. 若等比数列}{n a 前n 项和为S n ，且S 1=18，S 2=24，则S 4=（ ）
A ．
376 B ．379 C ．380 D ．3
82 8. 若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为（ ） A. 2a B. 212a C. a D. 12
a
9. 已知点F 1、F 2分别是椭圆22x k +＋21y k +＝1(k ＞－1)的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若 △ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为 （ ）
A.12 B ．14 C ．154
D ．34 10. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且
,327++=n n T S n n 则15
7202b b a a ++等于( ) A.
49 B. 837 C. 1479 D. 24
149 11．设a ＞0为常数，若对任意正实数x ，y 不等式1()()9a x y x y ++≥恒成立，则a 的最 小值为( )
A. 4
B. 2
C.81
D. 16
81 12. 已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则
312215S S S -+的值是( )
A. 13
B. 76
C. 46
D. --76
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．双曲线x 2－y 2
3＝1的的焦点到它的渐近线的距离是 .
14.已知p ：(x －m ＋1)(x －m －1)＜0；q ：12＜x ＜2
3，若p 是q 的必要不充分条
件，则实数m 的取值范围是________________．
15. 如图，在四边形ABCD 中，已知:AD ⊥CD, AD=10, AB=14,
∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒, 则BC= . 16. 已知ABC ∆三顶点均在双曲线22
124
x y -=上，三边AB 、BC 、AC 所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为—1；又AB 、BC 、AC 的中点分别为M 、N 、P ，O 为坐标原点，直线OM 、ON 、OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k 且均不为0，则123
111k k k ++=______.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且a ＝2，cos B ＝35.
(Ⅰ)若b ＝4，求sin A 的值；
(Ⅱ)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．
18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =， n c ＝1
1n n b b +，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求 n T ; （Ⅲ）设n n na d =，记数列}{n d 的前n 项和为n G ，求n G .
19.（12分）设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？并说明理由.
20.（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度x （千米/小时）之间的函数关系为：)0(1600
39202>++=x x x x y ． （1） 在该时段内，当汽车的平均速度x 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （保留分数形式,不需要化成小数）
（2） 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度x 应在什么范围内？
21.（12分）在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，2222BC AD AB ===,90ABC ∠=, 如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥.如图（2）
（Ⅰ）求证：CD AB ⊥；
（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；
（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60？若存在，求出
BC
BN 的值；若不存在，说明理由．
22.（12分）已知）（0,2-1F ,）
（0,22F ,点P 满足221=-PF PF ，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；
（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.
（i ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m
的值.
（ii ）在（i ）的条件下，求MPQ ∆面积的最小值.
季延中学2016年秋高二年期末考试数学（理科）试卷答案 CBD AC BCBAD AD 3, ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，32 , 28, 21- 17.解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45 ……………2分
由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ， …………………3分
∴sin A ＝a sin B b ＝2×4
54＝2
5. …………………5分
(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×4
5＝4，∴c ＝5. ………7分
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， …………………8分
∴b ＝a 2＋c 2
－2ac cos B
＝22＋52－2×2×5×35＝17. …………………10分 18.解：（1）当1=n 时，21=a ， ………………………1分 当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a ………………………2分
即：21
=-n n a a ， ………………………3分 ∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 n n a 2=∴ ………………………4分
（2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝lo g 22n ＝n ， ………………………5分
则c n ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11
n +， ………………………6分 T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1
n n +. …………………8分 （3）n n n n na d 2⨯==, n n n G 2...23222132⨯++⨯+⨯+⨯=,.........①
143222)1(...2322212+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n G ........②………………9分
①-②，错位相减得，13222...222+⨯-++++=-n n n n G ………………10分
22)1(22
1)21(211--=⨯---=++n n n n n …………11分 从而，22)1(1+-=+n n n G …………………………………12分
A G E M o y x x 2=4y 19.解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分
∵12
p = ∴2p = ∴ 曲线C 方程是24x y =………4分 （2）方法1：设圆的圆心为00(,)M x y ，半径为r ，则2004x y =，.......6分
∵圆M 过A (0,2)，∴ 222222000000(2)444r x y x y y y =+-=+-+=+ ………8分
又圆心M 到x 轴的距离0||d y =………9分
由圆的弦长公式，得22220022(4)4EG r d y y =-=+-=------11分
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………12分
方法2：设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x ,圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分
令0y =得：22440x ax b -+-=，∴ 122x x a +=，1244x x b ⋅=-
∴22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+....10分
又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴24a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4.......12分
20.解：（Ⅰ）依题意，,83920160023920)1600(3920=+≤++=x
x y ……………3 分 )./(83
920,,40,1600max 小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当===y x x x ….6 分 （Ⅱ）由条件得,101600
39202>++x x x 整理得x 2－89x +1600<0,………………………………………………8分
即（x －25）（x －64）<0,
解得25<v <64. (11)
答：当x=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为920/83千辆/小时.如果要求在该时段内车流
量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．………………………12 分 21.解：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==B D CD ⊥．………………………………1分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面．∴BD A CD 平面⊥……2分
又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥． (3)
分
（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在
的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得
(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．
∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．……………4分
设平面ACD 的法向量为),,(z y x n =，则n AD n CD ⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩
令1x =， 得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=n ，……………………………6分
∴点M 到平面ACD 的距离2
2|||
|=⋅=n MC n d ．…………………………………7分 （Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．
设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-，∴(12,2,1)AN λλ=--………8分
又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=n 且直线AN 与平面ACD 所成角为60，
∴03sin 602AN n AN n
⋅==，……………………………………………10分 可得01282=-+λλ，∴2
141-==λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时
41=BC BN …12分 22.解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由
3,22,22=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(132
2
≥=-x y x ——3分
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2
222=++--k x k x k ， 0334,034,0,03222122212>-+=⋅>-=+>∆≠-∴k k x x k k x x k 且解得k 2 >3 ....5分 （i ）2121))((y y m x m x MQ MP +--=⋅
分7.3
)54(343
)2(43)34)(1(4))(2()1()
2)(2())((222
222222222
221221221221 m k k m k m k m k k k k k k m x x m k x x k x x k m x m x +-+-=++-+--++=++++-+=--+--= 0,=⋅∴⊥MQ MP MQ MP ，
故得0)54()1(3222=--+-m m k m 对任意的32>k 恒成立，
.1,0540122-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=-∴m m m m 解得 ∴当m =－1时，MP ⊥MQ . 当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP ⊥MQ . ——8分 （ii ）由（i ）知，(1,0)M -，当直线l 的斜率存在时，
2
2
1221163k PQ k x x k +=+-=-， M 点到直线PQ 的距离为d ，则231k d k =+ ∴2222222
1(1)1(1)9992(3)MPQ k k k k k k S PQ d k ∆+++====- ——9分 令23(0)k t t -=>，则212791MPQ S t t
∆=++，因为10t > 所以2127919MPQ S t
t ∆=++> ——10分 当直线l 的斜率不存在时，13692
MPQ S ∆=⋅⋅= ——11分 综上可知9MPQ S ∆≥，故MPQ S ∆的最小值为9. ——12分。