2022年初中数学精品导学案《完全平方公式 2》导学案

完全平方公式
一、新课导入
1.导入课题：
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.〔如图〕用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比拟.你发现了什么呢？
2.学习目标：
〔1〕能用符号和文字表述完全平方公式.
〔2〕能运用完全平方公式解题.
〔3〕体验归纳添、去括号法那么.
3.学习重、难点：
重点：完全平方公式及应用及添、去括号法那么.
难点：完全平方公式的几何意义的理解.
二、分层学习
1.自学指导：
〔1〕自学内容：探究完全平方公式.
〔2〕自学时间：8分钟.
〔3〕自学方法：计算、比拟分析、猜测结论.
〔4〕探究提纲：
①计算以下多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么规律.
a.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;
b.(m+2)2=m2+4m+4;
c.(2a+1)2=4a2+4a+1;
d.(2x-3)2=4x2-12x+9.
②猜测：根据你发现的规律，你能直接写出〔a+b〕2的计算的结果是a2+2ab+b2，〔a－b〕2的结果是a2-2ab+b2.
③以下等式正确吗？假设不对，比照②中发现的规律找出错在什么地方？
(x－3)2=x2－9(2m+1)2=4m2+1
都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项〞.
④试用以下图1，2验证(a±b)2的结果的正确性.
请你根据图1，图2说出〔a+b〕2和〔a-b〕2的计算结果的几何意义.
⑤试用文字表述②中发现的规律.
两个数的和〔或差〕的平方，等于它们的平方和，加上〔或减去〕它们的积的2倍.
2.自学：学生结合探究提纲进行自学.
3.助学：
〔1〕师助生：
①明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中存在的问题.
②差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借助图1、2验证猜测.
〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
〔1〕总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征
〔2〕先用公式计算以下各题，再用多项式乘法法那么验证.
①〔2x－3〕2；②〔x+y〕2；③〔m+2n〕2；④〔2x－4〕2
解：①4x2-12x+9 ②x2+2xy+y2
③m2+4mn+4n2④4x2-16x+16
1.自学指导：
〔1〕自学内容：教材第110页例3、例4.
〔2〕自学时间：8分钟.
〔3〕自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中a、b的数或式是什么.
〔4〕自学参考提纲：
①式子〔4m+n〕2中，4m看作公式中的a,n看作公式中的b，所以〔4m+n〕2=〔4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.
②〔y－1
2〕2=y2－2·y·(1
2
)+1
4
=y2-y+1
4
.
③因为102=100+2，所以
1022=(100+2)2=(100)2+2×100×2+(2)2=10404.
④怎样计算9982？说说你的想法.
用完全平方公式，将998写成1000-2，那么
9982=(1000-2〕2=10002-2×1000×2+22=996004.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
〔1〕师助生：
①明了学情：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.
②差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a〞、“ b〞.
〔2〕生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.
4.强化：
〔1〕应用公式时，先确定公式中的“a〞、“b〞是什么？
〔2〕运用完全平方公式计算：①〔－x－y〕2；②〔2y－1
3
〕2
解:①x2+2xy+y2;②4y2-4
3y+1
9
.
〔3〕思考：〔a+b〕2与〔-a－b〕2相等吗？〔a-b〕2与〔b-a〕2相等吗？为什么？
相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.
1.自学指导：
〔1〕自学内容；教材第111页例5上面的内容.
〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习，注意添加括号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化.
〔4〕自学参考提纲：
①整式中添加括号的依据是什么？
②添括号法那么是怎样的？
③如何验证你添括号的正确性？
④在等号右边的括号内填上适当的项.
a+b-c=a+〔b-c〕;a+b-c=a-〔c-b〕;a-b+c=a-(b-c)
a-b-c=a-〔b+c〕;a+b+c=a-〔-b-c〕;a+2b-6c=a+2(b-3c).
2.自学：学生可结合自学提纲进行自学.
3.助学：
〔1〕师助生：
①明了学情：了解学生对添括号法那么是否学会，会不会检验添括号的正确性.
②差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后注意什么.
〔2〕生助生：学生之间相互指导.
4.强化：
(1)添括号法那么.
〔2〕括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.
(3)注意各项都变或都不变的意思.
(4)判断以下运算是否正确，假设不正确，请改正过来.
①2a-b-c
2=2a-〔b-c
2
〕②m-3n+2a-b=m+〔3n+2a-b〕
③2x-3y+2=-〔2x+3y-2〕④a-2b-4c+5=〔a-2b〕-〔4c+5〕
解：①不正确，应等于2a-b+c
2
②不正确，应等于m-(3n-2a+b)
③不正确，应等于-〔-2x+3y-2〕
④不正确，应等于〔a-2b〕-〔4c-5〕
1.自学指导：
〔1〕自学内容；教材第111页例5的内容.
〔2〕自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添括号选用相应的公式.
〔3〕自学参考提纲：
①计算〔x+2y-3〕〔x-2y+3〕时，第一步将整式变形为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］，目的是什么？此题计算过程中，先后运用了几个公式？此题对应用公式计算有何启示？
②计算(a+b+c)2时，例题是写成［(a+b)+ c］2，把a+b当作完全平方式中的a，把c当作完全平方式中的b，还有没有其它的添括号的方法计算此题，试试吧！
③运用乘法公式计算〔1〕(a+2b-1)2;〔2〕〔2x+y+z〕(2x-y-z).
解：〔1〕原式=〔a+2b〕2-2〔a+2b〕+12
=a2+4ab+4b2-2a-4b+1;
〔2〕原式=[2x+〔y+z〕][2x-〔y+z〕]=4x2-(y+z)2=4x2-y2-2yz-z2.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
〔1〕师助生：
①明了学情：了解学生是否灵活运用添括号的法那么添加括号，并运用完全平方公式计算.
②差异指导：对学生学习过程中存在的问题予以分类指导.
〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
〔1〕总结交流：在乘法运算时，一定要观察多项式的特点，选用对应的公式进行运算.
〔2〕添括号法那么是去括号法那么反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法那么验证所添括号是否正确.
〔3〕练习：计算
①(a+b+1)(a+b-1); ②(2x-y-3)2.
解：①原式=a2+2ab+b2-1;
②原式=〔2x〕2-2x·〔y+3〕+(y+3)2=4x2-2xy-6x+y2+6y+9
三、评价
1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：学生代表交流自己的学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价：
〔1〕表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及缺乏进行点评.
〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价〔教学反思〕：
本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.
一、根底稳固〔第1、2、3、4、5题每题8分，第6题20分，共60分〕
1.〔-3x-1〕2=9x2+6x+1; 〔-2x+5〕2=4x2-20x+25;
2.〔1
2x-y-1〕2=1
4
x2+y2-x-xy+2y+1; (3
4
x-2
3
y)2=9
16
x2-xy+4
9
y2.
3.〔x+y〕2-4xy=〔x-y〕2 2=(100-0.2)2=
4.〔1〕假设〔x-5〕2=x2+kx+25,那么k=-10;
〔2〕假设4x2+mx+9是完全平方式，那么m=12.
5.以下各式中，与〔x-1〕2相等的是〔B〕
2-1 2-2x+1 2-2x-1 2
6.利用乘法公式计算：
〔1〕(a－b+2c)2; 〔2〕〔-2x-y〕2;
〔3〕〔x+y-z〕〔x-y+z〕;〔4〕(a+b+c)2－(a－b－c)2.
解：〔1〕原式=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc;
〔2〕原式=4x2+4xy+y2;
〔3〕原式=x2-(y-z)2=x2-y2+2yz-z2;
〔4〕原式=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)=2a·〔2b+2c〕=4ab+4ac
二、综合应用〔每题10分，共20分〕
7.化简求值：［2x2-〔x+y〕〔x-y〕］［〔-x-y〕〔y-x〕+2y2］,其中x=1，y=2.
解：原式=〔2x2-x2+y2〕〔x2-y2+2y2〕
=(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4
当x=1,y=2时，原式=1+8+16=25.
8.a+b=-7，ab=12，求a 2+b 2-ab 和 (a －b)2的值.
解：a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab=(-7)2-3×12=13.
〔a-b 〕2=(a+b)2-4ab=(-7)2-4×12=1.
三、拓展延伸〔每题10分，共20分〕
9.a+b-c=5，a-b+c=-3，求a 2-b 2+2bc-c 2的值.
解：a 2-b 2+2bc-c 2=a 2-(b-c)2=〔a+b-c 〕〔a-b+c 〕
=5×〔-3〕=-15. 10.x+1x =2,求x 2+
21x 和x-1x 的值. 解：(x+
1x )2= x 2+21x +2=4 ∴x 2+
21x =2， ∴x 2+
21x -2=0， ∴(x-
1x )2=0， ∴x-1
x =0.
第3课时 线段的性质及其应用
一、导学
上节课我们学习了线段的大小比拟和线段的和、差、倍、分，本课我们继续探讨线段的有关性质.我们来看下面生活中的情景：
从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用有关数学知识来说明这个问题.今天，我们一起来学习有关线段的根本领实——两点之间，线段最短.
2.三维目标：
〔1〕知识与技能
知道两点之间的距离和线段中点的含义.
〔2〕过程与方法
利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.
〔3〕情感态度
初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义.
4.自学指导：
〔1〕自学范围：教材第128页“思考〞至第129页的内容.
〔2〕自学时间：5分钟.
〔3〕自学要求：认真阅读课本，联系生活实际理解领会相应结论.
〔4〕自学参考提纲：
①两点的所有连线中，线段最短，简写成：两点之间，线段最短.
②用“＞〞“＜〞或“=〞填空：
如图，在△ABC中，AB+AC＞BC，AB+BC＞AC,BC+AC＞AB.
你能说明其中的道理吗？
两点之间，线段最短.
③你能举例说明“两点之间，线段最短〞的实际应用吗？与同学们交流一下.
道路尽可能需要修直一点.
④什么叫两点间的距离?“连接两点间的线段，叫做这两点间的距离〞这一说法是否正确？为什么？
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
不正确，漏掉了线段的“长度〞，线段不是距离.
二、自学
同学们可结合自学指导进行学习.
三、助学
1.师助生：
〔1〕明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
〔2〕差异指导：根据学情进行针对性指导.
2.生助生：小组同学间相互交流研讨、互助解疑难.
四、强化
1.两点之间，线段最短.
2.两点间的距离的意义，注意“数〞与“形〞的区别.
3.练习：教材第130页第8题.
五、评价
1.学生的自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价〔教学反思〕：
两点之间线段最短这一性质是度量的根底，在生产实际中经常要用到，这节课主要是让学生体验两点之间线段最短这一性质以及两点间距离的概念.经历从具体事例抽象出性质，再根据性质应用到具体事例的活动过程，体会从具体到抽象，再由抽象到具体的辩证关系.
教科书分层次的安排了这些内容，本节课学生只要能根据具体事例判断能否利用两点之间线段最短这一性质，以及利用这一性质进行规划设计即可.此外，两点间距离的概念，学生一般也容易理解.本节
课的目的是通过学习，进一步开展学生的空间观念，学生逐渐形成对空间图形与平面图形的认识与区别，体会现实生活中处处有图形，处处有数学.
在这一课教与学的过程中，教师应积极渗透自主学习探索、合作交流、实践创新的学习理念，通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展〞的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学——在教室里学习数学——到生活中运用数学〞这一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，开展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心.
一、根底稳固
1.〔10分〕把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是〔C〕
A.两点之间，射线最短
C.两点之间，线段最短
D.两点之间，直线最短
2.〔10分〕以下说法正确的选项是〔D〕
3.〔10分〕如图，从A出发到B时，最近的路是〔C〕
→C→D→B →C→F→E→B
→C→E→B →C→G→B
4.〔10分〕如图，河流l两旁有两个村庄A、B,现要在河边修一个水泵站，同时向A、B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.
解：如下图，将水泵站修在C点〔C点有两个，即河流l与线段AB相交的两个点，标在图上任何一点均可〕，才能使所铺设的管道最短.
二、综合应用
5.〔15分〕A、B、C三点在同一直线上，如果线段AB=6 cm，BC=3 cm，A、C两点的距离为d，那么〔C〕
A.d=9 cm
B.d=3 cm
C.d=9 cm或d=3 cm
6.〔15分〕如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.
解：如下图.
7.〔15分〕平面上有A，B两点,且AB=7 cm.
(1)假设在该平面上找一点C，使CA+CB=7 cm,那么点C在何处？
〔2〕假设使CA+CB＞7 cm,那么点C在何处？
〔3〕假设使CA+CB＜7 cm,那么点C在何处？
解：〔1〕点C在线段AB上；〔2〕点C在线段AB外；〔3〕不存在这样的点C.
三、拓展延伸
8.〔15分〕如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿外表爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由.
由A爬到B，沿AB连线直接爬行.
如果要爬行到顶点C，有三种情况：假设蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，与棱a(或b)交于D1〔或D2〕,蚂蚁沿AD1→D1C(或AD2→D2C)爬行，路线最短.类似地，蚂蚁经过面AB和AE爬行到顶点C，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短路线有6条.。