2019-2020学年上海市北虹高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2019-2020学年上海市北虹高级中学高一数学理下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
已知s是等差数列｛a｝的前n项和，若a+a+a是一个确定的常数，则数列｛s｝中是常数的项是（）
A s
B s
C s
D s
参考答案：
D
2. 将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】球内接多面体．
【分析】根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．
【解答】解：将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球时，
球的直径等于正方体的棱长2，
则球的半径R=1，
则球的体积V=?π?R3=
故选A．
3. 已知，则等于（）
A．B．C．5 D．25
参考答案：
C
略
4. 若，则下列不等式不成立的是
．．．．
参考答案：
C
5. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知可得f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），结合x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）可得答案．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，
∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f=f=f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2）
=﹣f=﹣f=﹣f（﹣x）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，
∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（3）=0，
f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题目．
6. （5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则?U （A∩B）=（）
A．{1，4，5} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{4}
参考答案：
A
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：直接利用补集与交集的运算法则求解即可．
解答：解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，
∴A∩B={2，3}，
由全集U={1，2，3，4，5}，
∴?U（A∩B）={1，4，5}．
故选：A．
点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．
7. 函数的图像
是
()
参考答案：
B
8. 已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点，则实数m的取值范围是() A．(－2,2) B．(－1,1)
C．[1，) D．(－，)
参考答案：
C
略
9. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）
A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2
参考答案：
B
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．
【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，
R=，S=4πR2=12π
故选B
【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．
10. =（）
A．tanx B．sinx C．cosx D．
参考答案：
D
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：
=sinxcosx+===，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角α终边上一点P（-4，3），则的值为_________.
参考答案：
12. 过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于．
参考答案：
﹣
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率
﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．
【解答】解：由，得
x2+y2=1（y≥0）
∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则﹣1＜k＜0
∴直线l的方程为：
即
则圆心O到直线l的距离
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=
∴
=
=
=
令
则
当
S△AOB有最大值为
此时，
∴
又∵﹣1＜k＜0
∴
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．
13. 已知是偶函数，且定义域为则_________. 参考答案：
14. 若数列是等差数列，其前项的和为，则也是等差数
列，类比以上性质，等比数列，则=__________，也是等比数列
参考答案：
15. 若不等式对恒成立，则实数k的取值范围是．
参考答案：
16. （本小题满分16分）
设的内角，，的对边长分别为，，，且
(1)求角的余弦值的取值范围；
(2)若，求角的大小.
参考答案：
(1)由余弦定理，得
,又因为中，，所以
(2)
又，由（1）知为锐角，故角的大小为.
17. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是。

参考答案：
（0，-1，0）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求实数的值.
参考答案：
（1）
函数的最小正周期
. （3分）
令，
解得，
故函数的单调递增区间为. （6分），，
当即时，函数取最小值，
即；
当即时，函数取最大值，
即.
，
.
（12分）
19. 已知电流与时间的关系式为（，，
）．
（Ⅰ）在一个周期内的图象如图，求的解析式；
（Ⅱ）如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和
最小值，那么的最小正整数值是多少？
第20题图
参考答案：
解：（Ⅰ）由图象可知；………………………2分
，，
……………………5分
当时，，
又由于，
………………………8分
(2)由题意，，………………………10分
即的最小值为943. ………………………12分
20. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2+2x．
（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．
参考答案：
考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），且当x≥0时f （x）=x2+2x．可求出x＜0时函数f（x）的解析式，综合可得函数f（x）的解析式
（2）根据（1）可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，进而可得函数g（x）的最小值的表达式．
解答：解：（ 1）当x＜0时，﹣x＞0，
∵函数f（x）是偶函数，故f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2+2x…（2分）
所以f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，…（4分）
所以f（x）=，
（2）∵g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2+2（1﹣a）x+2的图象开口朝上且以直线x=a﹣1为对称，
又∵x∈[1，2]，
当a﹣1≤1时，g（x）在[1，2]上为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值5﹣2a，
当1＜a﹣1≤2时，g（x）在[1，a﹣1]上为减函数，在[a﹣1，2]上为增函数，故当x=a﹣1时，g（x）取最小值﹣a2+2a+1，
当a﹣1＞2时，g（x）在[1，2]上为减函数，故当x=2时，g（x）取最小值10﹣4a，
综上：函数g（x）的最小值为
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，二次函数在定区间上的最值问题，是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查，难度不大，属于基础题．
21. （本小题满分12分）已知平面内两点．
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程；
（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
参考答案：
（1）；（2）；（3）.
（3）设关于直线的对称点………………………………………………7分∴………………………………………………………………8分解得………………………………………………………………………………10分
∴，…………………………………………………11分
由点斜式可得，整理得
∴反射光线所在的直线方程为……………………………………12分
法二：设入射点的坐标为
…………………………………………………………………………8分
解得………………………………………………………………………………10分∴……………………………………………………………………11分
由点斜式可得，整理得
∴反射光线所在的直线方程为………………………………………12分.
22. 设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3?22n﹣1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由题意得a n+1=+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．
（Ⅱ）由b n=na n=n?22n﹣1知S n=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=+a1
=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．
而a1=2，
所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．
（Ⅱ）由b n=na n=n?22n﹣1知S n=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1①
从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1②
①﹣②得（1﹣22）?S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1．
即．
点评：本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．。