Asin(ωx+φ)的图像教案 北师大版必修4(2021-2022学年)

函数y=Aｓiｎ（ωx+φ）的图像
整体设计
教学分析
本节通过图像变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响，讨论函数y=Asｉn(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映。

这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.
如何经过变换由正弦函数y＝siｎx来获取函数ｙ=Asiｎ(ωx+φ)的图像呢？通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ）的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法，正确找出函数ｙ＝sinx到y＝Ａｓin(ωx＋φ）的图像变换规律，这也是本节课的重点所在。

由于本节是本章的一个难点，为了便于学生的理解和接受,在探究ｙ=sｉnｘ与y=Asin（ωｘ＋φ)的关系上，对Ａ、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.
三维目标
1.通过学生自主探究,理解φ对ｙ＝ｓin(x+φ)的图像的影响,ω对y=ｓiｎ（ωx+φ）的图像的影响,A对y=Ａsin（ωｘ+φ)的图像的影响。

2。

通过探究图像变换，会用图像变换法画出y＝Ａsiｎ（ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Ａsin（ωx+φ)的简图。

3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力．学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观.
重点难点
教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、Ａ变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asｉn(ωx+φ）图像的简图的作法.
教学难点：由正弦曲线ｙ=sｉnｘ到ｙ=Aｓin（ωx+φ)的图像的变换过程．
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路 1.（情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=As ｉn(ωx+φ)的函数(其中Ａ、ω、φ是常数）.例如,物体做简谐振动时位移y 与时间ｘ的关系,交流电中电流y 与时间x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此，我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=A ｓin(ωx+φ)的图像。

思路2.(直接导入)从解析式来看,函数ｙ=sinx 与函数y=Ａs ｉn(ωx+φ）存在着怎样的关系？从图像上看,函数y=sinx 与函数y=Ａsin （ωx+φ）存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、Ａ对y=Ａｓin （ωx ＋φ)的图像的影响.
推进新课
新知探究
提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图像，它与正弦曲线有何关系?你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Ａsin(ωx+φ)的图像的影响？
②分别在y=si ｎx 和ｙ＝sin （ｘ+)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响?对φ任取不同的值，作出y=si ｎ(x+φ)的图像,看看与y ＝si ｎx 的图像是否有类似的关系？
③请你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图像变换得到y ＝sin （x+φ）的图像.
④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗?为了作图的方便,
先不妨固定为φ＝，从而使y=ｓｉn(ωx+φ）在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).
⑤类似地,你能讨论一下参数Ａ对ｙ=si ｎ（2x ＋)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω＝2,φ＝．此时,可以对A 任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察
它们与ｙ=ｓin （２ｘ+)的图像之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移?怎样先伸缩后平移的?
活动：问题①，教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法。

同时引导学
生观察y=sin(ｘ+）图像上点的坐标和ｙ＝sinx 的图像上点的坐标的关系，获得φ对ｙ=sin(ｘ+φ）的图像的影响的具体认识。

然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不
变量，得出它们的横坐标总是相差的结论,并让学生讨论探究．最后共同总结出：先分别讨论参数φ、ω、A 对y ＝Ａsin(ωx+φ)的图像的影响，然后再整合.
ﻬ
图1
问题②，由学生作出φ取不同值时,函数y=ｓin （x+φ)的图像,并探究它与ｙ=ｓinx 的图像的关系，看看是否仍有上述结论。

教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验。

为了研究的方便,不妨先取φ＝，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图１，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等，
观察它们横坐标的关系。

可以发现,对于同一个y 值，y=sin （ｘ+）的图像上的点的横坐标总是等于
3π
3π3π
3π
3π
3π
3π
3π
3π
3π
y=ｓi ｎｘ的图像上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中Ａ、B 两点动起来(保持纵坐标相等）,在变化过程中观察A 、B 的坐标、ｘB —x A 、|AB ｜的变化情况,这说明ｙ
=si ｎ（x+)的图像，可以看作是把正弦曲线ｙ＝s ｉnx 上所有的点向左平移个单位长度而得到的
,同时多
媒体动画演示y ＝s ｉnx 的图像向左平移使之与y=ｓｉn(x+)的图像重合的过程,以加深学生对该图
像变换的直观理解。

再取φ=-，用同样的方法可以得到y=ｓi ｎｘ的图像向右平移后与y ＝sin(x-）的图像重合。

如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现,这时φ对ｙ＝sin(x+φ）的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=ｓｉｎ（x ＋φ）的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③，引导学生通过自己的研究认识φ对y=ｓｉn(x ＋φ)的图像的影响,并概括出一般结论: y=ｓi ｎ(x+φ)（其中φ≠0）的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时）或向右（当φ＜０时）平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2．
ﻬ图2 问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导．注意提醒学生按照从具体到
一般的思路得出结论,具体过程是:（1)以ｙ=si ｎ（ｘ+)为参照,把ｙ=s ｉn （2x+)的图像与y=si ｎ
(x+）的图像作比较,取点A 、B 观察。

发现规律：
图3 如图3,对于同一个y 值，ｙ=si ｎ(２x+)的图像上点的横坐标总是等于y=s ｉn(x ＋）的图像上对
应点横坐标的倍。

教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件,体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律。

(2)取ω=,让学生自己比较y=sin （x+)的图像与y=si ｎ（ｘ+)图像.教学中可以让学生通过作
图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论：把ｙ＝s ｉｎ（x+)图像上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x ＋)的图像。

3π
3π3π
3π3π
4π4π
4π
3π3π
3π
3π3π
21
21213π3π
3π
213π
当取ω为其他值时，观察相应的函数图像与y=sin （ｘ+)的图像的关系,得出类似的结论。

这时
ω对y=s ｉｎ（ωx ＋φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=s ｉn （ωx ＋φ）的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓。

教师指导学生将上述结论一般化，归纳y=si ｎ（ωｘ＋φ）的图像与ｙ=sin （x+φ）的图像之间的关系，得出结论:
函数y=s ｉn(ωx+φ)的图像可以看作是把ｙ=sin(ｘ+φ）的图像上所有点的横坐标缩短（当ω
＞1时)或伸长(当0<ω＜1时)到原来的倍（纵坐标不变)而得到.如图4．
图4
3π
ω1
问题⑤,教师点拨学生,探索A 对图像的影响的过程，与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学
生独立完成。

学生观察y=３s ｉn(2x+)
的图像和y=sin(
２x+)的图像之间的关系。

如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同，观
察它们纵坐标的关系。

可以发现,对于同一个x 值,函数ｙ＝３ｓin （2ｘ+）的图像上的点的纵坐标
等于函数y=ｓｉn(2ｘ+)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明，y=3s ｉｎ(2x ＋）的图像,可以看作
是把ｙ=sin （2x+）的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变)而得到的．通过实验可以看到，A 取其他值时也有类似的情况．有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论:
图5
函数y=Ａsi ｎ(ωx+φ）(其中Ａ＞0，ω＞0）的图像,可以看作是把y=sin （ωｘ＋φ）上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0＜A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Ａsi ｎ(ωｘ+φ）的值域是\[—A,A\],最大值是A ，最小值是-A 。

如图６。

图6
由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=As ｉn （ωx+φ)（其中A>0，ω>0）的图像变化的影响情况。

一般地，函数y=Asin （ωｘ＋φ)（其中A ＞０，ω＞0)的图像，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y ＝sin ｘ的图像;再把正弦曲线向左(右）平移|φ｜个单位长度,得到函数y=s ｉｎ
(x+φ)的图像;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=s ｉn （ωx ＋φ)的图像;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数y=Ａｓin(ωx+φ）的图像。

⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标（或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标）,最后平移.但学生很容易在第三步出错，可在图像变换时，对比变换，以引起学生注意，并体会一些细节.
ﻬ由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想.
讨论结果：①把从函数y=si ｎｘ的图像到函数y=As ｉn(ωx+φ）的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、Ａ对函数图像的影响,然后整合为对y=Ａｓin （ωｘ+φ）的整体考察。

②略．
③图像左右平移,φ影响的是图像与ｘ轴交点的位置关系.
④纵坐标不变，横坐标伸缩,ω影响了图像的形状。

⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图像的形状。

⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移）,但要注意第三步的平移．
3π3π
3π
3π3π
3π
ω1
y ＝sinx 的图像
得ｙ＝Ａｓｉnx 的图像横
得y=Ａsin(ωx)的图像
得y=A ｓin(ωx+φ）的图像。

规律总结： 先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图像 得ｙ＝si ｎ(x ＋φ）的图像
得y=sin(ωx ＋φ）的图像得y=As ｉｎ(ωｘ+φ)的图像. 先伸缩后平移的步骤程序(见上).
应用示例
例1 画出函数y=2sin(ｘ－)的简图。

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法． （1）可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ=－,ω＝,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容
自己写出得到y ＝2sin(x —)的图像的过程:只需把y ＝s ｉnx 的曲线上所有点向右平行移动个单
位长度，得到ｙ＝sin （ｘ-)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到
y=ｓin(x —)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数
y=2sin （
)()
10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<个单位
平移或向右向左ωϕϕϕ)
0()0(<>个单位长度平移
或向右向左ϕϕϕ)
0()0(<>)(1)
1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<)()
10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>316π
6π
31316π6π
6π
316π
31
x —）的图像
,如图7所示。

图７ (2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质。

(３）学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2ｓin （ｘ-）简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数ｙ=2ｓi ｎ(x －）的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程．
解：方法一:画出函数y=2sin （ｘ—）简图的方法为
y=ｓinx
方法二:画出函数ｙ=2sin(x —）简图的又一方法为
图８ 点评:
ﻬ学生独立完成以上探究后，对整个的图像变换及“五点法"作图会有一个新的认识．但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言，这点是个难点,学生极易出错。

对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点。

找出
它们的方法是先作变量代换，设X=ωx+φ，再用方程思想由Ｘ取0， ,π,,2π来确定对应的
6π
316π
316π
316π
)6sin(6ππ-=−−−−→−x y 个单位右移)631sin(3π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变)631sin(22π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变316π
横坐标不变−−−→−−−−−→−个单位右移231π
x )631sin(2π-x )2(31sin 2π-=x 12π23π
ｘ值。

变式训练
１.（20０７山东威海一模统考,12）要得到函数ｙ=s ｉｎ(２x+)的图像,只需将函数y=s ｉnx 的图像( ）
A ．向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变
C 。

向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D 。

向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
答案：C
２。

(２00７山东菏泽一模统考，7）要得到函数y=２sin(3ｘ-)的图像,只需将函数ｙ=2sin3x 的图像( )
A 。

向左平移个单位
B 。

向右平移个单位
Ｃ.向左平移个单位 Ｄ.向右平移个单位
答案：D
2。

将ｙ=si ｎx 的图像怎样变换得到函数y=２ｓｉn(2x ＋）+1的图像?
活动:可以用两种图像变换得到。

但无论哪种变换都是针对字母x 而言的。

由ｙ＝sin2ｘ的图像向左
平移个单位长度得到的函数图像的解析式是ｙ=sin2(ｘ+）而不是ｙ=s ｉn(2x+),把y=sin
（x+）的图像的横坐标缩小到原来的,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+）,而不是y ＝sin ２
（x ＋).
解:方法一：①把y=si ｎx 的图像沿ｘ轴向左平移个单位长度,得ｙ=sin(x+)的图像；②将所得图
像的横坐标缩小到原来的,得y=s ｉn(2ｘ+
3π
3π
3π
3π
213π
215π
5π5π
15π15π
4π
8π8π8π
4π214π
4π
4π4π
214π
）的图像;③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍，得ｙ=2s ｉn （２x+)的图像；④最后把所得图
像沿ｙ轴向上平移1个单位长度得到y=２sin （２x+）＋１的图像。

方法二：①把y=si ｎx 的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx 的图像；②将所得图像的横坐
标缩小到原来的,得ｙ=2sin2x 的图像;③将所得图像沿x 轴向左平移个单位长度,得y=2sin ２(x+)的图像;④最后把图像沿y 轴向上平移１个单位长度得到y=2sin （2ｘ＋)+1的图像.
点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响。

变式训练
1．将y=ｓi ｎ2x 的图像怎样变换得到函数ｙ=cos （2x-)的图像？
解：y=sin2x=ｃos(—2x)＝co ｓ(2x-）。

在y=cos(2ｘ-)中以x-ａ代ｘ，有y ＝c ｏｓ[2（x —ａ)-］＝cos(２x-2a-)。

根据题意,有2x —
2a —＝2x-,得a=－。

所以将y=sin ２ｘ的图像向左平移个单位长度可得到函数y ＝c ｏｓ(2x-)的图像.
2。

如何由函数y ＝3ｓi ｎ（2x ＋)的图像得到函数ｙ=sinx 的图像?
解法一：y=3s ｉｎ（2ｘ＋）y=si ｎ(2ｘ+)y=ｓin （x+)
y=ｓinx.
解法二:y=３sin(2ｘ+)＝3sin ２（x+)y=3sin2ｘy=sin ２x y=sin ｘ．
3．(2０07山东高考，4)要得到函数ｙ=sin ｘ的图像,只需将函数y=ｃos （ｘ－)的图像( )
A 。

向右平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位 D.向左平移个单位
答案:A
知能训练
4π
4π
218π8π
4π
4π
2π2π
2π2π2π
2π4π8π
8π4π
3π
3π−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的313π−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的23π−−−→−3π
向右平移3π6π−−−→−6π向右平移−−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的31−−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的23π
6π3π
3π6π
课本本节练习1 １、2、３.
课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台。

2。

教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y ＝Ａsin(ωｘ+)的图像，并分别观察参数φ、ω、A 对函数图像变化的影响，同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想。

从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换。

作业 1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=si ｎｘ的图像画出函数y=-si ｎ(-２ｘ)的图像。

2。

要得到函数y=c ｏs(2ｘ－)的图像,只需将函数ｙ=sin2x 的图像通过怎样的变换得到？
3.指出函数y ＝co ｓ2ｘ+1与余弦曲线y=cosx 的关系。

解答:1。

∵ｙ=—sin(—2x)=si ｎ2x,作图过程:
ｙ=si ｎｘ
2。

∵y ＝cos(2x －）=ｓｉn[＋(2x —)］=sin(2x+)＝sin ２(x+),
∴将曲线y ＝sin2x 向左平移个单位长度即可.
3。

∵y ＝c ｏs ２x ＋1,
∴将余弦曲线y ＝cosx 上各点的横坐标缩短到原来的,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1。

设计感想
1．本节图像较多，学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A 对函数及图像变化的影响。

因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A 对函y ＝A ｓin （ωx+φ)图像整体变化的影响。

这符合新课标精神,符合教育课改新理念。

现代教育求学生去主动学习,合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者。

２。

对于函数y=s ｉnx 的图像与函数y=Asi ｎ（ωx+φ）的图像间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换"在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.
3。

学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量。

如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.
第２课时
导入新课
3π
21
4π
2121
.2sin 212sin 2121x y x y =−−−−−−→−=−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标变为原来的纵坐标不变倍横坐标变为原来的4π2π4π4π8π
8π
21
思路1.(直接导入）上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=As ｉn(ωx+φ）的图像的影响及“五点法”作图．现在我们进一步熟悉掌握函数ｙ=Asi ｎ（ωx ＋φ）(其中A>0,ω>0,φ≠０)的图像变换及其物理背景。

由此展开新课.
思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法"画出函数y=4ｓin(x-)的简图，学生动手画图,教师适时地点拨、纠正，并让学生回答有关的问题。

在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课。

推进新课 新知探究 提出问题
①在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y ＝Asin(ωx+φ）的图像时，列表中最关键的步骤是什么？
②(1)把函数ｙ＝sin2ｘ的图像向_________平移＿__＿__＿_＿_个单位长度得到函数y=sin(２ｘ-）的图像;（2）把函数ｙ＝s ｉn3x 的图像向_＿_＿＿____平移_____＿____个单位长度得到函数y=
ｓi ｎ(３ｘ＋）的图像；（3)如何由函数y=sin ｘ的图像通过变换得到函数y=sin （2ｘ+)的图像？
③将函数y=f(x ）的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度,所得到的曲线
是y=sinx 的图像，试求函数ｙ＝f(x ）的解析式。

对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误。

(多媒体出示各自 解法）
甲生:所给问题即是将y=sinx 的图像先向右平移个单位长度，得到y=si ｎ(x —)的图
像，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=s ｉn （2x-)，即y ＝-cos2x 的图
像,∴f(x)=-c ｏs2ｘ.
乙生：设f （ｘ)=Ａsin （ωｘ＋φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的２倍，得到
y=Asi ｎ(ｘ+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度，得到y=Ａs ｉｎ（x+＋φ)=ｓin ｘ，∴A=,=1，+φ＝0,
即Ａ=，ω＝２，φ=—。

∴ｆ（ｘ)=sin(２x —)=－ｃos2x 。

丙生：设f （ｘ）=Asin(ωｘ+φ），将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的２倍，得到y ＝Asi ｎ(ｘ+φ)的图像，再将所得的图像向左平移个单位长度，得到y ＝Asin ［(x+)＋
φ]=Asin(ｓｉnx, ﻬ∴A=,=１,+φ=0．
解得A ＝,ω=２，φ=—,
213π
3π
6π3π
2π
21
212π21
2π21212π21
21
2ω2π2ω
2π2
1212ω
2π212π212π21
2ω2ω2π
21)42
(=
++ϕωπωx 212ω4ωπ
21
2π
∴f(x ）=si ｎ(2x-）=—cos2x 。

活动：问题①，复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境。

让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asi ｎ(ωx ＋φ）图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障。

问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力。

问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延。

甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上
变换倒过来,由y ＝ｓinx 变换到y=f （x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=A ｓi ｎ（ωｘ+φ）,然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰，但值得注意的
是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=A ｓi ｎ(x+φ）的图像向左平移个单位长度时，
把y=Ａs ｉｎ(ｘ＋φ)函数中的自变量ｘ变成ｘ+,应该变换成y=Ａｓi ｎ［(x+)＋φ］，而不
是变换成y ＝Asi ｎ(ｘ++φ），虽然结果一样,但这是巧合，丙同学的解答是正确的．
三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适（即待定系数法）.平移变换是对自变量x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.
讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体，令其分别为0,,π,,２π。

②（1)右,;(2)左,;（3)先ｙ＝sinx 的图像左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变）． ③略。

提出问题
①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？
②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系. 活动:
212π21
21
2ω
2ω2π2ω
2π2ω
2π2π23π
6π18π3π
21
教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系，了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin （ωx+φ），x∈[0,+∞）,其中A>0，ω＞０．物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物
体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是Ｔ=,
这是做简谐运动的物体往复运动一次所需
要的时间；这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位； x=0时的相位φ称为初相.
讨论结果：①y=As ｉn(ωx+φ),x∈[0,＋∞),其中Ａ＞0，ω>０. ②略. 应用示例
例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题： （1）这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？
(2）从Ｏ点算起，到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (３)写出这个简谐运动的函数表达式.
图1
活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y=Asi ｎ(ωｘ+φ)中的参数φ、ω、A 在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么。

关键是搞清φ、ω、A 等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题。

完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数ｙ=A ｓi ｎ（ωx ＋φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充．
解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 ｃm;周期为０。

８ s;频率为。

(2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动；如果从Ａ点算起,则到曲线上的Ｅ点,表示完成了一次往复运动。

（3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝Ａsin(ωｘ+φ)，x∈［0,＋∞),
那么Ａ＝2；由=0。

8,得ω=;由图像知初相φ=0.
于是所求函数表达式是y=２ｓin ｘ，x∈［０，+∞）.
点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式，要抓住关键点。

应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练
ﻬ 函数y ＝6s ｉｎ(x-)的振幅是＿＿_＿__＿_＿_,周期是____＿_____,频率是_＿____＿___,初相是________＿_，图像最高点的坐标是__＿_______．
解:６ ８π — （8kπ＋,６）(ｋ∈Z ）
例2 若函数y=As ｉn （ωx+φ）+B(其中A ＞0,ω>０）在其一个周期内的图像上有一个最高点（,3)
ωπ
2T l πω
245
ωπ225π
25π
416π
π816π38π
12π
和一个最低点(，—５）,求这个函数的解析式.
活动：让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin （ωｘ+φ)＋B （其中A>0，ω＞0），这是学生未遇到过的。

教师应引导学生思考它与y=Ａsi ｎ(ωx+φ)的图像的关系,它只是把ｙ＝Asin(ωx ＋φ）（其中A ＞0，ω＞0)的图像向上(B ＞0）或向下（Ｂ＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的ｘ的值之差的绝对值只是半个周期。

这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像，不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明｜φ|＜π，如不注明,就取离y 轴最近的一个即可． 解:由已知条件,知y max =3，ｙmin =-５，
则Ａ=(ｙmax －y ｍi ｎ)=４，B=（y m ａx +ｙmin )=－１,=-=。

∴T ＝π,得ω＝2.
故有ｙ=4s ｉn(２x+φ)-1.
由于点(,3)在函数的图像上,
故有3=4ｓin(２×+φ)-1,
即s ｉn(＋φ)=1。

一般要求|φ｜<,故取+φ=．
∴φ=。

故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1。

点拨:这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图像可直接求得A 、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定。

求初相也是这节课的一个难点。

变式训练
例1 已知函数y=Asin(ωｘ+φ)(其中A>0,ω＞0)一个周期的图像如图2所示,求函数的解析式。

127π
21212T 127π12π2π12π
12π
6π
12π6π
2π3π3π。