鹤岗一中2019-2020学年高二下期中考试数学测试卷(理)-附详细答案

鹤岗一中2018～2019学年度下学期期中检测考试
高二数学（理科）试题
一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。

每题只有一个正确答案） 1. 在复平面内，复数i
Z +=
21
对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．函数53)(23+-=x x x f 的单调减区间是（ ）
A ．（0，3）
B ．（0，2）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
3、设随机变量ξ～⎪⎭
⎫
⎝⎛21,6B ，则=ξD （ ）
A.6
B.3
C.
2
3
D.2 4、设函数[](]⎪⎩⎪
⎨⎧∈∈=e x x
x x x f ,1,11,0,)(2（e 为自然对数的底数），则=⎰e dx x f 0)(（ ）
A.
21
B.32
C. 1
D. 3
4 5、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程a bx y
+=ˆ,中的4.9=b ,椐此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A.9.1万元
B. 65.5万元
C. 67.7万元
D. 72.0万元 6、已知随机变量ξ～),1(2σN ，()84.04=≤ξP ，则()=-≤2ξP （ ） A. 0.16 B. 0.32 C.0.68 D. 0.84
7、过曲线33x x y -=上一点)2,2(-A 的切线方程为（ ） A. 2-=y B. 0169=++y x
C. 0169=-+y x
D. 20169-==-+y y x 或
8、两封信随机投入C B A ,,三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的数学期望=
ξE （ ） A.
31 B.32 C.21 D. 4
3 9、若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ） A. 9 B.10 C.9- D.10-
10、对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
5323+=，119733++=，1917151343+++=，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有
一个是61，则m 的值是（ ）
A.6
B.7
C. 8
D. 9
11、甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一，乙不值
周六，则可排出不同的值班表数为（ ）
A ．6
B ．12
C ． 42
D ．90
12．定义在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上的函数)(x f ，其导函数是()x f '，且恒有()()x x f x f tan ⋅'<成
立，则（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛336ππf f
B ．⎪⎭⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛336ππf f C ．
⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛363ππf f D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛363ππf f
二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）
13．如果复数i a a a Z )1()23(2-++-=为纯虚数，则实数a 的值为_____________。

14．函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足)2(23)(2f x x x f '+=，则
=')5(f ___________。

15．计算抛物线2
2
x y =与直线4+=x y 所围图形面积=s _________ 。

16．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下面说法： ①相关关系r 满足1r ≤，而且r 越接近1，变量间的相关程度越大；r 越接近0，变量间的相关程度越小；
②可以用2R 来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样带状区域越窄，回归方程的预报精度越高； ④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值； ⑤随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0=e E 。

其中正确的结论为_____________（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。

解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤。

） 17．（10分）求下列函数的导数：
（1）、⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=3211x x x x y ； （2）、)3
2(s i n
2
π
+
=x y .
18．（12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85
分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班 10 乙班 30 合计
105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7
2， （1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过5﹪的情况下，认为“成
绩与班级有关系”。

附：临界值表
)
(02k k P ≥
0.10 0.05 0.025 0
k
2.706
3.841
5.024
参考公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.
(1)a x b y
ˆˆˆ+=； (2)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出
的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
附：回归方程a x b y
ˆˆˆ+=其中2
1
2
1
ˆx n x
y x n y
x b n
i i
i
n
i i --=∑∑==，x b y a
ˆˆ-=
20．在一次测量中，误差在±1﹪之内称为合格测量。

某学生在一次测量中合格
与否是等可能的。

现对该学生的测量结果进行考核，共进行5次测量，记分规则如下表：
合格次数 0～2 3 4 5 记分
3
6
10
（1）求该学生得0分的概率；
（2）记ξ为该学生所得的分数，求ξ的分布列和数学期望。

21．（12分）已知(20),(20)A B -，
，为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，且APB ∆
面积的最大值为 （1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ,当直线AP 绕点A 转动时，试判
断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明。

22．（12分）
已知函数()R a x ax x x f ∈+-=,2
1
ln 2。

（1）、求函数)(x f 的单调区间；
（2）、是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极值大于0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

鹤岗一中2018～2019学年度下学期期中考试
高二数学（理科）试题答案
一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。

每题只有一个正确答案）
二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.） 13、2 14、6 15、18 16、①③④⑤
三、解答题：(本大题共6个小题，满分70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17、（10分） （1）3
223x x y -=' （2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+='324sin 2πx y 18、（12分） (1)
(2) 1.6=k 认为“成绩与班级有关系”
19、（12分）
(1)由对照数据，计算得：∑4
i ＝1x 2i ＝86，
x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54
＝3.5(吨)．
已知∑4
i ＝1x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
＝∑4
i ＝1x i y i －4x ·y ∑4i ＝1
x 2i －4x
2
＝66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.52＝0.7，
＝y －x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x ＋0.35.
(2)由(1)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤). 20、（12分）（1）
2
1
（2）
16
=
ξE 21、（12分） （1）2211,432
x y e +== （2）相切
证明如下：设AP ：()()20y k x k =+≠，则D ()2,4k ，BD 中点E ()2,2k ，设P ()00,x y
联立后可得20022
6812,3443k k x y k k -==++，以下分11
,22
k k =±≠±讨论即可。

22、（12分）
（1）当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++a a 2411,0，单调减区间为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞++,2411a a 当0≤a 时，函数)(x f 的单调增区间为()+∞,0，无单调减区间。

（2）由（1）知0>a ，22
2222
1ln )(x ax x x f +-
=极大值，其中a
a
x 24112++=
且0122
2=--x ax ，所以()2
1
ln 222-+
=x x x f 令()2
1
ln -+
=x x x h ，易证()x h 在()+∞,0上为增函数， 又因为()01=h ，所以12>x ，则0122
2=--x ax 在12>x 时有解。

解得20<<a。