第一章----波动方程

x
x
T[u( x x, t) u( x, t)]
x
x
从而在时段该合力产生的冲量为
tt u( x x, t ) u( x, t )
t T[ x

]dt
x
由动量守恒定律可得
tt u( x x, t ) u( x, t )
T[
t
x
x ]dt =
2、第二边界条件 （Neumann 边界条件）
u
u
T x x0 g1(t ), T x xl g2 (t ), t 0, (1.13)
特别地：g1(t) g2(t) 0 时，称弦具有自由端。
3、第三边界条件 (Dirichlet-Neumann 混合边界条件 )
T
X 为期权的行使价格，f (S,t) 为基于 S 的期权价格。
3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、 海啸模型）
(Hu) (Hv) 0
t
x
x
1
u t
u u x
v u y

fu
g

x
g
u(u 2 v2 ) 2 c2H
1
v u v v v fu g g v(u 2 v2 ) 2
下面使用动量守恒定律推到一维弦振动方程：
在弦上任取小段 [x, x x]，考察弦段在[t, t t] 时段
内冲量和动量的变化情况
动量守恒：
| | | 动量
动量
t=t+t
t=t

所有外力产 生的冲量
[t,
t+t]
动量微元为
冲量微元为
v(x, t)dx
F ( x, t )dt
情形一：弦不受外力作用时 一方面，计算动量守恒公式左边动量的变化量：
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S

1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
一般地， n 维波动方程可写为
2u t 2
a2u
f ( x, t ), x Rn , t
0,
其中
n 2
i1 xi2
表示 n
维拉普拉斯算子
(1.8)
注 许多物理现象都可以用弦振动方程来描述！
例如：杆的纵振动模型
问题：均匀细杆在外力作用下沿杆长方向做微小振动
解答：取杆长方向为x 轴，u(x,t) 表示 x 处的杆截面在 t 时刻
微分方程在自然现象、军事科技和国 民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：
1、导弹动力学弹道方程组
m dv P cos Q mg sin
dt
m d P sin Y mg cos
dt
dx v cos
dt
dy v sin
dt
dm dt

mc
注意：在弹道设计中，
u x
x0
1u(0,
t)

g1(t ),


T
u x
xl
2u(l,
t)

g2 (t ),
t 0, t 0,
(1.14)
特别地：g1(t) g2(t) 0 时，称弦两端固定在弹性支承。
定解问题：由偏微分方程和定解条件联立 所得到的问题。
tt t
x x
[T
x
2u( x, t) x2


2u( x, t) t 2

F(x, t)]dxdt

0
这样外力作用下的弦振动方程为
2u( x, t 2
t
)

a2
2u( x, t )
x2
f ( x, t ),
(1.3)
其中
f

F

表示单位质量在 x 点处时刻 t 所受的外力。
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程
u( x, 0) ( x),


u t
(
x,
0)


(
x),
边界条件：
0 x l, 0 x l,
(1.11)
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u(0, t) g1(t), u(l, t) g2(t), t 0, (1.12)
特别地：g1(t) g2(t) 0 时，称弦两端固定。
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的切线和横轴
的夹角） 很小。即假定
sin ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
第一章 波动方程
第一节 方程的导出和定解条件
一、方程的导出（以弦振动为例）：
模型：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长
为 l ，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微
小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。
问题： 研究弦上各点的运动规律。
分析：（理想化假设）
（1）弦是均匀的：线密度 是常数；
细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。
注：类似地，可以推导二维波动方程（如薄膜振动）
和三维波动方程（如电磁波、声波的传播等）。它们 的形式为：
2u

a2(2u

2u )
f (x,
y, t )
t 2
x2 y2
(1.6)
2u
a2(2u

2u
2u )
f (x, y, z,t)
(1.7)
t 2
x2 y2 z2
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2

a2
2u x2

0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2

f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。


注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
沿杆长方向的位移
胡克（
Hook）定律：
N S

E
其中， N 为端面受力，S 为端面面积，N 为
S
应力， E 为杨氏模量， lim u u 为相对伸
长率
x x x
结论：u(x,t) 满足方程（1.5），其中
a2

E

（动量守恒定 律的应用）
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
x
t
t
另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段 [x, x x]
所受外力在时段 [t,t t] 产生的冲量
对于弦段 [x, x x] 张力在 x 轴的垂直方向的合力为
T sin2 T sin1 T tan2 T tan1
T u( x x, t) T u( x, t)
t t t
x x x

2u( x, t) t 2
dxdt
由 x, t
的任意性知

2u( x, t) t 2
T
2u( x, t) x2

0
或
2u( x, t ) a2 2u( x, t ) 0,
t 2
x 2
其中 a2 T 0

(1.2)
这就是不受外力作用下的弦振动所满足的方程！
在 t 时刻弦段 [x, x x] 的动量为
xx u( x, t ) dx
x
t
在 t t 时刻弦段 [x, x x] 的动量为
xx u( x, t t ) dx
x
t
从时刻 t 到时刻 t t 弦段[x, x x] 的动量增加量为
xx [u( x, t t ) u( x, t )]dx
情形二：存在外力作用时
设作用在点 x 处的外力线密度为 F(x, t) ，其方
向垂直于 x 轴，则小弦段[x, x x] 所受的外力为
x x
x Fபைடு நூலகம் x, t)dx
t t x x
其在时段 [t, t t] 产生的冲量为 t x F( x, t)dxdt
于是方程（1.1）的左端应该增加这一项得到
姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年 １２月
引言
一、什么是数学物理方程？
从物理、力学等实际问题中产生的函数方程， 主要是偏微分方程或积分方程。
偏微分方程：
含有两个或两个以上自变量和未知函数 以及未知函数的偏导数的关系式。
偏微分方程的阶：
方程中所含偏导数的最高阶阶数。
线性偏微分方程：
如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶 偏导数都是线性的。
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不 抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；
拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。 （3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作 微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位 置垂直（位u 移沿u轴方向）。
建立坐 标系：
以弦的平衡位置为 x轴，在弦作振动的平面
数学物理方程
主讲教师： 王 术 北京工业大学应用数理学院
wangshu@ Tel:６７３９２２１２（Ｏ）
教材：《数学物理方程》（第二版）
谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基 编著， 北京：高等教育出版社， 2002年7月
参考书：《数学物理方程》
陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版 社，2003年9月
xx [u( x, t t ) u( x, t )]dx
x
t
t
tt
xx 2u( x, t )
T
dxdt
x x
tt 2u( x, t) dtdx
t
x
x2
x
t
t 2
(1.1)
即
tt t
xx 2u( x, t) x T x2 dxdt
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零

T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
动量守恒定律：物体在某一时段内动量的增量等于作用 在该物体上所有外力在该时段内所产生冲量
非线性偏微分方程： 不是线性的偏微分方程。
两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy c u f , (0.1) 如果 f 0, 则称（0.1）为齐次方程；
否则为非齐次方程。
二、偏微分方程的解
三、偏微分方程的研究方法
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等