数学试题(理)

2016级高三模拟考试
理科数学
2019.03
本试卷共6页，满分150分。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为
A ．1
B
C ．1±
D ．2．己知集合{}{}
2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则 A ．(1，3)
B ．(]1,3
C ．[－1，2)
D ．(－1，2)
3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=
A ．5
-
B ．
5
C ．5
-
D ．
5
4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b >
B ．a
b
c c >
C ．c c
a b <
D ．
11
c c b a
--< 5．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为 A ．
7
2
B ．
5319
C ．2319
-
D ．12
-
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼
状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％
C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 7．设(),1,a b ∈+∞，则“a b >”是“log 1a b <”的
A ．充分且不必要条件
B ．必要且不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A 、B 、C 三个不同社区进行志愿服务活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 9．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点，且2AE AC =，则()2
AE AC +的最小值为
A.
23
2
B.12
C.
252
D.13
10．某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是 A.
323
B.
643
C.16
D.32
11．己知函数()()s i n ,2,2,2223s i n ,2,2,222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图象与直线
()()2y m x m =+>0恰有四个公共点()()()()11123344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，
其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=
A ．1-
B ．0
C ．1
D
．
22
+ 12．已知函数()()()12x
f x m x x e e =----(e 为自然对数底数)，若关于x 的不等式
()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为
A ．32
e e +
B ．22
e e +
C ．32
e e -
D ．22
e e -
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()()()3f x x a x =-+为偶函数，则()2f =___________． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为613246
55
,,,=24n S S a a a a a +=
+=且则__________． 15．某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布
()2100N σ，，已知()801000.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷
进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为__________．
16．已知抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点 A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -， 则实数t 的取值范围为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～2l 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．(12分)
在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若sin cos a B A =． (1)求角A ；
(2)若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．
18．(12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,90AD BC ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点且PM=3MC ，
1
2,1=22
PA PD BC AD CD ===
=，． (1)求证：平面PQB ⊥平面以PAD ； (2)求二面角M BQ C --的大小．
19．(12分)
某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元／瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15,25]，(25,35]，(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．
(1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；
(2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作
为代表，比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶)．
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，求X 和Y 的分布列和数学期望； ②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱? 注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本．
20.（12分）
己知点E ，F 分别是椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>：的上顶点和左焦点，若EF 与圆
224
3
x y +=
相切于点T ，且点T 是线段EF 靠近点E 的三等分点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与l 垂直的直线l 与圆2
2
8x y +=相交于A ，B 两点，求PAB ∆面积的取值范围．
21．(12分)
己知函数()()2
1ln ,1,2
u x x x v x mx x m R ==+-∈． (1)令2m =，求函数()()
()1
u x h x v x x =
-+的单调区间；
(2)令()()()f x u x v x =-，若函数()f x 恰有两个极值点12,x x ，且满足2
1
1x e x <≤(e 为 自然对数的底数)求12x x ⋅的最大值．
考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．(10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，在以O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心为2,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，半径为l 的圆. (1)求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；
(2)设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求MN 的取值范围． 23．(10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()()2
0f x x a x a a
=-++
>． (1)若不等式()2
4f x x x a
=-+≥的解集为{}1x x ≤，求实数a 的值；
(2)证明：()f x ≥
2016级高三模拟考试
理科数学答案 2019.03
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

DCDBD DCBCAA AA 1.【答案】D 解析： ， 即 2.【答案】C
解析： ， ，所以 .
3.【答案】D
解析：因为直线与直线垂直，所以， .
又为直线倾斜角，解得 .
4.【答案】B
解析：,所以.
5.【答案】D
解析：由，，，，随着的增大而减小当时，取得最大值 .
6.【答案】D
解析：由图易知互联网行业从业人员后占，A正确；仅后从事技术岗位的人数占总人数比为超过,B正确；后从事运营岗位的人数占总人数比为，C正确；后从事技术岗位的人数占总人数比为，故D不一定正确.
7.【答案】C.
解析：若，则；若，因为则，故“”是“”的充分必要条件.
8.【答案】B
解析：若乙去社区，则有种安排方法；若乙去社区，如果社区有人，则有种安排方法；如果社区有人，则有种安排方法，故共有种不同的安排方法.
9.【答案】C
解析：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，则由，得.所以
= ，所以当时，的最小值为.
10.【答案】A
解析：该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体，其体积是正方体体积的，等于.
11.【答案】A
解析：直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，因为，故= ，所以.
12.【答案】A
解析：，
∴，
设，
∴，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，
当时，，当，，
函数图像恒过点，
分别画出与的图象，如图所示，
若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上
方只有一个正整数值，
∴且，∴，
故实数的最大值为 .
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 14. 15. 16.
13.【答案】
解析:法一：因为，所以，可得，所以，.
法二：由为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以，，所以 .
14.【答案】
解析:由题意知,所以.
15.【答案】
解析: ，
所以应从120分以上的试卷中抽取份．
16.【答案】
解析:由题得直线的方程为即,设，
联立得
，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为 .
所以该圆的方程为 .
所以点恒在圆外，圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，显然当与圆相切时，设切点为，此时应满足，所以，整理得.解之得.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（12分）
解：（1）由正弦定理得：，…………………………3分
，
是的内角，
. ………………………………………6分
（2）的面积为,
,
由（1）知，
，……………………9分
由余弦定理得：，
，
得：，
的周长为. ………………12分
18.（12分）
解：（1），，为的中点，
四边形为平行四边形，．……………………3分
, 即．
又∵平面平面，且平面平面，
平面．
平面，
∴平面平面．………………………………………6分
（2），为的中点，
．
∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面的一个法向量为，
，………………………………9分
设，则，，
，
，
，………………………………………10分
在平面中，，，
设平面的法向量为
则,即
∴平面的一个法向量为,
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为. ……………………………12分19. （12分）
解：（1）根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为. ............2分
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.
所以. ............5分
(2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有四种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以(元). .............8分
若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有两种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为
所以(元). ………………………………………10分
②根据①中的计算结果，，
所以早餐店应该批发一大箱. …………………………………12分20.（12分）
解：(1) ，
，，
椭圆的标准方程；…………………………………5分
（2）由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，即，
解得，
即点的坐标为，
因为点在第二象限，所以，
所以，
所以点的坐标为，………………………………………8分
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当，即时，有最大值，
所以，即面积的取值范围为.……12分
21.（12分）
解: （1）由题意知，
，则．
由，解得，故在上单调递增；
由，解得，故在上单调递减；
所以，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为 . …………………………4分（2）
由题意知，
．
令，
得
由函数恰有两个极值点，
令，则，
则由………………………6分
解得………………………8分
故，．
令，则．…………………………………10分
令，则．
所以在区间上单调递增，即．
所以，即在区间上单调递增，即
所以，即 .
所以的最大值为．…………………………………12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，……2分
∵曲线是圆心为，半径为1的圆
曲线的圆心的直角坐标为（0，2），
∴的直角坐标方程为；…………5分（2）设，则
，…………8分
，由二次函数可知，
由题意结合图象可得的最小值为，最大值为，
∴的取值范围为. …………10分
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）由，
可得，
当时，，
解得：，这与矛盾，故不成立，……………2分当时，，解得：，
又不等式的解集是，故，解得：．……………6分（2）证明：……………8分
. ……………10分。