大学物理 第三章 机械能 与守恒

2
2
整理得
k ( y1 y2 ) 2m1 g
ky1 m1 g m1 g＋ky2
由图(b)得
(1)
F ky1 m1 g
(2)
由图(c)可知，欲使m2跳离地面，必须满足
ky2 m2 g
解得
(3)
F m1 g＋ky2 m1 g＋m2 g
例2 在半径为 R 的光滑球面的顶点处， 一质点开始 滑动，取初速度接近于零，试问质点滑到顶点以下何处 时脱离球面？ 解： 脱离时 N = 0 ，在
C
A
k
B
3－8 能量守恒定律
亥姆霍兹 （1821—
1894），德国物理学家和生
理学家.于1847年发表了《论 力（现称能量）守恒》的演 讲，首先系统地以数学方式 对于一个孤立系统来说， 系统内各种形式的能量是 阐述了自然界各种运动形式
m1 v1 v10 m2 v20 v2
m v
1 2 1
(3)
(4)
v
2 10
m v
2
2 20
v
2 2

(4)/(3)得
v1 v10 v2 v20 v10－v20 v2－v1 (5)
碰撞前两球相互趋近的相对速度（v10-v20 ）等于碰撞后两球相 互分开的相对速度（v2-v1 ） 由（3）、（5）式可以解出
1 1 1 2 2 mv0 mv MV 2 2 2 2 mv0 mv MV
(2) (3)
第三过程：以钢球和地球为系统，机械能守恒。
1 mv 2 mgh 2
由(2)、(3)可得
(4)
2 m v0 v 2 ＝MV 2


(5) (6)
(6)/(5)，得 代入(2)
v0 v V mv0 mv M v0 v
mM v mM v 0
mv0 v MV
(7) (8)
(4)/(1)，得
解得
v2 h 2 l v0
2
mM h l m M
1 5 h 0.8 0.356m 1 5
2
例：子弹C、物体A、B的质量都是m，轻弹簧 劲度系数为k，子弹以v0击中A后停在A中。 求：（1）弹簧的最大压缩量； （2）B的最大速度以及此时A的速度。 解： （1）子弹与A的碰撞过程： mv0 2mv1 A B k C 1 v1 v0 2 弹簧压缩过程： v 达到最大压缩量时： A vB v2 2 1 2mv1 3mv2 v2 v1 v0 (mv0 3mv2 ) 3 3
m v0 y ln 5.76m b v
1．功的计算有哪两种方法?
1）积分方法：从定义式出发 2）功的图示法 纵坐标表示作用在物体上的力在位移方向上的分量横坐 标表示质点沿曲线运动的路程。曲线下的面积等于力所作 的功。 2.功和动能哪个是过程量，哪个是状态量?
功是能量变化的量度，是过程量，与过程有关， W F dr
m1v10 m2v20 v m1 m2
v1=v2=v
动能损失为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 2 2 E＝ m1v10 m2v 20 m1 m2 v 2 2 2 2 m1m1 2 v10 v20 2m1 m2
四、非完全弹性碰撞
恢复系数
牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v2-v1与碰撞前 两球的接近速度v10-v20之比为以定值，比值由两球材料得 性质决定。该比值称为恢复系数。
W＝ dW F dS
动能决定于状态，是状态量，与状态有关 E k mv 2
3.保守力、非保守力作功的数学表达式
1 2
W F dr 0
l
W F dr 0
l
§3.6 功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为： W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能Ek10, Ek20, …, Ekn0, 变成末动能，Ek1, Ek2, …, Ekn
N

R
此过程中机械能守恒 .取球顶 位置重力势能为零
mg
N 0
2 cos 3
v mg cos N m R 1 2 0 mv mgR(1 cos ) 2
2
2 cos 时，小球脱离大球. 3
1
§3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一、碰撞
1、概念
两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续一个极短
暂的时间——碰撞。
2、特点
•物体间的相互作用是突发性，持续 时间极短。
•作用力峰值极大，碰撞符合动量守
恒定律的适用条件。 •碰撞过程中物体会产生形变。
3、碰撞过程的分析
接触阶段： 两球对心接近运动 形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同——
动能转变为势能
形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分
机械能
E Ek E p
说明：
1．W外力是作用于系统的外力所作的功之和，而不是合外力所 作的功；W非保守内力是作用于系统的非保守内力所作的功之和； 2．当W外力=0时，W非保守内力=E-Eo W非保守内力>0时时，E-Eo>0， W非保守内力<0时时，E-Eo<0 当W非保守内力=0时，W外力=E-Eo W外力>0时，E-Eo>0 W外力<0时，E-Eo<0 3．外力和内力的划分是相对的。选取的系统不同，其内力和 外力就不同。 4．功是能量变化与转化的量度，是过程量，与过程有关；能 量是代表系统在一定状态下所具有的作功的本领，是状态量，与 状态有关。
不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。
•若m2<<m1，且v20=0，则v1≈v10，v2≈2v10，
即一个质量很大的球体，当它的与质量很小的球 体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质 量很小的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。
三、完全非弹性碰撞
碰撞后系统以相同的速度运动 动量守恒
m1v10 m2v20 m1 m2 v
1 1 1 2 2 2 ( 2m ) v1 ( 3m ) v2 kxmax 2 2 2 m xmax v0 6k
（2）弹簧再次恢复原长时，B的速度最大：
2mv1 2mvA mv B 1 1 1 2 2 2 (2m )v1 ( 2m )vA mv B 2 2 2
2 v v0 B 3 1 vA v0 6
1、碰撞前后速度的变化
两球m1，m2对心碰撞，碰撞 前速度分别为v10 、v20，碰撞 后速度变为v1、v2 动量守恒
m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2v 2 m1v10 m2v 20 2 2 2 2
由上面两式可得
(1)
(2)
大学物理学电子教案
机械能与机械能守恒定律
3-6 功能原理 机械能守恒定律 3-7 完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 3-8 能量守恒定律
习题 2-16 讲解
解：1）运动员自由落体入水，入水速度为
v0 2 gh
运动员入水后，由牛顿定律得
水 人， F P 0
所受阻力：
P+F+Ff=ma
F
1 f r 12 f
1
O
r21
21
2
r2
一对内力的功决定于两质点间的相对位移
二、质点系的功能原理
W＝W外力 W内＝W外＋W保守内 W非保守内 ＋ ＋ n n W保守内力 E pi E pi 0 i 0 i 0 n n n n W外力＋W非保守内力＝ Eki Eki 0 ＋ E pi E pi 0
W1 E k 1 E k 10 W2 E k 2 E k 20 Wn E n1 E n10
n n i ki
+
作用于质点系的 内力和外力所作 的功等于系统动 能增量——质点 系的动能定理
W E
i 1 i 1
E ki 0
i 1
n
注意
内力总是成对出现,并且大小相等,方向相反，使得系统内 所有内力的矢量和为零，但内力做功的总和不一定为零。 讨论内力作功不为零。
v 2 v1 e v10 v 20
v1 v2
m1 em2 v10 (1 e )m2v20 m2 em1 v20 (1 e )m1v10
m1 m2 m1 m2
完全非弹性碰撞： 完全弹性碰撞： 非完全弹性碰撞：
0<e<1
e=1， v2-v1 = v10-v20 e=0，v2=v1
m
M
dA f12 dr1 f 21 dr2 f 21 dr1 f 21 dr2 f 21 (dr2 dr1 ) f 21 d( r2 r1 ) 2相对于1 f 21 dr21 的元位移
开运动——势能转变为动能 分离阶段： 两球分离，各自以不同的速度运动
4、分类
ex in pi C 一般情况碰撞 F F
i 1 完全弹性碰撞 系统内动量和机械能均守恒
2 非弹性碰撞 系统内动量守恒，机械能不守恒 3 完全非弹性碰撞 系统内动量守恒，机械能不守恒
二、完全弹性碰撞
三、机械能守恒定律
如果W外＝0， W非保内＝0，则E＝ E0＝常量
E E ＝ E
i 0
n
n
n
n
ki
i 0
pi
i 0
n
ki 0
E pi 0 机械能守恒定律：
i 0
n i 0
n
E － E
i 0 ki i 0
n
ki 0
＝ － E pi－ E pi 0 ) (
F F f
P
Ff bv
2
思考
a=dv/dt=v(dv/dy)
dv Fr m bv 2 入水后 dt
dy vdt
dv b dy v m
dv b y v v m 0 dy
v
0
m v0 y ln b v
2）将已知条件代入上式
F F f
P
y
例1、如图所示用一弹簧把两块质量分别为m1和m2的板连接起
来。问在m1上需要加多大的压力，使力停止作用后，恰能使m1 在跳起时m2稍被提起。弹簧的质量忽略不计。
解：取弹簧的原长处O为
重力势能和弹性势能的零 点，并以此点为坐标轴的 原点，如图(a)。当在弹 簧上加上m1和外力F后， 弹簧被压缩到y1处，如图 (b)；当外力F撤去后，弹 簧被推到y2处，如图(c)。 在此过程中，只有重力和 弹性力作功，故系统的机 械能守恒，设弹簧的劲度 1 2 1 2 系数为k，则有 ky1 m1 gy1 ky2 m1 gy 2
v1 v2
m1 m2 v10 2m2v20 m2 m1 v20 2m1v10
m1 m2 m1 m2
2、讨论
•若m1=m2，则v1=v20，v2=v10，两球碰撞时交换速度。 •若v20=0，m1<<m2，则v1≈ - v1，v2=0，m1反弹，
即质量很大且原来静止的物体，在碰撞后仍保持
两球分离各自以不同的速度运动ex一般情况碰撞完全弹性碰撞系统内动量和机械能均守恒非弹性碰撞系统内动量守恒机械能不守恒完全非弹性碰撞系统内动量守恒机械能不守恒4分类二完全弹性碰撞二完全弹性碰撞1碰撞前后速度的变化对心碰撞碰撞前速度分别为v1020碰撞后速度变为v201020碰撞前两球相互趋近的相对速度v1020等于碰撞后两球相互分开的相对速度v10两球碰撞时交换速度

E E E
i 0 i 0 i 0 n n n i 0 ki i 0 pi i 0
i 0

ki 0
E pi 0
i 0
n

系统的动能与 势能之和为系统的
W外力＋W非保守内力＝E－E0
质点系的功能原理 质点系的机械能的增量等于外力和非 保守内力对系统所作的功之和。
例题：如图所示，质量为1kg的钢球，
系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳子的 另一端固定。把绳子拉至水平位置后将 球由静止释放，球在最低点与质量为 5kg的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后 钢球升高的高度。
解：第一过程：以钢球和地球为系统，机械能守恒。 1 2 mv0 mgl (1) 2 第二过程：以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒。
i 0
Ek E p
当作用在质点系的外力 和非保守内力都不作功 时，质点系的机械能是 守恒的。
在满足机械能守恒定律的条件下，质点系的动能和势能是相互 转换的，且转换的量值是相等的。 应用机械能守恒定律要注意的问题： 1)选择好系统，分清内力与外力。 2)分清系统的内力中的保守力和非保守力，判断机械能守恒 定律的条件是否满足。 3)选择合适的势能零点。