高二数学下学期第四次月考试卷文 试题

卜人入州八九几市潮王学校高中08-09高二
下学期第四次月考
数学试题〔文〕
〔总分值是：150分时间是：120分钟〕
一．选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〔12560⨯=分〕 1．空间四边形ABCD 中，,,,AB
a BD
b AC
c ===那么CD =〔〕
A ．a b c --
B ．()a b c -
-
C ．()b a c -
-
D ．()b c a -
-
2．过二面角βα
--l 内一点P ，作PA α⊥，垂足为A ，作PB β⊥，垂足为B ，假设PA =5，PB =8，AB =7，
那么二面角βα--l 的度数是〔〕
A ．
30
B ．
60
C ．
120
D ．
150
3．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中2位同学要么都请，要么都不请，一共有〔〕种邀
请方法．
A ．49
B ．98
C ．196
D ．392
4．正四面体
ABCD 的棱长是1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，那么=⋅BA EF 〔〕
A ．
41
B ．4
1-
C ．
4
3 D ．4
3-
5．设地球的半径为R ，假设甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，那么甲、乙两地
的球面间隔为〔〕
A
B ．
6
R π
C ．
56
R π D ．
23
R π
6．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =AD =1，∠A 1AD =∠A 1AB =60，∠BAD =90． 那么直线A 1D 1到平面ABCD 的间隔为〔〕
A ．1
B
C
D 7．化学实验会考时，5个形状一样的瓶子分别装有5种不同的化学药品，每个瓶子的瓶身和瓶盖上都有对应
的编号，但实验完毕以后，某同学仅有两个瓶子正确地对应盖好．那么出现这种错盖情况的可能有〔〕种．
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
8．在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°角，那么此直线与二面角的另一个面所
成的角为〔〕
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9．,m n 为两条互不垂直的异面直线，,αβ为两个平面，,m n αβ⊂⊂，以下四种情况中，一定不可能
出现的是〔〕 A ．//α
β
B ．αβ
⊥
C ．m β⊥
D ．//n α
10．假设11
32
3n
x x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
的展开式中，各二项式系数之和为16，那么其展开式中2
x 项的系数为〔〕
A ．
12
B ．1
C ．２
D ．３
11．过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 1在空间作直线l 与AC 和BC 1所成的角都等于60，那么这样的直线l 可以作〔〕条．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．将“2021端午节〞所有数字〔注：两个0〕与汉字重排，在所有全排列中，汉字“端．午．节〞三字彼
此相邻的全排列个数是〔〕
A ．320
B ．360
C ．720
D ．1440
二．填空题：把答案填在题中横线上〔4416⨯=分〕.
13．边长为１的正方形ABCD ，沿对角线BD 将中△BDC 折起得到三棱锥C —ABD ，且三棱锥C —ABD 那么直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为________．
14．5名同学已经站成了前排2人，后排3人这样两排照相，但摄影师要把前排2人调整插入到后排3人中变
成一排，后排同学的相对顺序不变，那么不同的调整方法有___________种． 15．假设()26
220
20n n C C n N ++=∈，()20122n
n n x a a x a x a x -=+++
+，
那么a 0+a 1+a 2+…+a n =__________．
16．P 为不等边△ABC 所在平面外一点，O 是P 在△ABC 内的射影，且O 在△ABC 内部。

有以下条件： ⑴PA 、PB 、PC 两两垂直；⑵点P 到△ABC 三边的间隔相等； ⑶PA ⊥BC ，PB ⊥AC ；⑷PA 、PB 、PC 与平面ABC 所成的角相等； ⑸平面PBC 、PAB 、PAC 与平面ABC 所成的角相等；⑹PA =PB =PC ； ⑺∠P AB =∠PAC ，∠PBA =∠PBC ，∠PCB=∠PCA ．
假设从上述7个条件中任意取出一个作为条件，必能得出O 为△ABC 的内心的取法有____________种．
高中高2021级第四次月考数学答卷〔文〕
二．填空题：把答案填在题中横线上〔4416⨯=分〕.
13．____________14．_____________15．______________16．______________
三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．〔10分〕空间三点
()()()
2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---，设
,a AB b AC
==．假设
2ka b ka b +-与互相垂直，务实数k 的值．
18．〔15分注意：全部要算出数字来〕现有男生4人，女生3人． ⑴7人站成一排，女生都不相邻的排法有多少种？
⑵7人站成两排，女生站前排，男生站后排，有多少种排法？
⑶从这7名同学中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，有多少种不同的选法？ ⑷派这7名同学到三个参加环保宣传，每个既有男生又有女生，有多少种不同的安排方法？
⑸现有215份一样的宣传材料分发给7位同学去宣传，每位同学至少30份，有多少种不同的分发方式？ 19．〔10分〕如图,正三棱锥P ABC -
,4,PA AB =
=D 为BC 的中点，E 为AP 的中点．P 在底面
△ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OD 、OP 所在直线分别为Y 、Z 轴建立如下列图的空间直角坐标系
O —XYZ ．
⑴写出点A 、B 、D 、E 的坐标；
⑵用向量法求异面直线AD 与BE 所成的角．
20．〔15分注意：全部要算出数字来〕现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
⑴可以组成多少个无重复数字的三位数？
⑵组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
C
⑶可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
⑷选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有多少个？
⑸假设一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，那么称此正整数为“渐减数〞，那么由这
十个数字组成的所有“渐减数〞一共有多少个？
21．〔12分〕如图，直四棱柱
ABCD —1111A B C D 的侧棱1AA 的长是a
，底面
ABCD 是边长
2,AB a BC a ==的矩形，E 为11C D 的中点．
〔1〕求证：平面BCE ⊥平面BDE ；
〔2〕求二面角E —BD —C 的大小； 〔3〕求点C 到平面BDE 的间隔．
22．〔12分〕如图甲，PA 垂直于⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆周上异于A 、B 的一点． 〔1〕假设一个n 面体中有m 个面是直角三角形，那么称这个n 面体的直度为
m
n
．那么四面体P ABC -的直度为多少？说明理由；
〔2〕如图乙，假设四面体P ABC -中，1AP AB =
=,AE PB ⊥，
垂足为E,AF PC ⊥，垂足为F ．设EAF θ∠=,()f θ为AEF ∆面积的函数，求()f θ取最大值时二面角A PB C --的大小．
数学参考答案〔文科〕
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〔12560⨯=分〕
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
B
B
D
B
B
A
C
B
C
B
二．填空题：把答案填在题中横线上〔4416⨯=分〕.
D 1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
13．
4
14．2015．116．3 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17．〔10分〕空间三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A
B C ---，设,a AB b AC ==．假设
2ka b ka b +-与互相垂直，务实数k 的值．
解：
()()1,1,01,0,2a AB b AC ====-,，-------2分
2
2
2,5,1a b a b ∴==⋅=----------5分
由2ka b ka b +-与互相垂直得
()()20ka b ka b +⋅-=，即22
2
20k
a ka
b b -⋅-=．------8分
22100k k ∴+-=5
22
k k ∴==-
或．--------10分 18．〔5×3=15分注意：全部要算出数字来〕现有男生4人，女生3人． ⑴7人站成一排，女生都不相邻的排法有多少种？
⑵7人站成两排，女生站前排，男生站后排，有多少种排法？
⑶从这7名同学中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
447434C C -=或者13223143434334C C C C C C ++=
⑷派这7名同学到三个参加环保宣传，每个既有男生又有女生，有多少种不同的安排方法？
⑸现有215份一样的宣传材料分发给7位同学去宣传，每位同学至少30份，有多少种不同的分发方式？
19．〔10分〕如图,正三棱锥P ABC -,4,PA AB =
=D 为BC 的中点，E 为AP 的中点．P 在底面
△ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OD 、OP 所在直线分别为Y 、Z 轴建立如下列图的空间直角坐标系O —XYZ ．
⑴写出点A 、B 、D 、E 的坐标；
⑵用向量法求异面直线AD 与BE 所成的角．
解：⑴易知O 为正三角形ABC 的中心，并且2AO OD =，AD ⊥BC ，BC//OX ．
故3,2,1,AD AO OD OP ====
∴
(
))(
)(0,2,0,,0,1,0,0,A B
D E --------４分
⑵∵
(
)(0,3,0,3,AD BE ==--，------6分
∴cos ,3AD BE AD BE AD BE
⋅-<
>
=
=
⨯------8分
故异面直线AD 与BE 所成的角为arc ．------10分
20．〔5×3=15分注意：全部要算出数字来〕现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9一共十个数字． ⑴可以组成多少个无重复数字的三位数？
⑵组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？ ⑶可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
311294882296A A A A +=〔分0占个位和0不占个位两种情况〕
⑷选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有多少个？
13134354541140A A C C A +=〔分选出的偶数是0和不是0两种情况〕
⑸假设一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，那么称此正整数为“渐减数〞，那么由这
十个数字组成的所有“渐减数〞一共有多少个？
C
21．〔12分〕如图，直四棱柱
ABCD —1111A B C D 的侧棱1AA 的长是a
，底面ABCD 是边长2,AB a BC a ==的矩形，E 为11C D 的中点．
⑴求证：平面BCE ⊥平面BDE ； ⑵求二面角E —BD —C 的大小； ⑶求点C 到平面BDE 的间隔．
⑴证明：∵直四棱柱
ABCD —1111A B C D 的侧棱1AA 的长是a ，底面ABCD 是边长2,AB a BC a
==的矩形，E 为11C D
的中点．∴DE CE ==，∴DE ⊥CE ．
又∵,,DB
EB ==∴DE ⊥EB ，∴DE ⊥平面CEB ，
又∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BCE ⊥平面BDE 。

-----------4分
⑵取DC 的中点F 〔如图〕，那么EF ⊥平面BCD ．作FH ⊥BD ，垂足为H ，连接EH ，易知FH 为EH 在平面BCD 内
的射影，由三垂线定理知EH ⊥BD ，故∠EHF 就是二面角E —BD —C 的一个平面角．
由题意得EF ＝a ，HF
， 在Rt △EFH
中，tan arctan EHF EHF ∠=∴∠=
故二面角E —BD —C
的大小为----------8分
⑶作CG ⊥EB ，垂足为G ．由⑴知平面BCE ⊥平面BDE ，那么CG ⊥平面BDE ，线段CG 之长即为点C 到平面
BDE 的间隔．
∵BC ⊥平面11D DCC ，∴BC ⊥CE ．在Rt △ECB 中，BC
a =
，CE =
，BE =．
D
1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
H
G
F E
D 1
C 1
B 1
A 1
B
D
C
A
∴26
33a a CG a a
⋅=
=，故点C 到平面BDE 的间隔为63a ．-----------12分 22．〔12分〕如图甲，PA 垂直于⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，点C 为圆周上异于A 、B 的一点． 〔1〕假设一个n 面体中有m 个面是直角三角形，那么称这个n 面体的直度为
m
n
．那么四面体P ABC -的直度为多少？说明理由； 〔2〕如图乙，假设四面体P ABC -中，
1AP AB ==,
AE PB ⊥，垂足为E,AF PC ⊥，垂足为F ．
设EAF
θ∠=,()f θ为AEF ∆面积的函数，
求
()f θ取最大值时二面角A PB C --的大小．
解：〔1〕四面体P ABC -的直度为1．
理由如下：由AB 是⊙O 的直径，点C 为圆周上异于A 、B 的一点，故AC⊥BC，从而底面为Rt △。

又PA 垂直于⊙O 所在平面，有PA⊥AB，PA⊥AC，故△PAB、△PAC 都为Rt △。

又AC 为PC 在面ABC 内的射影，由三垂线定理知PC⊥BC，故△PCB 为Rt △。

综上知四面体P ABC -的四个面都为Rt △，所以四面体P ABC -的直度为1.-----------------4分
〔2〕∵AB 是⊙O 的直径，点C 为圆周上异于A 、B 的一点，∴BC⊥AC ∵PA⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC⊥PA，故BC⊥面PAC 。

∵AF ⊂平面PAC ，∴AF ⊥BC ，又AF ⊥PC ，∴AF ⊥面PBC ，∴AF ⊥PB ，AF ⊥FE ， 又AE ⊥PB ，∴PB ⊥面AEF ，故AEF ∠即为二面角
A P
B
C --的平面角．
在Rt △PAB 中，1AP AB ==,AE PB ⊥，那么AE=
2
．
由题意EAF θ∠=，在Rt AFE ∆中，cos ,22
AF EF θθ=
=．
∴
()111
sin cos sin 2248
AEF f S AF EF θθθθ==
⋅==△，当4
π
θ
=
时
()max 1
8
f θ=
． 此时4
AEF π
∠=
，故
()f θ取最大值时二面角A PB C --的大小为
4
π
．--------------------12分。