浙江省嘉兴一中高二数学上学期期中

嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试
高二数学 试题卷
满分[100]分 ，时间[120]分钟 2014年11月
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.3
2倍 2.如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A ．6
B ．8
C ．2＋3 2
D ．2＋2 3
3.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2
．则该几何体的俯视图可以是（ ）
4.下列命题中，正确的命题是（ ）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）四面体都是三棱锥
A.②
B.① ②
C.①②③
D.②③④ 5.对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中正确的是（ ） A.若,,m m n α⊥⊥则n α∥ B.若//,//m n αα，则//m n C.若,m n αα⊂∥,则//m n D.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积
为（ ）
A.6
3a
B.12
3a C.3
123a D.
3
12
2a 7．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是1A BD △的垂心 B ．AH 垂直平面11CB D
C D
1
1
A D 1D
1A
B
H
C
C ．AH 的延长线经过点1C
D ．直线AH 和1BB 所成角为45o
8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是棱AB 上的一条线段，且 EF ＝b ＜a ，若Q 是11A D 上的定点，P 在11C D 上滑动，则四面体PQEF 的体积（ ） A ．是变量且有最大值 B ．是变量且有最小值 C ．是变量无最大最小值 D ．是常量
9.已知异面直线a 、b 所成角为
3π，经过定点P 与a 、b 所成的角均为6
π
的平面有（ ） A ．1个 B. 2个 C.3个 D.无数
10.正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均为2，M 为1AA 中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是（ ）
A ．10 B.11 C.34+ D.24+ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.
12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .
13.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A′BD 的位置，使点A′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A′B 与CD 所成角的大小为________．
14.正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积为 .
15.定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 个.
16.在四面体ABCD 中，已知4AB =，4AC =，2AD =，且AB 、AC 、AD 两两所成角为060，则四面体ABCD 的体积为_________.
17.如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（见答题卷） 嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试
高二数学 答题卷 俯视图左视图
主视图12
23
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11． ． 12． ． 13． ． 14． ． 15． ． 16． ．
17． ． 三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 =2，D 是A 1B 1 中点．
（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；
（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论.
19.如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，32==AB AP ，4=AC ，D 为PC 中点，
E 为PB 上一点，且//BC 平面ADE ． （1）证明：E 为PB 的中点；
（2）若AD PB ⊥，求直线AC 与平面ADE 所成角的正弦值．
20.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点. （1）求证：AF //平面PCE ；
（2）若二面角P —CD —B 为45°，AD =2，CD =3，求四面体FPCE 的体积.
A
B
C
D
P
E
21. 在边长为a 的正方形ABCD 中，,M N 分别为DA BC 、上的点，且//MN AB ，连结AC 交MN 于点P ，现沿MN 将正方形ABCD 折成直二面角. （1）求证：无论MN 怎样平行移动（保持//MN AB ），APC ∠的大小不变并求出此定值； （2）当MN 在怎样的位置时，M 点到面ACD 的距离最大？
22.如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA =AB =AC . 若
PQ QBC ⊥平面，求二面角Q -PB -A 的余弦值.
N
P
Q
C
A
B
18.证明：（1）如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。

又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1 .∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。

（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则
AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，F为
1
BB中点。

∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF I C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。

19. （Ⅰ）证明：∵//
BC平面ADE，⊂
BC平面PBC，
平面I
PBC平面DE
ADE=，
∴DE
BC//．
∵D为PC中点，∴E为PB的中点．
（Ⅱ）∵AB
AP=，E为PB的中点，∴PB
AE⊥，又AD
PB⊥，∴⊥
PB平面ADE，
得PB
DE⊥，且平面⊥
PBC平面ADE．
由DE
BC//，得PB
BC⊥．A
B
C
D
P
E
H
20. 证：（1）取PC 中点M ，连ME ，MF ∵FM//CD ，FM=
CD 21，AE//CD ，AE=CD 2
1
∴AE//FN ，且AE=FM ，即四边形AFME 是平行四边形错误!未找到引用源。

∴AE//EM ，
∵AF ⊄平面PCE ⇒AF//平面PCE 解：（2）∵PA ⊥平面AC ，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD
∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角， ∴∠PDA=45°
∴△PAD 是等腰Rt ∠，而EM//AF 。

又∵AF ⊥CD
∴AF ⊥面PCD ，而EM//AF ∴EM ⊥面PCD 又EM ⊂面PEC ， ∴面PEC ⊥面PCD
在面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H 则FH 为点F 到面PCE 的距离 由已知PD=17,22
1
,22===PC PD PF ∵△PFH ∽△PCD ∴
PC
CD
PF FH =
∴1734
3=
FH ，1=-PEC F V
22. 解法一：设,AM x =则CN=a-x ，2,2()PA x PC a x =
=-，
2
2
2
2
2
2
2
2
222AC AD CD AM DM CD a x ax =+=++=+-
222cos 2PA PC AC APC PA PC +-∴∠=•22221
2222()
x a x ==-•-
APC ∴∠为定值120o
A
B
C
D
H N
M
P
过M 作MH DA ⊥于H ，则MH 的长度为点M 到面ACD 的距2
2
()
MH x a x =
+-Q
而2
2()()24x a x a x a x +-⎡⎤
-≤=⎢⎥⎣⎦
即当2a x =取最大值24a ，2
2
2
2()2()22
a a x a x x +-=-+
当2a x =，取最小值22a ，2a x ∴=时，max 24MH a = 22 ．方法一：
解：（I ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，
∵平面QBC ⊥平面ABC ∴QD ⊥平面ABC 又∵PA ⊥平面ABC
∴QD ∥PA 又∵QD ⊆平面QBC ∴PA ∥平面QBC （Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC
∴90PQB PQC ∠=∠=o
又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =
∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形 设2PA a = ∴2PQ AD a ==
，22PB a = ∴6BQ a =
过Q 作QR PB ⊥于点R ，
∴266222a a QR a a ⋅==，2222
222PQ a PR a PB a
===
取PB 中点M ，连结AM ，取PA 的中点N ，连结RN
∵1142PR PB PM ==，1
2
PN PA = ∴MA ∥RN
∵PA AB = ∴AM PB ⊥ ∴RN PB ⊥ ∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角
连结QN ，则222223QN QP PN a a a =+=
+= 又∵22
RN a =
∴22
2
2
2
2
313322cos 2362
222a a a QR RN QN QRN QR RN a a +-+-∠===-⋅⋅⋅
即二面角Q PB A --的余弦值为3
3
-
方法二:
（I ）同方法一
（Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC
∴90PQB PQC ∠=∠=o
，又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =
∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥ ∴四边形PADQ 是矩形
分别以,,AC AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz - 设2PA a =，则(,,2)Q a a a ，(0,2,0)B a ，(0,0,2)P a ，
设平面QPB 的法向量为(,,)n x y z =r
∵(,,0)PQ a a =u u u r ，(0,2,2)PB a a =-u u u r
∴0
(1,1,1)220
ax ay n ay az +=⎧⇒=--⎨-=⎩r
又∵平面PAB 的法向量为(1,0,0)m =u r
设二面角Q PB A --为θ，则
3
|cos ||cos ,|3||||
m n m n m n θ=<>==⋅u r r
u r r g u r r
又∵二面角Q PB A --是钝角 ∴3
cos 3
θ=-。