【单元练】安徽安庆市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，点A （-1，0），点B （-4，0），平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比
例函数y=k x （k<0）图像过点D 和BC 边的中点E ，若∠C=α，则k 的值（用含α的式子表示为）（ ）
A ．-4tanα
B ．-3tanα
C ．925-tanα
D ．289
-tanαD 解析：D
【分析】 过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，根据平行四边形的对边相等可得DA=CB ，然后求出DA=2EB ，再求出HA=2FB ，设FB=a ，表示出点E 、D 的坐标，然后根据EF 、DH 的关系列方程求出a 的值，再求出HA 、DH ，然后利用∠DAH 的正切值列式整理即可得解．
【详解】
解：如图，过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，
在平行四边形ABCD 中，DA=CB ，
∵E 为边BC 的中点，
∴DA=CB=2EB ，DH=2EF ，
∴AH=2FB ，
设FB=a ，∵点C 、D 都在反比例函数上，
∴D(−2a−1,k−2a−1)，
∵B(−4,0)，
∴点E(−a -4,
4k a --)， ∴2214k k a a =⨯----，解得a= 23
，
∴FB=a=23，EF=3241443
k k k a ==-----， ∵∠C=α，∴tan ∠EBF=tan ∠α=
EF FB ， 即tanα=928k -
，k=289-tanα． 故选D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点C 、D 的纵坐标列出方程是解题的关键．
2．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB
的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）
A ．7.6 米
B ．27.5 米
C ．30.5 米
D ．58.5 米C
解析：C
【分析】 延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，得到GF=BC=5，设DF=3k ，CF=4k ，解直角三角形得到结论．
【详解】
解：延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，
则四边形BGFC 是矩形
∴GF=BC=5，
∵山坡CD 的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k ，CF=4k ，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52.5°，
∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，
∴AB=AG-BG=30.5米，
答：铁塔AB 的高度约为30.5米．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目 测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒
A ．()10tan50x x =-︒
B ．()10cos50x x =-︒
C ．10tan50x x -=︒
D ．()10sin50x x =+︒A 解析：A
【分析】
过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
过D 作DH ⊥EF 于H ，
则四边形DCEH 是矩形，
∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，
∴FH ＝x−10，
∵∠FDH ＝α＝45°，
∴DH ＝FH ＝x−10，
∴CE ＝x−10，
∵tanβ＝tan50°＝
EF CE ＝-10
x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，
故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
4．下列说法中，正确的有（ ）个
①a 为锐角，则1sina cosa +>；
②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤1302
=
=︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4B 解析：B
【分析】
①根据三角函数的定义判断；
②函数值不是简单度数相加；
③至少已知一条边能解直角三角形；
④根据坡度的性质即可判定④对；
⑤只能说∠A=30°；
⑥角度数不变，函数值就不变．
【详解】
①在Rt △ACB 中，设c 为斜边，∠α的对边、邻边分别为a ，b ，那么sinα+cosα=1a b c
+>，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加；
③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形；
④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对；
⑤也不对，sinA=
1302
=︒，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变．
综上，①④正确，共2个，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质．
5．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ）
A ．11sin a +米
B ．11cos a -米
C ．11sin a -米
D ．11cos a +米C 解析：C
【分析】
设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =
＇，列出方程即可解决问题． 【详解】
解：设PA=PB=PB′=x ，
在RT △PCB′中，sin αPC PB =＇
∴1sin αx x
-=
∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，
∴x=
11sin α
-． 故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
6．如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）
A ．12
B ．55
C ．2
D ．255D 解析：D
【分析】
过B 点作BD ⊥AC ，得AB 的长，AD 的长，利用锐角三角函数得结果．
【详解】
解：过B 点作BD ⊥AC ，如图，
由勾股定理得，
AB=221310+=
AD=222222+=
cosA=2225510
AD AB == 故选D ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
7．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ）
A ．34
sinA = B ．34cos A = C ．34tan A = D ．34cot A =B 解析：B
【分析】
按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．
【详解】
解：如图，由勾股定理可得BC=2222437AB AC -=-=
选项A ，74BC sinA AB ==，故错误；
选项B ，3cos 4AC A AB ==，故正确； 选项C ，7tan 3
BC A AC ，故错误； 选项D ，337cot
77
AC A BC ===，故错误； 故应选：B
【点睛】 本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题． 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．2﹣6D 解析：D
【分析】 根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2AB AD '=1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．
【详解】
解：26,62,2
AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,
又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,
又2AB AD '= AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',
D B
E ∴'、、三点共线，
在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,
∴BE=BC-CE=626,
故选D..
【点睛】
本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． A
解析：A
【分析】
分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】
解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==
∴45A ∠=︒，4AB =，
又∵CD AB ⊥，
∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，
∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，
∴四边形CEPF 是矩形，
I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1
∴2sin 2AE PE AP A x ===
， ∴2222
CE x =-， ∴四边形CEPF 的面积为22
21222222y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；
II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：
依题意得：4CP x =-，
∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，
∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，
∴())24sin 4542
CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦
=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，BC ＝4，点D 为AB 边上一个动点，连接CD ，以DA 、DC 为一组邻边作平行四边形ADCE ，则对角线DE 的最小值是（ ）
A．2+6B．1+3C．4 D．2+23A 解析：A
【分析】
设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝1
2
BC＝2，AF＝BF＝
3CF＝23，求出AC＝CF+AF＝2+23，由平行四边形性质得出AO＝CO＝1
2
AC＝
1+3，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】
解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：
则∠BFC＝∠BFA＝90°，
∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，
∴CF＝1
2
BC＝2，AF＝BF3＝3
∴AC＝CF+AF＝3
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AO＝CO＝1
2
AC＝3DO＝EO，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
则△AOD是等腰直角三角形，
∴OD＝2
2AO
62
+
∴DE＝2OD26故选：A．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
二、填空题
11．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．
【分析】先根据矩形的性质勾股定理可得再利用正弦三角
函数可得然后根据即可得【详解】四边形ABCD 是矩形在中则即图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质正弦三角函数扇形的面积公式等知识
解析：7312π-【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得1,2,90CD BD ADC BCD ==∠=∠=︒，再利用正弦三角函数可得30CBD ∠=︒，然后根据Rt
BCD DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形即可得． 【详解】
四边形ABCD 是矩形，1AB =，3BC =， 221,2,90CD AB BC BC CD ADC BCD ∴===+=∠=∠=︒，
在Rt BCD 中，1sin 2
CD CBD BD ∠==， 30CBD ∴∠=︒， 则Rt BCD
DCN BDM S S S S =+-阴影扇形扇形， 229013021133603602
ππ⨯⨯=+-⨯ 7312π=， 即图中阴影部分的面积是
7312π 故答案为：
73122
π-． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、正弦三角函数、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积
公式是解题关键．
12．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB AC =，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60︒时，两梯角之间的距离BC 的长为2m ．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60︒，后又调整α为45︒，则梯子顶端A 离地面的高度下降了___________m ．
m 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米在Rt 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AD=即可求出AD 的长同理算出进而 解析：()32-m ． 【分析】
根据有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形判断出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米，在Rt ABD 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AB?sin60︒即可求出AD 的长，同理算出11A D ，进而根据AD-11A D 即可得出答案．
【详解】
解：如图1，由题意可得：
∵∠B=∠C=60︒，AB=AC
∴
ABC 是等边三角形
BC=AB=AC=2米 在Rt ABD 中：23AD 2sin6032
=︒=
= 如图2，由题意可得：
∵∠B 1=∠C 1=45︒，A 1B 1=A 1C 1=2m
在111Rt A B D 中：11222sin4522A D =︒=
=m ∴()1132AD A D -=
-m ． 故答案为：
()
32-m ． 【点睛】 此题主要考查锐角三角函数定义、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值，正确理解锐角三角函数定义是解题关键．
13．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．
【分析】首先根据题意画出图形再根据折叠的性质和可求出
各角的度数再利用解直角三角形的知识分别求出CDDFBD 的长度最后根据线段之间的和差关系即可求出结果【详解】解：如图所示：∵△ADC 是由△ACD 翻折
解析：32
【分析】
首先根据题意画出图形，再根据折叠的性质和DAB BAF ∠∠=，可求出各角的度数，再利用解直角三角形的知识分别求出CD ，DF ，BD 的长度，最后根据线段之间的和差关系即可求出结果．
【详解】
解：如图所示：
∵△ADC’是由△ACD 翻折得到，
∴
DAC 'DAC ∠∠=， ∵
DAB BAF ∠∠=， ∴
DAC 2DAB ∠∠=． ∵
AC 45B ∠=︒， ∴DAB BAF=15∠∠=︒．
∴30CAD ∠=︒．
在Rt △ACD 中，AC=2 ∴23tan 30CD AC =⋅︒= ，43cos30AC AD ==︒ ． ∵'ADC F DAC ∠=∠+∠
∴'30F DAC ∠=∠=︒ ． ∴433
DF AD ==． 23432232BF CD DF BC
∴=+-=
-= 故答案为32．
【点睛】
本题考查了翻折的性质和解 直角三角形的知识，根据题意画出图形是解题的关键． 14．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.
15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M根据题意
可求出BC的长度然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°进而可得出答案【详解】过点B作BM⊥FD于点M在△ACB中∠ACB＝90°∠A＝60°AC＝10
解析：15﹣53.
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
【详解】
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝3
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝1
103
＝3
2
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝3
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣3
故答案是：15﹣3
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
15．如图 1 的矩形ABCD中，有一点E在AD上，现以BE为折线将点A往右折，如图2
⊥于点F，如图3所示，若
所示，再过点A作AF CD
＝＝＝，则图3中AF的长度为____．
∠
123,26,60
AB BC BEA︒
8
【分析】作AH⊥BC于H则四边形AFCH是矩形AF=CHAH=CF在Rt△ABH中解直角三角形即可解决问题【详解】解：作AH⊥BC于H则四边形AFCH是矩形AF=CH在Rt△ABE中∠BAE=90
解析：8
【分析】
作AH⊥BC于H，则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF. 在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：作AH⊥BC于H，则四边形AFCH是矩形，AF=CH.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，∠BEA=60°
∴∠ABE=180°-∠A-∠BEA=180°-90°-60°=30°
由题意得∠ABH=90°-2∠ABE=90°-30°×2=30°
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，3，BC=26
∴BH=AB cos30°33
∴CH=BC-BH=26-18=8.
即AF=8.
故答案为8.
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质及解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形来解决问题.
16．如图，已知直线l：y 3
，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B
作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为_____．
（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标
利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6
解析：（0，256）
【分析】
利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．
【详解】
解：∵l ：y 3 ∴l 与x 轴的夹角为30°
∵AB ∥x 轴
∴∠ABO ＝30°
∵OA ＝1
∴AB 3
∵A 1B ⊥l
∴∠ABA 1＝60°
∴AA 1＝3
∴A 1（0，4）
同理可得A 2（0，16）
…
∴A 4纵坐标为44＝256
∴A 4（0，256）
故答案为：（0，256）．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．
17．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH ____________．
【分析】过点F 作FI ⊥BC 于点I 延长线IF 交AD 于J 根据含
30°直角三角形的性质可求出FIFJ 和JH 的长度从而求出HD 的长度【详解】解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC 延长线AD 交AD 于J 由题意可知：CF 解析：23
【分析】
过点F 作FI ⊥BC 于点I ，延长线IF 交AD 于J ，根据含30°直角三角形的性质可求出FI 、FJ 和JH 的长度，从而求出HD 的长度．
【详解】
解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC ，延长线AD 交AD 于J ，
由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=3
3 ∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x ，则HF=2x ，
∴由勾股定理可知：（2x ）2=x 2+32，
∴3
∴DH=DJ-JH=33323=
故答案为：3
【点睛】
本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
18．如图，O 的直径2AB =，弦1AC =，点D 在O 上，则D ∠的度数是______．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCA=90°再根据特
殊三角函数值可以求得∠CBA 的值进而求得∠A 的值然后由圆周角的定理得出答案∠D 的值【详解】解：∵的直径是AB ∴∠ACB=90°又∵AB=
解析：60︒
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，得出∠BCA=90°，再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA 的值，进而求得∠A 的值，然后由圆周角的定理得出答案∠D 的值．
【详解】
解：∵O 的直径是AB ，
∴∠ACB=90°,
又∵AB=2,AC=1,
∴sin ∠CBA=12
AC AB = ∴∠CBA=30°
∴∠A=60°
∴∠D=∠A=60°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，在解答时要注意特殊三角函数的取值． 19．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米． 则标识牌CD 的高度是米__________． 【分析】过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M 过点B 作
BN ⊥CE 于点N 通过解直角三角形可求出BMAMCNDE 的长再结合CD ＝CN ＋EN−DE 即可求出结论【详解】解：过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M 过点B 作 解析：153-【分析】
过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M ，过点B 作BN ⊥CE 于点N ，通过解直角三角形可求出BM ，AM ，CN ，DE 的长，再结合CD ＝CN ＋EN−DE 即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cos30°＝53（米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．
在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝103（米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋53（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan45°＝10＋53（米），
∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋53＋5−103＝15−53（米）．
故答案为：15−53．
【点睛】
此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
20．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是_______．
（3）【分析】如图作B′H⊥y轴于H解直角三角形求出
B′HOH即可【详解】如图作B′H⊥y轴于H由题意：
OA′=A′B′=2∠B′A′H=60°∴∠A′B′H=30°∴AH′=A′B′=1B′H=∴
解析：（33）
【分析】
如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【详解】
如图，作B′H⊥y轴于H，
由题意：OA′=A′B′=2，∠B′A′H=60°，
∴∠A′B′H=30°，
∴AH′=12A′B′=1，B′H=3-， ∴OH=3，
∴B′（3-，3）， 故答案为：（3-，3）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得ADE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 上，
（1）求DBC ∠的度数；
（2）求tan ∠BDE 的值．
解析：（1）135°；（2）23
【分析】
（1）根据旋转的性质得到ABD △是等腰三角形和顶角BAD ∠的度数，再算出ABD ∠的度数，就可以算出DBC ∠的度数；
（2）设2AD AB x ==，根据特殊角的三角函数值用x 表示出BE 和DE ，就可以求出tan ∠BDE 的值．
【详解】
解：（1）∵90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，
∴30BAC DAB ∠=∠=︒，
∵AD AB =，
∴()118030752ABD ADB ∠=∠=
︒-︒=︒， ∴7560135DBC ABD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （2）设2AD AB x ==，则12
DE AD x =
=，3AE x =， ∴23BE x x =-， ∴()23tan 23x BE BDE DE x
-∠===-．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．
22．如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E ．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=34
．
（1）求⊙O 的半径长；
（2）求线段 CF 长．
解析：（1）5；（2）
92 【分析】
（1）过O 作OH 垂直于AC ，利用垂径定理得到H 为AC 中点，求出AH 的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA ＝tan ∠BDC ，求出OH 的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA 的长；
（2）由AB 垂直于CD 得到E 为CD 的中点，得到EC ＝ED ，在直角三角形AEC 中，由AC 的长以及tanA 的值求出CE 与AE 的长，由FB 为圆的切线得到AB 垂直于BF ，得到CE 与FB 平行，由平行得比例列出关系式求出AF 的长，根据AF−AC 即可求出CF 的长．
【详解】
（1）作OH AC ⊥于H ，则142
AH AC ==，
在Rt AOH ∆中，344
AH tanA tan BDC ==∠=，， 3OH ∴=，
∴半径5OA ==；
（2）AB CD ⊥，
E ∴为CD 的中点，即CE DE =， 在Rt AEC ∆中，384AC tanA ==
，，设3CE k =，则4AE k =， 根据勾股定理得：222AC CE AE =+，
即2291664k k +=，解得85k =
则2432,55
CE DE AE ===， BF 为圆O 的切线，
FB AB ∴⊥，又AE CD ⊥，
//CD FB ∴，
AC AE AF AB ∴=，即328510
AF =， 解得：252
AF =， 则92
CF AF AC =-=． 【点睛】
此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
23．计算：（1）|-2|-2cos60°+(π-2020)0；
（2）(13
)-1
解析：（1）2；（2）5+【分析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
解：（1）原式12212
=-⨯+， 211=-+，
2=．
解：原式
2 33224
2 =++-⨯
332222
=++-
52
=+．
【点睛】
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
24．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
探测最大角：∠OBC=73.14°
探测最小角：∠OAC=30.97°
安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上
学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，
sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）
解析：该设备的安装高度OC约为2.9m．
【分析】
根据题意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【详解】
根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，
∴AC=AB+BC=4+BC，
∴在Rt △OBC 中，BC=tan OBC 3.3
OC OC ∠≈， 在Rt △OAC 中，OC=AC•tan ∠OAC≈(4+BC)×0.6，
∴OC=0.6⨯(4+
3.3
OC )， 解得OC≈2.9（m ）． 答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC 的方程是解题的关键． 25．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．
（1）求A 的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）
解析：（1）圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）拉杆BC 的伸长距离为30cm ．
【分析】
（1）作BH ⊥AF 于点K ，交MN 于点H ，则△ABK ∽△ACG ，设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；
（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题；
【详解】
（1）作BH AF ⊥于点K ，交MN 于点H .
则BK CG ，ABK ACG ∆∆∽.
设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x .
则BK AB CG AC =，即3850595035
x x -=-+， 解得：8x =.
则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；
（2）在Rt ACG ∆中，80872(cm)CG =-=. 则sin CG CAF AC ∠=
∴AC=72=sin 0.9
CG CAF ∠=80(cm) ∴805030(cm)BC AC AB =-=-=.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
26．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．
（1）求∠CDE 的度数；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线；
（3）若AC =25DE ，求tan ∠ABD 的值．
参考答案
解析：（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴DC DE
AD DC
=，
∴DC2=AD•DE
∵AC=25DE，
∴设DE=x，则AC=25x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（25x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=22
(25)(4)2
x x x
-=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=
4
2
2
AD x
DC x
==．
27．如图，在44
⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．
（1）AB 的长度为_____，CD 的长度为_____．
（2）若AB 和CD 所夹锐角为α，求tan α的值．
解析：（1）25，13；（2）
47
【分析】
（1）根据勾股定理可直接进行求解；
（2）由题意重新构造并建系，然后根据一次函数的性质及三角函数进行求解即可．
【详解】
解：（1）222425AB =+=， 222313CD =+=．
（2）重新构造并建系，得如图：
∴由图像可得：()()()0,0,1,2,3,2C B D ，
∴易求直线CD 的解析式为23
y x =， 直线CB 的解析式为：2y x =，
过点B 作BE ⊥CB ，交CD 于点E ，
∴设直线BE 的解析式为12
y x b =-+，则有： 1122b -⨯+=，解得：52
b =， ∴直线BE 的解析式为1522
y x =-+，
1510,77E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 2215104512777BE ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又5BC =，
45
47tan 75
α∴==． 【点睛】
本题主要考查勾股定理、一次函数及三角函数，熟练掌握勾股定理、一次函数及三角函数是解题的关键．
28．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．
解析：433A C '=+
【分析】
利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC=C'C ，
∵A'B=A'C'，
∴A'C 是BC'的垂直平分线，垂足为D ，
∴BD=12
BC'=3，
在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，
∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°
∴
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。