用“李明波线段”证明了菲洛线

用“李明波线段”证明了菲洛线
用“李明波线段”证明了菲洛线
用“李明波线段”证明了菲洛线
古代数学三大难题：用尺规作图解决化圆为方、三等分角、立方倍体问题。

它们已经被证明是不可能的。

菲洛（Philo）线的尺规作图是另一个平面几何的世界难题。

李明波用“李明波线段”证明了菲洛线的尺规作图不可能。

[1]
什么是菲洛线？定角∠BAC内一定点Q引直线交两边于P、H，线段PH的最短线就是菲洛线。

（注：一般用QR表示菲洛线。

我用PH 表示菲洛线，因为Philo的词头是PH。

）早就有人证明了菲洛线的特征：过P作AB的垂线、过H作AC的垂线，过Q作PH的垂线，则三条垂线同交于一点D。

[2]
定角∠BAC的定义为0°＜∠BAC ＜180°（0°、180°无意义；90°为特殊情况）。

因为菲洛线的尺规作图不可能，我用倒画法，先画菲洛线PH，再确定PH上的定点Q：在∠BAC的两边上取P、H点，连接PH。

过P作AB的垂线、过H作AC的垂线，两条垂线交于D点。

过D作PH的垂线，垂足为Q。

则PH为过定点Q的菲洛线（图1）。

对倒画法的研究：图2中，定角∠BAC内作菲洛线PH并确定定点Q。

作PH1⊥AC（H1为垂足）；作PH2⊥AB（H2为垂线与AC的交点）；在AC上取AH3=AP，连接PH3。

1.当AC上取点在AH1（不含H1）上时，例如H4，则过H4作AC的垂线与过P作AB的垂线相交于D4，D4一定位于AB的左侧；过D4作H4 P延长线的垂线D4Q4（Q4为垂足），Q4也位于AB的左侧。

Q4超出了“定点在∠BAC内”的范畴。

2.当AC上取点在H1上时，菲洛线PH1的定点就是P。

长度PH1=AP* sin∠BAC。

3.当AC上取点在H3上时，菲洛线PH3的定点Q3就是PH3的中点。

证明：过H3作AC的垂线交PH2于D3,连接AD3,则AD3是∠BAC的角平分线。

在等腰△APH3中，∠BAC的角平分线一定是底
PH3的高。

∴D3Q3⊥PH3∴Q3是菲洛线PH3的定点。

4.当AC上取点在H1H3（不含H1、H3）上时，菲洛线PH定点Q位于∠BAC左边一半内。

5.当AC上取点在H2H3（不含H2、H3）上时，菲洛线的定点位于∠BAC的右边一半内。

6.当AC上取点在H2上时，菲洛线PH2的定点就是H2。

长度PH2=AP*tg∠BAC。

7.当AC上取点在H2C（不含H2）上时，例如H5，则过H5作AC的垂线与过P作AB的垂线相交于D5，D5一定位于AC的右侧；过D5作PH5延长线的垂线D5Q5（Q5为垂足），Q5也位于AC的右侧。

Q4超出了“定点在∠BAC内”的范畴。

∴定理1：对于∠BAC内定点Q的菲洛线，如果其在AB上的位置确定位于P，则其在AC上的位置只能在H1H2之间；也即是∠BAC内定点的菲洛线只能在直角△PH1H2中。

如果把H1H2等分成n份（在H1H2上有n-1个等分点），就能作出n-1条菲洛线。

1.从H1到H2每条菲洛线的定点Q，总是向右变化。

2.以PH3为水平线，当H点从H1→H3变化时，定点Q先向上再向下回到PH3的水平，其中有一个最高点；当H点从H3→H2变化时，定点Q总是向下变化。

3.如果n→∞，可以得到一条平滑的定点Q 变化轨迹的曲线。

如果以P为原点、PH1为X轴、PH2为Y轴构成一个笛卡尔坐标系，那条定点Q变化轨迹的曲线应该有一个函数方程Y=f(X)。

这个函数方程的自变量X受∠BAC大小影响。

Q变化轨迹的曲线全部位于第二象限。

菲洛线问题中，仅有三个因素：∠BAC大小、定点Q的长度AQ 及定点Q的位置（即∠BAQ的大小。

具体说，定点Q有五种位置：①位于AB上；②位于AB与∠BAC角平分线之间；③位于∠BAC角平分线上；④位于∠BAC角平分线与AC之间；⑤位于AC上。

因为∠BAC 为锐角、直角或钝角时的情况有所不同，所以分别研究。

∠BAC为锐角
图1中，PH为过定点Q的菲洛线。

以A为圆心，AQ为半径作弧
交∠BAC两边于Q1、Q2。

作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。

于是，弧Q1Q2就是AQ为定长l时，所有Q点的可能位置（或者说：当AQ为定长l时，Q点可以从Q1向Q2移动）。

因为弧Q1Q2上，以AQ3为对称轴，左边与右边对称，所以我们只需要研究Q点从Q1向Q3移动的情况。

1.当Q点位于Q1时，其菲洛线为从Q1作AC的垂线Q1H1（垂足为H1）。

Q1H1=l*sin∠BAC。

2.当Q点位于Q3时，其菲洛线为从Q3作AQ3的垂线P3H3。

∵P3Q3=l* tg∠BAC/2。

∴P3H3=2l*tg（∠BAC/2）。

过P作AC的垂线PH2。

∵PH>PH2> Q1H1∴PH>Q1H1。

当Q 点位于Q1到Q3之间（即位于∠BAC左半部，不含Q1）时，Q点的菲洛线长度都一定大于Q1H1。

过H3作PQ的平行线P2H3，交AB于P2。

过P作AC的平行线，交P2H3于E。

则在平行四边形PEH3H中，EH3=PH。

过E作P2H2的垂线，交P3H3于F。

∵P3H3>FH3>EH3；EH3=PH∴P3H3>PH。

∴定理2：Q点从Q1向Q3移动中，菲洛线的长度越来越长，最小为Q1H1，最大为P3H3。

Q点从Q3向Q2移动中反之，菲洛线的长度则越来越短。

Q1H1=l*sin∠BAC；P3H3=2l*tg（∠BAC/2）。

Q位于弧Q1Q3上（即在弧Q1Q3的左半部分），PH为最短菲洛线。

如果Q为不动点，直线PQH作逆时针或顺时针旋转，PH的长度都会越来越大，直至直线PQH平行于AB或AC，其长度为∞。

图3中，PH为过定点Q的菲洛线。

过Q分别作AB、AC的垂线，分别交AB、AC于E、G、F、I。

连接AQ。

在直角△AGI中，∠AGI为∠BAC的余角；在直角△GQE中，∠GQE为∠AGI的余角∴∠GQE=∠BAC。

同理，∠FQI=∠BAC。

∠FQI与∠GQE又是对顶角。

∵对于定点Q，菲洛线PH最短，它一定位于EF与GI之间的范围中。

过Q作直线如果超出EF与GI的范围，与AB、AC相交点的距离一定会越来越长，直至直线与AB或AC平行，与AB或AC相交的距离长度为∞。

如果过Q作直线位于这两个平行线之间的范畴，只能与
AB（或AC）相交，与另一边AC（或AB）绝不相交。

“古代数学三大难题：用尺规作图解决化圆为方、三等分角、立方倍体问题。

它们已经被证明是不可能的，但是，数学家们对求问题近似解的`研究却是风起云涌，尤其是在化圆为方的问题上。

”[3] 我认为：PQ位于EQ与GQ之间的位置偏离，和PQ分割∠GQE有关；如果PQ分割∠GQE接近“AQ分割∠BAC’，则PH是菲洛线的近似解。

所以只要作∠GQP’=∠B AQ，延长P’Q与AC相交于H1’，就能得到Q点菲洛线的近似解P’H1’。

图3中，延长AQ至Q1，过Q1作PH的平行线，交AB、AC于P1H1；延长AD至D1，与P1H1的垂线相交于D1；连接P1D1与H1D1。

在△AQD与△AQ1D1中，∵QD∥Q1D1∴AD/ AD1=QD/ Q1D1=AQ/ AQ1；在△AQH与△AQ1H1中，∵QH∥Q1H1∴QH/ Q1H1=AH/ A1H1=AQ/ AQ1；在直角△HQD与直角△H1Q1D1中，∵QD/ Q1D1=AQ/ AQ1；QH/ Q1H1=AQ/ A Q1∴直角△HQD∽直角△H1Q1D1∴HD/ H1D1=AQ/ AQ1。

在△AHD与△AH1D1中，∵AD/ AD1=AQ/ AQ1；DH/ D1H1=AQ/ AQ1；AH/ A1H1=AQ/ AQ1∴△AHD∽△AH1D1∴∠A1H1D1=∠AHD=90°。

同理可证明∠A1P1D1=90°。

∴P1H1是定点Q1的菲洛线。

∴定理3：射线AQ上所有点的菲洛线相互平行。

也即：只要∠BAQ确定，射线AQ上的所有点的菲洛线都相互平行。

∠BAC为直角
图4中，PH为过直角∠BAC内定点Q的菲洛线。

以A为圆心，AQ为半径作弧交∠BAC两边于Q1、Q2。

作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。

弧Q1Q2是AQ为定长l时，所有Q点的可能位置。

1.当Q位于Q1时，菲洛线为过Q1作AC的垂线，与Q1A重叠。

∴Q1A长度为l。

2.当Q位于Q3时，菲洛线为过Q3作A Q3的垂线P3H3。

P3H3长度为2l。

同定理2可证明：Q点从Q1向Q3移动中，菲洛线的长度越来越
长，最小为Q1H1，最大为P3H3。

Q点从Q3向Q2移动中反之，菲洛线的长度则越来越短。

Q1H1=l；P3H3=2l。

Q位于弧Q1 Q3上（即在弧Q1 Q3的左半部分）时，PH为最短菲洛线。

如果Q为不动点，直线PQH作逆时针或顺时针旋转，PH的长度都会越来越大，直至直线PQH平行于AB或AC，其长度为∞。

∠BAC为钝角
图5中，PH为过钝角∠BAC内定点Q的菲洛线。

以A为圆心，AQ为半径作弧交∠BAC两边于Q1、Q2。

作∠BAC的角平分线交弧Q1Q2于Q3。

弧Q1Q2是AQ为定长l时，所有Q点的可能位置。

1.当Q位于Q1时，过Q1不可能直接作AC的垂线，只能作AC 延长线的垂线。

菲洛线仍然为Q1A。

Q1A长度为l。

2.当Q位于Q3时，菲洛线为过Q3作A Q3的垂线P3H3。

P3H3长度为2l*tg(∠BAC/2)。

Q位于弧Q1 Q3上（即在弧Q1 Q3的左半部分），PH为最短菲洛线。

如果Q为不动点，直线PQH作逆时针或顺时针旋转，PH的长度都会越来越大，直至直线PQH平行于AB或AC，其长度为∞。