高三数学精选三角函数与解三角形多选题 易错题难题自检题学能测试试题

高三数学精选三角函数与解三角形多选题 易错题难题自检题学能测试试题
一、三角函数与解三角形多选题
1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14
B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin C =
由正弦定理得2
sin 3c R C =
==
，R =C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
214
a c
b B a
c +-===
，
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC 外接圆半径为
7
【答案】ACD 【分析】
由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】
解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；
由c 为最大边，可得222222
1625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确；
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯
-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin 7c R C
=
==
，
ABC
外接圆半径为
7
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
3．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．
A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭
+
+ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3
x =- C ．5π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π
12
个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】
首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23
x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后
的解析式. 【详解】
由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，
当3
x π
=
时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244
ππωω⨯=⇒=， 当3
x π
=时，322,3
2k k Z π
πϕπ⨯
+=
+∈，解得：526
k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56π
ϕ∴=
，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，故A 正确； B.当23x π=-
时，252362π
π
π⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭
，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-
时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移
12
π
个单位后，再向下平移2个单位后，得
()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤
⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，函数是奇函数，故D 正
确.
故选：ABD 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．
4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列
关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）
A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3
π-
B ．函数()f x 的图像在y 3
C ．函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 【答案】ABC 【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】
根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362
T πππ
=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
． 令()2cos 06f x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，得62
x k ππ
π-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=
+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3
π
-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6
f x x x ππ⎛⎫
-
=-=- ⎪⎝
⎭
，因此函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数，故C 正确； 令226
k x k π
πππ-≤-
≤，k Z ∈，得52266
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,
6ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+<<< ⎪⎝
⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成
立，3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2
x π=
对称
D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【答案】BD 【分析】
由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数可得
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】
因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫
=+=± ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭
，得()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数，
所以
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ②.
由①②可得
()(),3
12
2
k k k k ωπ
ωπ
π
π''-
=--
∈Z ，
即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)3
3
k k k k π
π
ϕππ=+
=-
'∈'Z ，得3πϕ=，
所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22
T π
π=
=，所以B 正确；
2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以C 不正确；
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k ∈Z ，得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立”得到“
212f π⎛⎫
=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”
后，能根据“3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数”得到“()3k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ”.
6．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．()2cos 3
6x f x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.
【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππω∴=
=， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛
⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则sin 16πϕ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
0ϕπ<<，56
6
6π
π
πϕ∴-
<-
<
，则62
ππϕ-=，23π
ϕ∴=，
()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确；
对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
，A 选项正确； 对于B 选项，由
()36x k k Z ππ
π+
=∈，解得()1
32
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；
对于C 选项，当71,23x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
时，3618x ππππ-≤+≤，
所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把
ω化为正数．
7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称
C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点
【答案】ABD 【分析】
借助于()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T π
ω
=
求周期；
对于B ：利用图像观察，也可以根据()26
f π
=判断；
对于C ：利用图像观察，也可以根据()13
f π
=否定结论；
对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】
对于A ：函数()y f x =的周期222
T π
π
πω
==
=故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 226
6
6f π
π
π⎛⎫
=⨯
+
= ⎪⎝
⎭，∴()f x 的图像关于直线6
x π
=对称，故B 正确；
对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13
3
66
f π
π
ππ⎛⎫
⎛⎫
=⨯
+
== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令
()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间
(0,)π上有两个零点，故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：
（1）画出图像，利用图像分析性质；
（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移
512
π
个单位长度，得到的函数解析式为()()
2g x x =
【答案】BD 【分析】
首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23
x π
-的范围，再判断函数的单调
性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】
()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛
⎫=
--+ ⎪⎝
⎭
132cos 2cos 22cos 22222
x x x x x =
--=-
23x π⎫⎛
=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的周期22
T π
π=
=，故A 不正确；B.B 正确；
C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣
⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递增，故C 不正确； D. (
)23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512
π个单位长度，得到(
)52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故D 正确. 故选：BD
【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
二、数列多选题
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n k a k N a n k --+=⎧=∈⎨
+=+⎩.则下列选项正确的为（ ）
A ．614a =
B ．数列{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列
C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-
D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15
【答案】ABD
【分析】
根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.
【详解】
由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，
因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，
所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，
所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，
所以222222
k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列， 所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错.
又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=， 所以2121323
k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++
()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-+
+-+=，
15141598150914901000S S a =+=+=>，
故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】 方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.
10．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）
A
．若为等差数列，则112d a =
B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=
C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==
D ．若*n b N ∈，则{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d + 【答案】AB
【分析】
对于A
，利用=
对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；
对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；
对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.
【详解】
对于A
，因为
为等差数列，所以=
即=
=
化简得()2
1120d a -=，所以112d a =，故A 正确；
对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，
所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；
对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；
对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以
11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，
所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，
所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB
【点睛】
关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.。