高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》全集汇编附解析

【高中数学】高中数学《函数与导数》期末考知识点
一、选择题
1．函数()2log ,0,2,0,
x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =和()2f x =的根， 函数()2lo
g ,0,2,0
x
x x f x x ⎧>=⎨
≤⎩的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
2．已知3215()632f x x ax ax b =
-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132
x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1- B ．
1
6
C ．1
D ．与b 有关
【答案】B
【分析】
求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -． 【详解】
()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，
又213
2
x x =
，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =． 此时122,3x x ==， ()32
15632
f x x x x b =-++， 故()()()()()1215182749623326
f x f x -=⨯---+-= 故选B ． 【点睛】
如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：
（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；
（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．
3．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
4．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为 A ．（
8
5
，＋∞） B ．（
16
5
，＋∞） C ．[
8
5
，＋∞） D ．[
16
5
，＋∞）
【解析】 【分析】
利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +
﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，（x ＞0，k ＞0）
由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），
即21144k k x x +
-﹣1=2
4
k k x +
﹣22
4x ﹣1，
化简得4（x 1+x 2）=（k+4
k
）x 1x 2， 而x 1x 2＜2
12(
)2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4
k ）21
2()2
x x +， 即x 1+x 2＞
16
4k k
+
对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+
4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()222k k k
+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴
16
4k k
+≤16
5
， ∴x 1+x 2＞
165
， 故x 1+x 2的取值范围为（16
5
，+∞）. 故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
5．已知函数()()11
10x x e f x x e
++-=<与()()1ln x x
g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,1e ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
B ．1,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．11,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.
【详解】
由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1
1
1
1e e 10e
x x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,
则方程()1
e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,
即方程
()11ln 1e e
x x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11
ln 1e e
x x x ϕ=
++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,
()()
11e 1
e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,
令()=e 1x
m x x --，则()=e 10x
m x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1x
m x x --在
()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，
即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,
当0x >时,则()()101x e
ϕϕ>=-, 所以11e
a >-, 故选:D 【点睛】
本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.
6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，
()21f x x =-，则（ ）
A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫
=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22
4log 3log 03f f ⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()133log 2log 20f f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即
()()20f x f x +-=，
即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，
因为当[]0,1x ∈时，()2
1f x x =-单调递减，
因为5110222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=--=-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
， 因为2
41
0log 132<<<，所以241log 32f f ⎛
⎫
⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
， 所以，123
14log 2log 23f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫>->- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.
7．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1
122
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．已知函数()2
943,0
2log 9,0
x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）
A ．73,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令
()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用
零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3
x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
9．三个数0.20.4
0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.2
0.43<4log 0.5<
B ．0.40.2
0.43<log 0.5<4
C ．0.4
0.20.4log 0.534<<
D ．0.2
0.40.4log 0.54
3<<
【答案】D 【解析】
由题意得，12
0.2
0.4
5
5
0.4
0log
0.514
43
3<<<==== D.
10．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ）
A ．
13
+ B ．3
C ．23
+ D ．
3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
11．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1
=m
i i x =∑
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22
m
m ⨯
=；当m 为奇数时，其和为1
212
m m -⨯
+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么
函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+.
12．函数(
)
3
2x
y x x =-⋅的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
排除法：根据函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】
函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】
本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.
13．已知函数()(
)
2ln
1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，
()
1.13c f =-，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】
∵())
ln
f x x =
∴())f x x ==
∴())f x x -=
∵当0x >1x >；当0x <时，01x <
∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，
())f x x -=；
当0x <时()))f x x x ==；
()))f x x x -=-=.
∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数
∴当0x >时，易得())f x x =为增函数
∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1
(3)(3)c f f =-=
∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>
∴ 1.10.2
3(3)(log 5)(3)f f f ->>
∴c a b >> 故选D.
14．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>
C ．b a c >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】
试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；
7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，
故正确答案为选项B ．
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．
15．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =
，则()2020f =（ ） A ．2020
B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，
变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，
则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
16．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1 【答案】C
【解析】
【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，
得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞
当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤-
所以a 的最大值为2-.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
17．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数 【答案】D
【解析】
【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.
【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴
， . 当时，由于函数和函数在上都为增函数， 此时，函数在
上为增函数； 当时，在上为增函数； 当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增， ，所以，函数在上为增函数.
综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.
【点睛】 本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
18．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
19．设123log 2,ln 2,5a b c -===则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】 由ln 2ln 2ln 3
a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】 ∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>=
=<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
20．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
32(2)a f =,3
1(log )27b f =，2)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C
【解析】
【分析】 利用导数判断3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.
【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
31(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=，
3
2
023<<=<Q ，
当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，
∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231(log )(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.。