人教版八年级数学(上)角的平分线的性质ppt
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角的平分线的性质
阅读质疑 自主探究
1.什么叫做点到直线的距离？ 什么叫做点到直线的距离？ 什么叫做点到直线的距离 2.什么叫做角的平分线？怎样作已知 什么叫做角的平分线？ 什么叫做角的平分线 的平分线OC？ ∠AOB的平分线 ？ 的平分线 3.如上题的图，在OC上任取一点 ，分别 如上题的图， 上任取一点P， 如上题的图 上任取一点 过点P作 ⊥ 于点D， ⊥ 于点 于点E， 过点 作PD⊥OA于点 ，PE⊥OB于点 ， 于点 测量PD、 的长度 观察测量结果， 的长度， 测量 、PE的长度，观察测量结果，猜想 PD、PE的大小关系是 ————。 、 的大小关系是 。
D B C
3 . 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ⊥ 的平分线， ⊥ ， ∠ BAC的平分线 ， DE⊥AB，AB＝ 7㎝ ， 的平分线 ＝ ㎝ AC＝3㎝，求BE= 4 cm. ＝ ㎝
迁移应用 拓展探究
动脑筋
1、在 Rt△ABC中 ，∠ C=90º，BD平分 、 △ 中 ， 平分 ∠ABC， DE⊥AB于E，则： ， ⊥ 于 ，
E A D 6 C
总结反思
2、谈谈这节课你的收获是什么？与你的同伴交 、谈谈这节课你的收获是什么？ 流
角的平分线的性质：角的平分线 角的平分线的性质： 上的点到这个角的两边的距离相 等. ∵OC是 AOB的平分线 的平分线, ∵OC是∠AOB的平分线, O OC上任意一点 P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 垂足分别是D,E( PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知) 已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点到这个 ∴PD=PE(角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等). 角的两边的距离相等). 作业： 作业：
; ⑴图中相等的线段有 BE=BC,DE=DC 相等的角有： 相等的角有：∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠C 。 相等？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ 10 哪条线段与 相等 为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， ＝ ， ＝ ， ＝
的长和△ 的周长。 求BE，AE的长和△AED的周长。 ， 的长和 的周长 B 8
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：
平分线OC上的一点 ∵点P是∠AOB平分线 上的一点 是 平分线 且PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD=PE （ 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等） 相等） D A
P
O E B
）有角的平分线， 应用定理的前提条件是： 应用定理的前提条件是：（1）有角的平分线， （2）有垂直距离 ）
A D 1 2 E B P C
谢 谢！
பைடு நூலகம்
证明： 证明：
∵∠Ｃ＝ （已知） ∵∠Ｃ＝90º（已知） Ｃ＝ ∴ＤＣ⊥ＢＣ（垂直的定义） ＤＣ⊥ＢＣ（垂直的定义） 垂直的定义 是角平分线， ⊥ 垂足为 垂足为E（已知） ∵ BD是角平分线，DE⊥AB垂足为 （已知） 是角平分线
E
A
∴ DE＝DC（角的平分线上的点到角的两 ＝ （ 边的距离相等） 边的距离相等）
A D O
1 2
P E
C B
∠PDO= ∠PEO（已证） （已证） 已证） ∠1= ∠2 （已证） _______=_______（ （ ） ∴ △PDO ≌ △PEO（ （ ） 全等三角形的对应边相等） ∴________=________（全等三角形的对应边相等）
多元互动 合作探究
角的平分线的性质： 角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
多元互动 合作探究
已知：如图，OC平分∠AOB， 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 平分 PD⊥OA于点 于点D PE⊥OB于点 于点E 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: 求证: PD=PE
平分∠ 已知） 证明： 平分 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴_______=_______（角的平分线的定义） 角的平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ， （已知） ∴________=________=90º（垂直的定义） 垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 和 中
定理的作用：
直接证明线段相等
训练检测 反馈矫正
1、判断对错
） ）
的平分线， （1）如图 为∠AOB的平分线，则PE=PF （ ）如图OP为 的平分线 ＰＥ⊥ （2）如图ＰＥ⊥ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于Ｆ， ）如图ＰＥ ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于 则ＰＥ＝ＰＦ （
训练检测 反馈矫正
Rt△ABC中 ∠C=90 BD是角平分线 90º， 是角平分线， 2、在Rt△ABC中，∠C=90 ，BD是角平分线， DE⊥AB垂足为 垂足为E DE与 DC相等吗 为什么？ 相等吗？ DE⊥AB 垂足为 E ， DE 与 DC 相等吗 ？ 为什么 ？
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1.什么叫做点到直线的距离？ 什么叫做点到直线的距离？ 什么叫做点到直线的距离 2.什么叫做角的平分线？怎样作已知 什么叫做角的平分线？ 什么叫做角的平分线 的平分线OC？ ∠AOB的平分线 ？ 的平分线 3.如上题的图，在OC上任取一点 ，分别 如上题的图， 上任取一点P， 如上题的图 上任取一点 过点P作 ⊥ 于点D， ⊥ 于点 于点E， 过点 作PD⊥OA于点 ，PE⊥OB于点 ， 于点 测量PD、 的长度 观察测量结果， 的长度， 测量 、PE的长度，观察测量结果，猜想 PD、PE的大小关系是 ————。 、 的大小关系是 。
D B C
3 . 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ⊥ 的平分线， ⊥ ， ∠ BAC的平分线 ， DE⊥AB，AB＝ 7㎝ ， 的平分线 ＝ ㎝ AC＝3㎝，求BE= 4 cm. ＝ ㎝
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1、在 Rt△ABC中 ，∠ C=90º，BD平分 、 △ 中 ， 平分 ∠ABC， DE⊥AB于E，则： ， ⊥ 于 ，
E A D 6 C
总结反思
2、谈谈这节课你的收获是什么？与你的同伴交 、谈谈这节课你的收获是什么？ 流
角的平分线的性质：角的平分线 角的平分线的性质： 上的点到这个角的两边的距离相 等. ∵OC是 AOB的平分线 的平分线, ∵OC是∠AOB的平分线, O OC上任意一点 P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 垂足分别是D,E( PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知) 已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点到这个 ∴PD=PE(角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等). 角的两边的距离相等). 作业： 作业：
; ⑴图中相等的线段有 BE=BC,DE=DC 相等的角有： 相等的角有：∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠C 。 相等？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ 10 哪条线段与 相等 为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， ＝ ， ＝ ， ＝
的长和△ 的周长。 求BE，AE的长和△AED的周长。 ， 的长和 的周长 B 8
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：
平分线OC上的一点 ∵点P是∠AOB平分线 上的一点 是 平分线 且PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD=PE （ 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等） 相等） D A
P
O E B
）有角的平分线， 应用定理的前提条件是： 应用定理的前提条件是：（1）有角的平分线， （2）有垂直距离 ）
A D 1 2 E B P C
谢 谢！
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证明： 证明：
∵∠Ｃ＝ （已知） ∵∠Ｃ＝90º（已知） Ｃ＝ ∴ＤＣ⊥ＢＣ（垂直的定义） ＤＣ⊥ＢＣ（垂直的定义） 垂直的定义 是角平分线， ⊥ 垂足为 垂足为E（已知） ∵ BD是角平分线，DE⊥AB垂足为 （已知） 是角平分线
E
A
∴ DE＝DC（角的平分线上的点到角的两 ＝ （ 边的距离相等） 边的距离相等）
A D O
1 2
P E
C B
∠PDO= ∠PEO（已证） （已证） 已证） ∠1= ∠2 （已证） _______=_______（ （ ） ∴ △PDO ≌ △PEO（ （ ） 全等三角形的对应边相等） ∴________=________（全等三角形的对应边相等）
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角的平分线的性质： 角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
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已知：如图，OC平分∠AOB， 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 平分 PD⊥OA于点 于点D PE⊥OB于点 于点E 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: 求证: PD=PE
平分∠ 已知） 证明： 平分 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴_______=_______（角的平分线的定义） 角的平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ， （已知） ∴________=________=90º（垂直的定义） 垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 和 中
定理的作用：
直接证明线段相等
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1、判断对错
） ）
的平分线， （1）如图 为∠AOB的平分线，则PE=PF （ ）如图OP为 的平分线 ＰＥ⊥ （2）如图ＰＥ⊥ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于Ｆ， ）如图ＰＥ ＯＡ于Ｅ，ＰＦ⊥ＯＢ于 则ＰＥ＝ＰＦ （
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Rt△ABC中 ∠C=90 BD是角平分线 90º， 是角平分线， 2、在Rt△ABC中，∠C=90 ，BD是角平分线， DE⊥AB垂足为 垂足为E DE与 DC相等吗 为什么？ 相等吗？ DE⊥AB 垂足为 E ， DE 与 DC 相等吗 ？ 为什么 ？