2021-2022年高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语精品讲义 理(含解析)

2021-2022年高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语精品讲义
理（含解析）
一、重视教材习题的母题功能
你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？
编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．
在此，仅以xx 新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．
教材这样练
《人教A 版·必修4》P119 B 组
第1题第(4)小题．
已知D ，E ，F 分别是△ABC
的边BC ，CA ，AB 的中点，且＝a ，＝b ，＝c ，则①＝12c －12b ；②＝a ＋1
2b ；③＝
－12a ＋1
2b ；④＋＋＝0中正确的等式的个数为( )
高考这样变
(xx·新课标全国卷Ⅰ)设
D ，
E ，
F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，
AB 的中点，则＋＝( )
教材这样练
《人教A 版·选修2－1》P69例4.
斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
高考这样变
(xx·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A.
30
3
B．6
C．12 D．73
教材这样练
《人教A版·必修5》P14例5.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北
高考这样变
(xx·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；
教材这样练
《人教B版·必修5》P30练习A.写出下面数列{a n}的前5项：
1．a1＝2，a n＝1
2
a
n－1
(n＝2,3,4,…)；
高考这样变
(xx·新课标全国卷
Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝
15°的方向上，行驶5 km后到达B
处，测得此山顶在西偏北25°的方
向上，仰角为8°，求此山的高度
CD(精确到1 m)．
从C点测得∠MCA＝60°，已
知山高BC＝100 m，则山高MN
＝________m.
总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．
为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．
本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．
教材这样练
《人教A版·必修1》
P39B组第3题．
已知函数f(x)是偶函
数，而且在(0，＋∞)上是
减函数，判断f(x)在(－∞，
0)上是增函数还是减函数，
并证明你的判断．
高考这样变
(xx·新课标全国卷Ⅱ)已
知偶函数f(x)在[0，＋∞)单
调递减，f(2)＝0．若f(x－
1)>0，则x的取值范围是
________．
多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．
本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试： (一)经典“题根”的发散
茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．
示例：利用基本不等式求最值
(二)考查角度的发散
高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！
若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，
则2a ＋1
b 的最小值为________.
本题的条件变为：已知a ＞0，b ＞0,
c ＞0，
且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c 的最
小值为________.
本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b ＝4，则a ＋b 的最小值为________.
已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1
b
的最
小值为________．
[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2
b a ·a b ＝4,即1a ＋1
b
的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝1
2
时等号成立.
[答案] 4
已知各项为正数的等
比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22
a 1，则1m ＋4n 的最小值为
________．
本题的条件不变，则⎝⎛⎭
⎫1＋1a ⎝⎛⎭
⎫1＋1b 的最小值为________.
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大
值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x <2满足对任意的实数
x 1≠x 2,都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0成立,则实数a 的取值范围
为( )
A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫138，2
[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函
数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集__合
基础盘查一元素与集合
(一)循纲忆知
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )
(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )
(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )
(4)零不属于自然数集( )
答案：(1)×(2)√(3)×(4)×
2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有素数组成的集合；
(2)不等式4x－5<3的解集．
答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}
基础盘查二集合间的基本关系
(一)循纲忆知
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A＝B，则A⊆B( )
(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )
(3)N*N Z( )
(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )
答案：(1)√(2)√(3)√(4)×
2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．
答案：{a}，{b}，{a，b}，∅
基础盘查三集合的基本运算
(一)循纲忆知
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )
(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”()
(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )
答案：(1)×(2)√(3)×(4)√
2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.
答案：{2,4}
3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.
答案：{x|x≤2或x≥10}
考点一集合的基本概念|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系：
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．
2．常见数集及其表示符号
自然数集用N表示，正整数集用N*或N＋表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示．
[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[题组练透]
1．(xx·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．9
解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ，b a
，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a
2 015＋b
2 015
＝________.
解析：由已知，得b a
＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2
＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a
2 015
＋b
2 015
＝(－1)
2 015
＝－1.
答案：－1
3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2
＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2
＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2
＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；
当2m 2
＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，
此时当m ＝－32时，m ＋2＝1
2≠3符合题意．
所以m ＝－3
2.
答案：－3
2
[类题通法]
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
考点二 集合间的基本关系|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
(1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )； (2)真子集：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则A B (或B A )；
(3)性质：∅⊆A ；A ⊆A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .
(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
[提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
[典题例析]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2．已知集合A＝{x|x2－2 015x＋2 014＜0}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．
解析：由x2－2 015x＋2 014＜0，
解得1＜x＜2 014，故A＝{x|1＜x＜2 014}．
而B＝{x|x＜m}，由于A⊆B，如图所示，则m≥2 014.
答案：[2 014，＋∞)
[类题通法]
(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．
(2)当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅的情况！
[演练冲关]
1．(xx·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.
解析：由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.
答案：0或－2
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
解析：当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，
则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]
考点三 集合的基本运算|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
1．集合的并、交、补运算： 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；
补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质
(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；
(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .
[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
[一题多变]
[典型母题]
已知集合A ＝{y |y ＝x 2
－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2
＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .
[解析] y ＝x 2
－2x ＝
x －1
2
－1≥－1，,y ＝－x 2
＋2x ＋6＝－
x －1
2
＋
7≤7，,∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}，,故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}.
[答案] {y |－1≤y ≤7}
[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2
－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．
[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ， 故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．
[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B .
解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．
[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2
－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－
x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .
解：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
－2x ，
y ＝－x 2
＋2x ＋6
⇒x 2
－2x －3＝0，
解得x ＝3或x ＝－1.
于是，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝3，
故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．
[类题通法]
解集合运算问题应注意以下三点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．
考点四 集合的新定义问题|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A
B 为阴影部分表示的集合．若
x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( )
A ．{x |0<x <2}
B ．{x |1<x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x >2}
解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A
B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.
2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，
j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j
a i
两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )
A ．{1,3,4}为“权集”
B ．{1,2,3,6}为“权集”
C ．“权集”中元素可以有0
D ．“权集”中一定有元素1
解析：选B 由于3×4与4
3均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于
1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，6
6都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的
定义可知a j
a i
需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.
[类题通法]
解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
[演练冲关]
1．若x ∈A ，则1
x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．7
D ．31
解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；1
2，2，
所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，1
2，2.
2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *
}的元素有________个．
解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4
组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．
答案：15
一、选择题
1．(xx·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬⎫x ∈Z ，且
3
2－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C ∵3
2－x
∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，
故集合A 中的元素个数为4，故选C.
2．(xx·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2
－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．(－3,0)
B ．(－3，－1)
C ．(－3，－1]
D ．(－3,3)
解析：选 C 由题意知，A ＝{x |x 2
－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．
∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2
}，B ＝{x |x ＝m 2
，m ∈A }，则( ) A ．A
B B ．B A
C ．A ⊆B
D ．B ⊆A
解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2
}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2
，m ∈
A }＝{x |0≤x ≤1}，∴
B A ，故选B.
4．设函数f (x )＝lg(1－x 2
)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A ．[－1,0]
B ．(－1,0)
C ．(－∞，－1)∪[0,1)
D ．(－∞，－1]∪(0,1)
解析：选 D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2
＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2
∈(0,1]，
所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，
A ∪
B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，
故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.
5．(xx·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y
＝3上的点，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝1，x －y ＝3
可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为
{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.
6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．
其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．
二、填空题
7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3
－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－2
8．(xx·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.
解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．
答案：{7,9}
9．(xx·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2
－9x ＜0，x ∈N *
}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪
⎪
4
y
∈N *
，y ∈N *
，则A ∩B
中元素的个数为________．
解析：解不等式x 2
－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *
}＝
{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y
∈N *，y ∈N *
，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B
＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.
答案：3
10．(xx·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x
≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．
解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24
}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2] 三、解答题
11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2
}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .
解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2
＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.
当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；
当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3.
(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.
12．(xx·福州月考)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ＞2m ，2m ≤1，
1－m ≥3，
解得m ≤－2，
即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得
①若2m ≥1－m ，即m ≥1
3时，B ＝∅，符合题意；
②若2m ＜1－m ，即m ＜13
时，需⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜13，
2m ≥3，
得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜1
3
.
综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．
2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
(二)小题查验 1．判断正误
(1)“x 2
＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )
(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2
＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．
答案：若方程x 2
＋x －m ＝0无实根，则m ≤0 基础盘查二 充分条件与必要条件 (一)循纲忆知
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． (二)小题查验 1．判断正误
(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件( )
(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立( )
(3)q不是p的必要条件时，“p/⇒q”成立( )
答案：(1)√(2)√(3)√
2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；
(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；
(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．
答案：(1)必要(2)充分(3)充要
考点一命题及其相互关系|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
[题组练透]
1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.
2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
[类题通法]
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．命题真假的判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
考点二充分必要条件的判定|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．充分条件与必要条件的相关概念
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．
2．从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．
[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必
要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．
[典题例析]
1．(xx·浙江高考)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD .当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．
2．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．
[类题通法]
充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
[提醒] 区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．
[演练冲关]
1．若p ：|x |＝x ，q ：x 2
＋x ≥0.则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，
q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，
∵A
B ，
∴p 是q 的充分不必要条件．
2．(xx·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π
2
＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋
φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当φ＝π
2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充
分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π
2
＋k π，
k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.
考点三 充分必要条件的应用|(题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]
[典型母题]
已知P ＝{x |x 2
－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．
[解] 由x 2
－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 当S ＝∅时满足S ⊆P ，则1－m ＞1＋m .∴m ＜0. 当S ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，
1＋m ≤10，
∴0≤m ≤3.
综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是(－∞，3].
[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ＝－2，
1＋m ＝10，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，
m ＝9，
即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．
[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[－2,10]
[1－m,1＋m ]．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ≤－2，
1＋m ＞10或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－m ＜－2，
1＋m ≥10.
∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．
[类题通法]
利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数
的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：
(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .
一、选择题
1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充
分条件．
2．(xx·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，假，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.
3．命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题．
4．(xx·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是A ∩B ≠∅”的( )
A ．充分而不必要的条件
B ．必要而不充分的条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
解析：选C 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .。