课时作业12：2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的程度大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数据的平均数和方差分别是()
A．81.2,4.4 B．78.8,4.4
C．81.2,84.4 D．78.8,75.6
3．甲、乙两名运动员在同样条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6,8,9,9,8；乙：10,7,7,7,9，则两名运动员射击成绩的稳定程度是()
A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定
C．甲、乙稳定程度相同D．无法比较
4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()
A．1 B．2
C．3 D．4
5．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数78910
频数5555
乙的成绩
环数78910
频数6446
丙的成绩
环数78910
频数4664
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()
A ．s 3>s 1>s 2
B ．s 2>s 1>s 3
C ．s 1>s 2>s 3
D ．s 2>s 3>s 1
6．期中考试中，班长算出了全班40个同学的数学成绩的平均分为M ，这时恰好班内又转入了一位同学，他的成绩为M ，则现在全班同学的平均分N 为( ) A.40
41M B ．M
C.41
40M D ．无法用M 表示
二、填空题
7．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝ ________.
8．若40个数据的平方和是56，平均数是2
2
，则这组数据的方差是________，标准差是 ________．
9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________． 三、解答题
10．某班40名中学生的某次数学测验成绩统计表如下：
成绩(分) 50 60 70 80 90 100 人数(人)
2
x
10
y
4
2
(1)若这个班的数学平均成绩是69，求x 和y 的值；
(2)设此班40名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求(a －b )2的值； (3)根据以上信息，你认为这个班的数学水平怎么样？
11．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
12．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传递带上每隔30分钟抽取一袋产品，称其质量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下．
甲：102,101,99,98,103,98,99；
乙：110,115,90,85,75,115,110.
(1)化肥厂采用的是什么抽样方法？
(2)根据数据估计这两个车间包装肥料每袋的平均质量；
(3)分析两个车间的技术水平哪个更好些？
参考答案
1.【解析】由平均数、方差的定义及公式可知．
2.【解析】设这组数据为x 1，x 2，…，x n ，都减去80后得到的新数据为x 1′，x 2′，…，x n ′，则x 1′＋x 2′＋…＋x n ′n
＝1.2，
∴x 1＋x 2＋…＋x n n ＝x 1′＋x 2′＋…＋x n ′n ＋80＝81.2.又方差是反映数据离散程度的，故各数据减
去(或加上)同一数据后，方差的大小不变． 【答案】A
3.【解析】x 甲＝6＋8＋9＋9＋8
5＝8，
x 乙＝10＋7＋7＋7＋95
＝8.
s 2甲＝15[(6－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2]＝65， s 2乙＝15[(10－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2]＝85
. ∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲比乙稳定．
【答案】A
4.【解析】依题意可得：
⎩⎨⎧
10＝x ＋y ＋10＋11＋952＝1
5[(x －10)2
＋(y －10)2
＋(10－10)2
＋(11－10)2
＋(9－10)2
]
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20(x －10)2＋(y －10)2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8，y ＝12. 所以|x －y |＝4. 【答案】D 5.【答案】B
6.【解析】设40个同学的成绩分别为x 1，x 2，…，x 40， 则M ＝x 1＋x 2＋…＋x 4040
，
则N ＝x 1＋x 2＋…＋x 40＋M 41＝41M 41＝M .
【答案】B
7.【解析】x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝1
5[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]
＝16
5
＝3.2.
8.【解析】∑
i ＝140
x 2
i ＝56，140∑
i ＝1
40
x i ＝
22，s 2＝140∑i ＝1
40
(x i －x )2 ＝140(∑i ＝140x 2i －2x ∑i ＝1
40x i ＋40x 2)＝910.∴s ＝3
1010. 【答案】910 31010
9.【解析】这10个数的中位数为a ＋b
2＝10.5.
这10个数的平均数为10.
要使总体方差最小，即(a －10)2＋(b －10)2最小． 由a ＋b 2
＝10.5得a ＋b ＝21，b ＝21－a ，
∴(a －10)2＋(b －10)2＝(a －10)2＋(11－a )2＝2a 2－42a ＋221. 当a ＝－－42
2×2＝10.5时，2a 2－42a ＋221最小，此时b ＝10.5.
【答案】10.5、10.5 10.解：(1)x ＝18，y ＝4； (2)a ＝60，b ＝65，(a －b )2＝25；
(3)平均成绩69分，说明40名学生平均分及格．众数为60分，说明大部分学生处于刚及格范围；波动性较小，两极分化不太严重，总体数学水平还可以．
11.解：(1)甲、乙二人五次测试的成绩分别为：甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：
13分，14分，12分，12分，14分．甲、乙二人的平均成绩都是13分，s 2甲＝4，s 2
乙＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙
可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
12.解：(1)化肥厂每隔30分钟抽取一袋产品，相当于把30分钟生产的肥料袋数n 看成一组，然后每隔n 袋抽取一袋，所以属于系统抽样．
(2)x 甲＝17×(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100(kg)，x 乙＝1
7×(110＋115＋90＋85＋75
＋115＋110)＝100(kg)，即抽出的甲、乙两个车间的样本平均数都是100 kg ，据此估计这两个车间包装肥料的平均质量为100 kg.
(3)甲、乙两组数据对应的方差分别为s 2甲＝17×(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)＝247，s 2乙
＝17×(102＋152
＋102＋152＋252＋152＋102)＝1 6007.因为s 2甲＜s 2
乙，所以甲的技术比较好，包装肥料每袋的平均质量相对稳定．。