2019年陕西省汉中市宁强县逸夫中学高三数学理模拟试卷含解析

2019年陕西省汉中市宁强县逸夫中学高三数学理模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的
x∈R，满足f（f（x））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围是（）
A．B．（，+∞）C．[2，+∞） D．（2，+∞）
参考答案：
A
【考点】分段函数的应用．
【分析】作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．
【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=ma+2m2a2，在a∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为ma+2m2a2＞0），
所以：f（x）＞2，即log2x＞2，
解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴ma+2m2a2＞1，a∈（1，+∞），且m＞0，
把m当作主变量，
则不等式等价为2m2a2+ma﹣1＞0，
即（ma+1）（2ma﹣1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等价为2ma﹣1＞0，
即m＞，
∵a＞1，
∴＜，
则m≥，
故正实数m的取值范围是[，+∞）．
故选：A
2. 下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是________．
参考答案：
③
3. 为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长
小于110㎝的株树大约是（）
A.3000
B.6000
C.7000
D.8000
参考答案：
C
4. （5分）（2014?天津一模）阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（）
A． 39 B． 21 C． 81 D． 102
参考答案：
【考点】：循环结构．
【专题】：图表型．
【分析】：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=4时退出循环，即可．
解：第一次循环，S=3，n=2；
第二次循环，S=3+2×32=21，n=3；
第三次循环，S=21+3×33=102，n=4；
第四次循环，不满足条件，输出S=21+3×33=102，
故选D．
【点评】：本题考查循环结构，判断框中n=4退出循环是解题的关键，考查计算能力．
5. 执行右面的程序框图，输出的S的值为
(A) 0 （B）
(C) 1 （D）
参考答案：
B
略
6. 已知数列{}为等差数列，是数列{}的前n项和，，则
的值为
A、－
B、
C、
D、
参考答案：
D
7. 运行如图所示的程序框图，输出i和S的值分别为（）
A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7
参考答案：
C
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据程序框图，依次进行运行，直到满足条件即可得到结论．
【解答】解：模拟循环，r=1，不满足条件，n=2，
r=2，满足条件，i=2，S=2，n=3，
r=0，不满足条件，n=4，
r=1，不满足条件，n=5，
r=2，满足条件，i=2，S=7，n=6，
r=0，不满足条件，n=7，
r=1，不满足条件，n=8，
r=2，满足条件，i=3，S=15，n=9，
r=0，不满足条件，n=10，退出循环，输出i=3，S=15，
故选：C．
8. 与向量=（，1），=（1，）的夹角相等且模为的向量
为（）
A． B.
C．D。

参考答案：
C
9. 复数z=i2(1+i)的虚部为（）
A. 1
B. i
C. -
1 D. – i
参考答案：
C
略
10. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC=．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先根据向量的数量积公式可得?=||?||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．
【解答】解：∵AB=3，AC=4，，
∴?=||?||cosA=6，
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB??cosA=9+16﹣12=13，
∴BC=，
故答案为：．
12. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为__________．
参考答案：
6
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，将目标函数化为，利用数形结合即可的得到结论．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由得直线l：，
平移直线l，由图象可知当直线l经过点时截距最小，此时最大，．
即的最大值是6。

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
13. 已知则在方程有实数根的条件下，又满足m≥n的概率为
参考答案：
略
14. 如果随机变量，且，则________．
参考答案：
略
15. 已知数列的前项和为，则 .
参考答案：
16. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标系方程为
，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，则与的交点A的直角坐标是▲
参考答案：
略
17. 如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为．
参考答案：
12
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在三棱锥P—ABC中，PB平面ABC，AB BC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点.
（I）求证：平面BCG平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN BE？证明你的结论.
参考答案：
略
19. （12分）中，角、、所对应的边分别为、、，
若.
(1)求角；
(2)若，求的单调递增区间.
参考答案：
解：(1)由，得，
即，由余弦定理，得，∴；…………6分(2)
……9分由，得，故的单调递增区间
为，
. (1)
2分
略
20. 已知数列{a n}的前n项的和S n=n2﹣n．
（1）求{a n}的通项公式a n；
（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用递推关系即可得出；
（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵S n=n2﹣n，
∴当n=1时，a1==1；
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣=3n﹣2．
当n=1时，上式成立，∴a n=3n﹣2．
（2）a n+1+≥λ，即3n+1+≥λ，化为：λ≤，
∵当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，
∴λ≤，
∵≥+15≥12+15=27，当且仅当n=2时取等号．
∴λ≤9．
∴实数λ的取值范围是λ≤9．
【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. （本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于的方程有解，求实数的取值范围.
参考答案：
见解析
【考点】导数的综合运用
【试题解析】
（Ⅰ）函数的定义域为.
.
当时，,
令，得，
所以随的变化情况如下表：
所以在处取得极小值, 无极大值.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）因为关于的方程有解,
令，则问题等价于函数存在零点,
所以.
令，得.
当时，对成立，函数在上单调递减，而，
，
所以函数存在零点. …………………………….11分
当时，随的变化情况如下表：
+
↘
所以为函数的最小值,
当时，即时，函数没有零点,
当时，即时，注意到, 所以函数存在零点. 综上，当或时，关于的方程有解.
法二：
因为关于的方程有解，
所以问题等价于方程有解，
令，所以,
令，得
当时，随的变化情况如下表：
↗↘
所以函数在处取得最大值，而.
，
所以函数存在零点.
当时，随的变化情况如下表：
↘↗
所以函数在处取得最小值，而.
当时，即时，函数不存在零点.当，即时，
所以函数存在零点.
综上，当或时，关于的方程有解.
法三：因为关于的方程有解，
所以问题等价于方程有解，
设函数，所以.
令，得，
随的变化情况如下表：
↗↘
所以函数在处取得最大值，而，
又当时，, 所以,
所以函数的值域为,
所以当时，关于的方程有解，
所以.
22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（I）当a=4时，求不等式≥5的解集；
（II）若）≥4对a∈R恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
（I）{x|x≤0，或x≥5 }；（Ⅱ）a≤﹣3，或a≥5
【知识点】带绝对值的函数；绝对值不等式．
（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于
，或，或．解得：x≤0或x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）
所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）
由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）
【思路点拨】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，
或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，即可解得 a的值．。