2021年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学模拟试卷(附答案详解)

2021年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学模拟
试卷
1. 有下列实数：1
2，3，0，−√2，0.35，−π，其中最小的实数是( )
A. −π
B. 0
C. −√2
D. 0.35
2. 下列计算正确的是( )
A. √83=±2
B. −√−73=√−73
C. −√169=−43
D. √49=±2
3
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A.
B.
C.
D.
4. 要将抛物线y =x 2+2x +3平移后得到抛物线y =x 2，下列平移方法正确的是( )
A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5. 一组数据有四个，方差为10，若增加一个数恰好是该组数据的平均数，那么这五
个数的方差是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
6. 不等式组{x +1>0
2x −6≤0
的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB
上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△
PCD的面积之差为()
A. 5
B. 10
C. l5
D. 20
8.将直线y=2x−3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达
式为()
A. y=2x−4
B. y=2x+4
C. y=2x+2
D. y=2x−2
9.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽
马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为()
A. 240x=150x+12×150
B. 240x=150x−12×150
C. 240(x−12)=150x+150
D. 240x+150x=12×15
10.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间有下列关系：
x…−3−20…
y…3−1.68−1.68…
那么b
a
(a+b)的值为()
A. 6
B. −6
C. 3
2D. −3
2
11.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC
上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为()
A. 2
B. √2
C. 1
D. 2√2
12.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为√2的正方形ABCD与边
长为√5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时BE的长为()
A. 1
B. 3
C. √2
D. 3√2−4
13.2019年4月10日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的65亿倍，距离地球
大约55000000光年，将数据55000000用科学记数法表示为______．
14.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD
是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的
角度为______．
15.在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有
3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是______．
16.如图，正五边形FGHIJ的顶点在正
五边形ABCDE的边上，若∠AFJ=
20°，则∠CGH=______°.
17. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，
AD ⊥l ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE.若AE =6，OA =5，则线段DC 的长为______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在
原点O 处，且∠AOC =60°，A 点的坐标是(0,4)，则直线AC 的表达式是______．
19. 计算：(1
3)−1−6tan30°+|−√12|−(π+2019)0
20. 先化简，再求值：(2−
3x+3x+2
)÷
x 2−2x+1x+2
，其中x =3．
21. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网
等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生人；
(4)在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰
好是爱好阅读的学生的概率是．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点
B作AD的平行线，两线交于点E．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=5
，求cos∠AED的值．
2
23.为准备趣味跳绳比赛，王老师花100元买了若干条跳绳，已知商店里的跳绳规格与
价格如下表：
规格A型B型C型
跳绳长度(米)4812
价格(元/条)469
(1)若购买了三种跳绳，其中B型跳绳和C型跳绳的条数同样多，且所有跳绳的总
长度为120米，求购买A型跳绳的条数；
(2)若购买的A型跳绳有13条，则购买的所有跳绳的总长度为多少米？
24.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别
为∠DAB和∠CBA的平分线．
(1)请你添加一个适当的条件______，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你
的结论；
(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O(要求：尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法)；
(3)在(2)的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，
sin∠AGF=4
，求⊙O的半径．
5
25.定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
(1)如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为
“智慧三角形”(画出点C的位置，保留作图痕迹)；
CD，
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1
4试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一
点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．
26.已如直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=−12x2+bx+c
经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标：
(2)设点M是直线AD上一点，且S△AOM：S△OMD=1：3，求点M的坐标；
(3)如果点C(2,y)在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等
腰三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵−π<−√2<0<0.35<1
2<3， ∴最小的实数是−π， 故选：A ．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：A 、√83=2，故选项错误；
B 、−√−73=√73，故选项错误；
C 、−√169
=−43
，故选项正确；
D 、√49
=23
，故选项错误．
故选：C ．
A 和
B 根据立方根的定义即可求解；
C 和
D 根据算术平方根的定义即可求解．
本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a(x 3=a)，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．
3.【答案】B
【解析】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱，
故答案为三棱柱．
如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，
同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4.【答案】D
【解析】解：y=x2+2x+3=(x+1)2+2，该抛物线的顶点坐标是(−1,2)，抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0)，
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．故选：D．
原抛物线顶点坐标为(−1,2)，平移后抛物线顶点坐标为(0,0)，由此确定平移规律．
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
5.【答案】B
【解析】[分析]
[(a−x−)2+(b−x−)2+设前4个数为a、b、c、d，平均数为x−，根据方差公式得到10=1
4
[(c−x−)2+(d−x−)2]，然后利用整体代入的方法计算这五个数的方差即可．
本题考查了方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
[详解]
[(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+解：设前4个数为a、b、c、d，平均数为x−，则10=1
4
(d−x−)2],
所以(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+(d−x−)2=40,
[(a−x−)2+(b−x−)2+[(c−x−)2+(d−x−)2+(x−−x−)2]=
所以这五个数的方差=1
5
1
(40+0)=8．
5
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：{x+1>0 ①
2x−6≤0 ②
，
解①得x>−1，
解②得x≤3，
所以不等式组的解集为−1<x≤3．
故选：C．
分别解两个不等式得到x>−1和x≤3，从而得到不等式组的解集为−1<x≤3，然后利用此解集对各选项进行判断．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7.【答案】B
【解析】解：依题意
∵△PAB与△PCD均为等腰直角三角形
∴PB=PB，PC=PD
∴S△PAB−S△PCD=1
2
PD2−
1
2
PA2
=1
2
(PA+PD)(PA−PD)
=1
2
(PB−PC)(PA+PD)
=1
2
BC(PA+PD)，
又∵S△ABC+S△BCD=1
2BC⋅PA+1
2
BC⋅PD=1
2
BC⋅(PA+PD)=10∴S△PAB−S△PCD=10
故选：B．
S△ABC+S△BCD=1
2BC⋅PA+1
2
BC⋅PD=1
2
BC⋅(PA+PD)=10，要求△PAB与△PCD的
面积之差，即1
2PA2−1
2
PB2=1
2
(PA+PD)(PA−PD)=1
2
(PB−PC)(PA+PD)=
1
2
BC(PA+PD)，即可求
此题主要考查等腰直角三角形的面积计算，平方差公式．
8.【答案】A
【解析】解：y=2(x−2)−3+3=2x−4．
化简，得
y=2x−4，
故选：A．
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x=150x+12×150，
故选：A．
设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线经过点(−2,−1.68)，(0,−1.68)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
=−1，b=2a，
即−b
2a
∵x=−3和x=1对应的函数值相等，
∴x=1时，y=3，即a+b+c=3，
(a+b+c)=2×3=6．
∴b
a
故选：A．
=−1，所以b=2a，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则−b
2a
再利用x=−3和x=1对应的函数值相等得到a+b+c=3，然后利用整体代入的方法(a+b+c)的值．
计算b
a
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11.【答案】B
【解析】解：连接CF，
∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，
∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF
∴△ABD≌△ACF(SAS)
∴∠ABD=∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
∴CF⊥BC
∴点F在过点C且垂直BC的直线上，
∴当PF⊥CF时，PF的值最小
=√2
∴PF的最小值=
√2
故选：B．
由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点F 的轨迹是本题的关键．
12.【答案】B
【解析】[分析]
本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，解本题的关键是全等三角形的性质和判定以及勾股定理的综合应用．
由正方形的性质可证△ADG≌△ABE(SAS)，因此可证得DG=BE；
过点A作AM⊥DG交DG于点M，根据正方形的性质可证得DM=AM=1，然后根据勾股定理可求得GM的长，进而可求得BE=DG=DM+GM；
[详解]
解：
如图2，
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，{AD=AB
∠DAG=∠BAE AG=AE
，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴DG=BE，
过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠MDA=∠MAD=∠MAB=45°，BD=2，∴AM=1
2
BD=1，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2，
∴GM=2，
∵DG=DM+GM=1+2=3，
∴BE=DG=3．
故选B．
13.【答案】5.5×107
【解析】解：55000000=5.5×107．
故答案为：5.5×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】90°
【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°．
故答案为：90°．
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
15.【答案】100
=0.03，
【解析】解：由题意可得，3
n
解得，n=100．
故估计n大约是100．
故答案为：100．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比
例关系入手，列出方程求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】52
【解析】解：正五边形的内角均为：540°÷5=108°，
∴∠BFG=180°−∠AFJ−∠GFJ=180°−20°−108°=52°，
∴∠BGF=180°−∠B−∠BFG=180°−108°−52°=20°，
∴∠CGH=180°−∠BGF−∠FGH=180°−20°−108°=52°，
故答案为：52．
先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．
本题考查多边形的内角与外角，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．
17.【答案】4
【解析】解：OC交BE于F，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥l，
∴BE//CD，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
在Rt△ABE中，BE=√AB2−AE2=√102−62=8，
∵OF⊥BE，
∴BF=EF=4，
∴CD=4．
故答案为4．
OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE//CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CD= EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形．
18.【答案】y=−√3
3
x+4
【解析】解：如图，
，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是(0,4)，得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
∴CD=2，OD=2√3，
∴C(2√3,2)．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
{2√3k+b=2
b=4
，
解得{k=−√3
3
b=4
，
直线AC的表达式是y=−√3
3
x+4，
故答案为：y=−√3
3
x+4．
根据菱形的性质，可得OC的长，根据含30°的直角三角形及勾股定理，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据含30°的直角三角形及勾股定理得出C
点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
19.【答案】解：(13)−1−6tan30°+|−√12|−(π+2019)0
=3−6×√33+2√3−1 =2−2√3+2√3
=2
【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：(2−3x+3x+2)÷x 2−2x+1x+2
=[
2(x +2)x +2−3x +3x +2]×x +2(x −1)2 =
−x +1x +2×x +2(x −1)2
=−1x−1， 当x =3时，原式=−13−1=−12．
【解析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x 的值代入求解可得．
21.【答案】(1)100；
(2)爱好上网的人数所占百分比为10%
∴爱好上网人数为：100×10%=10，
∴爱好阅读人数为：100−40−20−10=30，
补全条形统计图，如图所示，
(3)600；
(4)3
.
10
【解析】解：(1)爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：40÷40%=100，
故答案为：100；
(2)见答案；
(3)爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，
∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600，
故答案为：600；
(4)爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为3
，
10
故答案为：3
．
10
(1)根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；
(2)根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．
(3)利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
(4)根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22.【答案】证明：(1)∵AE//BC，BE//AD，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD ⊥BC ．
即∠ADB =90°．
∴四边形ADBE 为矩形．
(2)∵在矩形ADBE 中，AO =52，
∴DE =AB =5．
∵D 是BC 的中点，
∴AE =DB =4，
∵四边形ADBE 为矩形，
∴∠DAE =90°，
∴在Rt △ADE 中，cos∠AED =AE DE =45．
【解析】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
(1)只要证明四边形ADBE 是平行四边形，且∠ADB =90°即可；
(2)求出AE 、DE ，在Rt △ADE 中，根据cos∠AED =AE DE 计算即可．
23.【答案】解：(1)设购买的A 型跳绳x 条，B 型跳绳和C 型跳绳的条数为y 条，可得：{4x +6y +9y =1004x +8y +12y =120
， 可得：{x =10y =4
， 答：购买A 型跳绳的条数为10条；
(2)当购买的A 型跳绳有13条，设B 型跳绳和C 型跳绳的条数为a 条，
可得：{4×13+8a +12a ≤1204×13+6a +9a ≤100
， 解得：a ≤3.2，
∵a >0，且为整数，
∴a =3最大，
所以购买的所有跳绳的总长度为13×4+8×3+12×3=112．
答：购买的所有跳绳的总长度为112米．
【解析】(1)设购买的A 型跳绳x 条，B 型跳绳和C 型跳绳的条数为y 条，进而列出方程组解答即可；
(2)根据购买的A型跳绳有13条，进而得出购买的所有跳绳的总长度即可．
本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
24.【答案】解：(1)AD=BC
(2)作出相应的图形，如图所示；
(3)∵AD//BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5=AE
AB
，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
【解析】
解：(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
(2)(3)见答案
【分析】(1)添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
(2)作出相应的图形，如图所示；
(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE 为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据
sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1所示：
(2)△AEF是“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=2a，
∵CD：FC=4：1，
∴FC=a，DF=4a−a=3a，
在Rt△ABE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2，
在Rt△ECF中，EF2=(2a)2+a2=5a2，
在Rt△ADF中，AF2=(4a)2+(3a)2=25a2，
∴AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
(3)如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP =1，
∴PQ 最小时，△POQ 的面积最小，
即OQ 最小，
由垂线段最短可得斜边最小为3，
由勾股定理可得PQ =√32−12=2√2，
根据面积得，12OQ ×PM =12OP ×PQ ，
∴PM =1×2√2÷3=2√23， 由勾股定理可求得OM =(2√23)=13
， 故点P 的坐标(−2√23,13)，(2√23,13
).
【解析】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF 的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键．
(1)连结AO 并且延长交圆于C 1，连结BO 并且延长交圆于C 2，即可求解；
(2)设正方形的边长为4a ，表示出DF 、CF 以及EC 、BE 的长，然后根据勾股定理列式表示出AF 2、EF 2、AE 2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF 是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF 为“智慧三角形”；
(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P 的横坐标，再根据勾股定理可求点P 的纵坐标，从而求解．
26.【答案】解：(1)y =2x +4，令x =0，则y =4，令y =0，则x =−2， 故点A 、D 的坐标分别为(−2,0)、(0,4)，
将点A 、D 的坐标代入二次函数表达式得：{0=−12×4−2b +c c =4，解得：{b =−22c =4
， 故抛物线的表达式为：y =−12x 2−22x +4，
令y =0，则x =−2或16，
故点B(16,0)；
(2)①当点M 在线段AD 上时，
如下图，过点M 作MH ⊥x 轴交于点H ，
tan∠DAO =OD OA =2，则sin∠DAO =
√5， ∵S △AOM ：S △OMD =1：3， ∴AM =14AD =14×√22+42=
√52， 则MH =AMsin∠DAO =√52
×√5=1，
则点M(−32,1)；
②当点M(M′)在x 轴下方的直线AD 上时，
同理可得：点M(−52,−1)；
故点M 的坐标为：点M(−32,1)或(−52,−1)；
(3)存在，理由：
点C(2,y)在条抛物线上，则点D(2,−88)，
△BCP为等腰三角形，只有PB=BC一种情况，设点P(0,m)，(m>0)
PB2=BC2，即1
36+m2=(2−1
6
)2+882，
解得：m=√69724
3
(负值已舍去)，
故点P的坐标为：(0,√69724
3
).
【解析】(1)将点A、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
(2)分当点M在线段AD上、点M(M′)在x轴下方的直线AD上两种情况，分别求解即可；
(3)△BCP为等腰三角形，只有PB=BC一种情况，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数、面积的计算等，其中(2)、(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。