宁夏银川九中九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A. x=2y−3
B. 2x2+1=3
C. x2+3x−1=x2+1
D. x2=0
2.四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（ ）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 不能确定
3.小明外出游玩，带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤，他任意
拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是（ ）
A. 12
B. 15
C. 16
D. 19
4.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x
的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09
A. 3<x<3.23
B. 3.23<x<3.24
C. 3.24<x<3.25
D. 3.25<x<3.26
5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是
矩形；④当AC=BD时，它是正方形．
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
6.如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修
建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，
已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？
（ ）
A. 1m
B. 1.5m
C. 2m
D. 2.5m
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分
线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF
等于（）
A. 80∘
B. 70∘
C. 65∘
D. 60∘
8.小明和小亮利用军旗玩一种游戏，规定两人一次同时出“连长、工兵、地雷”中的任
一种，游戏规则是：连长胜工兵，工兵胜地雷，地雷胜连长；其他情况不能决出胜负，则小明在游戏中胜出的概率是（ ）
A. 12
B. 13
C. 23
D. 以上都不对
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.方程（x+5）（x-7）=-26，化成一般形式是______，其二次项的系数和一次项系数
的和是______．
10.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是
菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
11.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草
鱼的概率是51%和26%，则水库里有______尾鲫鱼．
12.如果方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是______．
13.直角三角形中两边长分别是5和3，则斜边上中线长为______．
14.如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c=______，该方程的另一根为______．
15.一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3
个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，记录颜色后均放回搅匀．在连续5次摸出的都是黑球的情况下，第6次摸出红球的概率是______．
16.某工厂计划从2015年到2017年把某种产品的成本下降19%，则平均每年降价的百
分率是______．
三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）
17.解方程：x2-2x-8=0．
18.某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个
月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
四、解答题（本大题共8小题，共59.0分）
19.7x（5x+2）=6（5x+2）
20.（x-3）（x+2）=6．
21.用适当的方法解方程3x2+5（2x+1）=0．
22.已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC
于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
23.甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内
标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C
点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出
发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？
25.已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A
坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，
使C点落在D点处，求D点坐标．
26.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，
AG⊥CE；
当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．
①求证：AG⊥CH；
②当AD=4，DG=2时，求四边形ACDG的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、是二元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先
要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2.【答案】D
【解析】
解：对角线互相垂直且相等，但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形，因为这三种四边形的对角线都互相平分．
故选：D．
根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
3.【答案】C
【解析】
解：易得共有3×2=6种可能，正好是棕色上衣和蓝色长裤的有1种，所以他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率，故选C．
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
情况较少可用列举法求概率，采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】C
【解析】
解：∵x=3.24，ax2+bx+c=-0.02，
x=3.25，ax2+bx+c=0.03，
∴3.24＜x＜3.25时，ax2+bx+c=0，
即方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：C．
利用x=3.24，ax2+bx+c=-0.02，而x=3.25，ax2+bx+c=0.03，则可判断方程
ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5.【答案】A
【解析】
解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四
边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形
正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；
故不正确的有1个．
故选：A．
根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．
6.【答案】A
【解析】
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（30-x）（24-x）=30×24-53，
解得：x=53（舍去）或x=1．
答：修建的路宽为1米．
故选：A．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
7.【答案】D
【解析】
解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，
∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故选：D．
连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
解：用A、B、C分别代表连长、工兵、地雷作树状图：
共有9种结果，小明在游戏中胜出的情况有3种，
则小明在游戏中胜出的概率是=．
故选：B．
先根据题意画出树状图，再根据概率公式计算即可．
此题考查了概率，关键是根据题意画出树状图，用到的知识点是概率公式．9.【答案】x2-2x-9=0 -1
【解析】
解：①由方程（x+5）（x-7）=-26，得
x2-2x-35=-26，
即x2-2x-9=0；
②x2-2x-9=0的二次项系数是1，一次项系数是-2，
所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（-2）=-1；
故答案为：x2-2x-9=0；-1．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次
项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，在去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
10.【答案】AD=BC或ABCD是以AD、BC为腰的等腰梯形（答案不唯一）
【解析】
解：条件是AD=BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥=BC，GF∥=BC，
∴EH∥=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，
∴GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是
AD=BC．等．答案不唯一．
此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定．
11.【答案】460
【解析】
解：鲫鱼的概率为1-51%-26%=0.23．
故鲫鱼的尾数为0.23×2000=460．
故水库里有460尾鲫鱼．
故答案为：460．
计算出鲫鱼的概率，利用概率公式求出鲫鱼的尾数即可．
本题考查了利用频率估计概率，关键是熟悉各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=频数数据总和．
12.【答案】94
【解析】
解：∵方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×m=9-4m=0，
解得：m=．
故答案为：．
由方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△=b2-4ac=0，即
可得方程9-4m=0，解此方程即可求得答案．
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程
有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
13.【答案】2.5或342
【解析】
解：直角三角形中两边长分别是5和3，
当3为直角边，5为斜边时，
由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可知
斜边上中线长为2.5；
当3、5都为直角边时，
斜边长为=，
斜边上中线长为
故此题应该填2.5或．
由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得斜边上中线长；本题要分两种情况讨论：①当3为直角边，5为斜边时，可求得中线长；②当3、5都为直角边时，此时由勾股定理求得斜边长，即可得出中线长．
本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的运用和直角三角形的性质以
及分类讨论思想．
14.【答案】2 2
【解析】
解：根据题意知，x=1满足方程x2-3x+c=0，则12-3×1+c=0，
解得，c=2．
设方程的另一根为x2．则1+x2=3，则x2=2．
故答案是：2，2．
把x=1代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值；由根与系数的关系求方程的另一根．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个
数代替未知数所得式子仍然成立．
15.【答案】15
【解析】
解：因为每次只摸出一只小球时，布袋中共有小球10个，其中红球2个，
所以第6次摸出红球的概率是=，
故答案为：．
根据概率的意义解答．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为．
16.【答案】10%
【解析】
解：设平均每年的百分率是x，成本基数为1，根据题意得（1-x）2=1-19%
解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）
所以平均每年的百分率是10%．
故答案是：10%．
设平均每年的百分率是x，成本基数为1，根据“产品的成本下降19%”作为相
等关系列方程（1-x）2=1-19%，解方程即可求解．要注意根据实际意义进行值的
取舍．
考查了一元二次方程的应用，在不明确成本的情况下，可以设成本为1，无单位，利用下降率的模型，列方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
17.【答案】解：原方程化为（x+2）（x-4）=0，
解得x+2=0，x-4=0，
x1=-2，x2=4．
【解析】
方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18.【答案】解：设销售单价定为x元，根据题意得：
（x-40）[500-（x-50）÷0.1]=8000．
解得：x1=60，x2=80
当售价为60时，月成本[500-（60-50）÷0.1]×40=16000＞10000，所以舍去．
当售价为80时，月成本[500-（80-50）÷0.1]×40=8000＜10000．
答：销售单价定为80元．
【解析】
设出单价应定为x元，由于销售利润=每件利润×数量，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．
此题考查了一元二次方程的应用，根据销售利润=每件利润×数量这个等式列出方程是解决本题的关键．
19.【答案】解：去括号得：35x2+14x=30x+12，
移项得：35x2-16x-12=0，
∵b2-4ac=（-16）2-4×35×（-12）=1936，
∴x=16±19362×35=16±442×35，
∴x1=67，x2=-25．
【解析】
去括号后移项、合并同类项得出x2-16x-12=0，求出b2-4ac的值，再代入x=求出即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，主要考查学生解方程的能力，题目比较好，难度也适中．
20.【答案】解：由原方程，得
x2-x-12=0，即（x+3）（x-4）=0，
所以，x+3=0或x-4=0，
解得，x1=-3，x2=4．
【解析】
先将原方程转化为一般式方程，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．21.【答案】解：整理原方程，得：3x2+10x+5=0，
a=3，b=10，c=5，
b2-4ac=100-60=40＞0，
x=−10±2106=−5±103，
∴x1=−5+103，x2=−5−103．
【解析】
将原方程化为一般式，然后用公式法解方程．
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出b2-4ac的值；
③若b2-4ac≥0，则把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式x=
，求出x1、x2；若b2-4ac＜0，则方程没有实数根．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COF中，∠EAO=FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形．
【解析】
由平行四边形的性质得出∠EAO=∠FCO，由线段垂直平分线的性质得出
OA=OC，AE=CE，由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23.【答案】解：方法一画树状图
（5分）
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）=0.5（7分）
方法二列表如下：
1234
51+5=62+5=73+5=84+5=9
61+6=72+6=83+6=94+6=10
71+7=82+7=93+7=104+7=11
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）=0.5（7分）；
（2）∵P（和为奇数）=0.5，
∴P（和为偶数）=0.5（9分），
∴这个游戏规则对双方是公平的．（10分）
【解析】
本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6-x）m，
则12×2x（6-x）=13×12×8×6，
解得：x=2或x=4．
则经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的13；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有CPCA=CQCB或CPCB=CQCA，
所以2t8=6−t6，或2t6=6−t8，
解得t=125，或t=1811．
因此，经过125秒或1811秒，△OCQ与△ACB相似；
【解析】
（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求
解；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知
∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有=或=，分别代入可得到关于t
的方程，可求得t的值；
本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程，再求解．
25.【答案】解：由题意得OA=3，∠OAB=60°，
∴OB=3×tan60°=33
∵△ACB≌△ADB
∴AD=AC=OB，
过D作DE⊥y轴于点E
∵∠OAD=30°
∴ED=332
∵cos30°=OA+EOAD
那么OE=33×32-3=1.5
D（332，-1.5）．
【解析】
利用三角函数可得到OB长，根据翻折得到的对应线段相等，也就得到了AD、AC长度，过D向y轴引垂线后，利用三角函数，可得到点D的横坐标，AE的值，进而求得OE的长，点E的纵坐标．
翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
26.【答案】解：如图2，AG=CE成立成立，
∵∠CDE+∠EDA=∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，DG=DE∠ADG=∠CDEAD=CD，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE；
如图3，连接AC，BD交于O，
①同（1）可证△ADG≌△CDE，
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠DCM+∠DMC=90°，
∴∠DAG+∠AMH=90°，
∴AG⊥CH；
②∵∠EDF=∠EDC=45°，DG=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2AD=42，AC⊥BD，
∴DO=12BD=22，
∵∠DAC=∠ADG=45°，
∴DG∥AC，
∴四边形ACDG的面积=12（AC+DG）•OD=12（42+2）×22=10．
【解析】
如图2，利用SAS证△ADG≌△CDE即可；
如图3，①同样先证明△ADG≌△CDE，得出∠DAG=∠DCE，而
∠DCM+∠DMC=90°，从而∠DAG+∠AMH=90°，结论显然；
②连接AC、CG，注意到DG∥AC，△GAC与△DAC的面积相等，于是考虑用等积变换，求出AG即可求出CH；
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌
握正方形的性质是解题的关键．。