【数学】河南省新乡市2016-2017学年高一(下)期末试卷(理)(解析版)

河南省新乡市2016-2017学年高一（下）期末考试
数学试卷（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（）A．至多有一次击中目标B．三次都不击中目标
C．三次都击中目标D．只有一次击中目标
2．（5分）设向量=（1，2），=（m+1，﹣m），⊥，则实数m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．
3．（5分）若角θ满足sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ是（）
A．第一象限角或第二象限角B．第二象限角或第四象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．（5分）在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为（）
A．1万元B．2万元C．3万元D．4万元
5．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（）A．80 B．70 C．60 D．50
6．（5分）已知，sinα+cosα=，则（）
A．﹣ B．C．D．
7．（5分）从某工厂生产的P，Q两种型号的玻璃种分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P组数据的众数和Q组数据的中位数分别为（）
A．22和22.5 B．21.5和23 C．22和22 D．21.5和22.5
8．（5分）非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（﹣3），则与夹角的大小为（）
A．B． C．D．
9．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）
A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米
10．（5分）若将函数y=cos（2x﹣）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
11．（5分）若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“穿越点”x0，在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”的概率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（x B，y B），D（x，y D），记S（m）=|x B﹣x D|，则S（m）的图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知α的终边过点（a，﹣2），若，则a=．
14．（5分）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可以用随机模拟方法近似计算M的面积，在正方向ABCD中随机投掷3600个点，若恰好有1200个点落入M 中，则M的面积的近似值为．
15．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．
16．（5分）已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），则样本数据2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）化简：；
（2）已知，求的值．
18．（12分）如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，，设，，试用a，b表示，，．
19．（12分）一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：
该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程．
（1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程=x+；
（若（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．
由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）
参考公式：．
20．（12分）已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足=（﹣3，m+1），=（n，3），=（7，4），且⊥，其中O为坐标原点．
（1）求实数m、n的值；
（2）若点A的纵坐标小于3，求cos∠AOC的值．
21．（12分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6≤x≤8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7≤y≤9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M．（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；
（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．
（1）若，求x1的值；
（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC 的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．
【参考答案】
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．B
【解析】一个人连续射击三次，
事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都不击中目标”．
故选B．
2．B
【解析】∵⊥，
∴•=m+1+2（﹣m）=0，
解得m=1．
故选B．
3．D
【解析】∵sinθ＜0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y轴的非正半轴上，又tanθ＜0，∴θ为第二或第四象限角，
取交集得：θ为第四象限角．
故选D．
4．C
【解析】由频率分布直方图得：
12时到14时的销售额所占频率为0.25+0.1=0.35，
10时到11时的销售额所占频率为：1﹣0.1﹣0.4﹣0.25﹣0.1=0.15，
∵12时到14时的销售额为7万元，
∴10时到11时的销售额为：=3（万元）．
故选C．
5．A
【解析】因为，所以n=80．
故选A．
6．D
【解析】已知，sinα+cosα=，
∴1+2sinα•cosα=，∴sinαcosα=﹣，
∴sinα＞0，cosα＜0．
再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，
∴==﹣，
故选D．
7．A
【解析】由茎叶图知：
P组数据的众数为22，
Q组数据的中位数为：=22.5．
故选A．
8．C
【解析】设与夹角的大小为θ，则θ∈[0，π]，∵||=||，且（﹣）⊥（﹣3），∴（﹣）•（﹣3）=﹣4•+3=3﹣4•cosθ+3=0，cosθ=，∴θ=，
故选C．
9．C
【解析】如图，由题意可得：∠AOB=，OA=6，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，
可得：矢=6﹣3=3，
由AD=AO•sin=6×=3，
可得：弦=2AD=2×3=6，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（6×3+32）=9+4.5≈20平方米．
故选C．
10．D
【解析】将函数y=cos（2x﹣）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（x﹣）的图象；
再向右平移个单位，可得y=cos（x﹣﹣）=cos（x﹣）的图象，
令x﹣=kπ，求得x=kπ+，k∈Z．
令k=0，可得所得函数图象的一条对称轴为得x=，
故选D．
11．C
【解析】函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”，
所以lg=lg成立，即，
整理得，由＞0，得到＜0，解得，所以函数f（x）=lg
在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”a的范围是（，3），
所以在区间（0，5]上任取一个数a，则函数f（x）=lg在（﹣∞，+∞）上有“穿越点”的概率为：；
故选C．
12．B
【解析】设B，C两点关于直线x=a对称，D，E两点关于直线x=b对称，f（x）的最小正周期为T，
则b﹣a=T，
∵f（x）图象是中心对称图形，设f（x）的对称中心为（c，0），则x E=2c﹣x B，x D=2c﹣x C，
∴x E﹣x D=x C﹣x B，
∵f（x）是轴对称图形，
∴a﹣x B=b﹣x D，
∴|x B﹣x D|=b﹣a=T，
故S（m）是常数函数，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．﹣6
【解析】∵α的终边过点（a，﹣2），
∴tanα=﹣，
∵，
∴tanα=，
∴﹣=，
解得a=﹣6，
故答案为﹣6.
14．
【解析】由题意可知==，
∴S M=．
故答案为．
15．﹣
【解析】∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），
∴=（﹣1，﹣2），=（2，2），
∴向量在方向上的投影为：==﹣．故答案为．
16．9或﹣7
【解析】设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a，
∵样本数据a1，a2，a3，a4，a5的方差s2=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），∴S2=[（a1﹣a）2+（a2﹣a）2+（a3﹣a）2+（a4﹣a）2+（a5﹣a）2]
=[a12+a22+a32+a42+a52﹣2（a1+a2+a3+a4+a5）a+5a2]
=（a12+a22+a32+a42+a52﹣5a2）
=（a12+a22+a32+a42+a52﹣80），
∴5a2=80，解得a=±4，
∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1，2a5+1的平均数为2a+1，
当a=4时，2a+1=9
当a=﹣4时，2a+1=﹣7．
故答案为9或﹣7．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．解：（1）原式=．
（2）因为
所以．
18．解：因为，，
所以．
因为，所以，
所以．
19．解：（1）∵=11，=24，
∴=，
故=﹣=﹣，
故y关于x的方程是：=x﹣；
（2）∵x=10时，=，
误差是|﹣22|=＜1，
x=6时，=，误差是|﹣12|=＜1，
故该小组所得线性回归方程是理想的．
20．解：（1）∵=（﹣3，m+1），=（n，3），且⊥，
∴•=﹣3n+3m+3=0，即n﹣m=1①，
又=（7，4），∴=（7﹣（﹣3），4﹣（m+1））=（10，3﹣m），
∵三点A、B、C在一条直线上，
∴=k，即（n+3，3﹣（m+1））=k（10，3﹣m），整理得：=②，联立①②，解得：或．
（2）∵点A的纵坐标小于3，
∴m+1＜3，即m＜2，∴m=1，n=2，
∴=（﹣3，2），又=（7，4），
∴cos∠AOC====﹣．
21．解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；
则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}，
整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}整点
有3个．
是一个古典几何概型，所以P（M）=
（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；
则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ=4，
事件M所构成的区域为A={（X，Y）|6≤X≤8，7≤Y≤9，X≥Y}即图中的阴影部分，面积为S A=0.5．这是一个几何概型，所以P（M）==．
22．解：（1）由三角函数的定义有，x1=cosα，
因为，
所以，
所以，
即．
（2）由图可知S1=cosαsinα，，
所以，
化简得=
=，
其中，，．
因为，所以，从而，由上可知，，
所以，当时，．。