高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数必考点文

专题二 函数与导数
必考点一 函数概念与性质
[高考预测]——运筹帷幄
1．根据函数解析式求解函数的定义域或值域． 2．考查分段函数的求值或已知函数值求自变量取值等． 3．考查函数的性质的判定及应用． [速解必备]——决胜千里 1．有关函数的奇偶性问题
(1)若f (x )是奇函数，且x ＝0有意义时，则f (0)＝0；
(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶． 2．有关函数的对称性问题
(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝
a ＋b
2
对称．
(3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 3．有关函数的周期性问题
(1)若函数y ＝f (x )的图象有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；
(2)若函数y ＝f (x )的图象有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；
(3)如果函数y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ，c )和一条对称轴x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝4|a －b |.
(4)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； (5)若f (x ＋a )＝
1f x
(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ； (6)若f (x ＋a )＝－
1
f x
(a ≠0)恒成立，则T ＝2a .
[速解方略]——不拘一格
类型一 函数表示及定义域、值域
[例1] (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，选B. 答案：B
方略点评：此题型视2x ＋1为整体，使之在f
x 的定义域内再求解x .
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 2
－x ， x ＜1，2x －1
， x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：基本法：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.
速解法：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A. 由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1
计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.
答案：C
方略点评：1.基本法分段求值．是分段函数的正向求值的一般思路：速解法是巧用了结果的特征排除答案．
2．求函数f [g (x )]的定义域问题，要注意g (x )的整体思想的应用．
3．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
1．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域相同的是
( )
A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y ＝
1
x
解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域． 函数y ＝10
lg x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x
的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1
x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
答案：D
2．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －b ，x ＜1，
2x
， x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.7
8
C.34
D.12
解析：基本法：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，
当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝25
2
－b ，
即252－b ＝4＝22
，得到52－b ＝2，即b ＝12
；
当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝15
2－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜3
2，舍去． 综上，b ＝1
2，故选D.
答案：D
类型二 函数的奇偶性 对称性
[例2] (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则a ＝________. 解析：基本法：由已知得f (－x )＝f (x )，
即－x ln(a ＋x 2
－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)，则ln(x ＋a ＋x 2
)＋ln(a ＋x 2
－x )＝0， ∴ln[(a ＋x 2)2
－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.
速解法：根据“奇×奇＝偶”，设g (x )＝ln(x ＋a ＋x 2
)为奇函数即可． 又∵g (0)＝0，∴ln a ＝0，∴a ＝1. 答案：1
方略点评：基本法是根据偶函数的定义f －x ＝f x 待定a .速解法是根据奇函数、偶函数的特殊
结论快速求解.
(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数
解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－
f (x )·
g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝
|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C. 速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数． 故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错．
f (x )|
g (x )|＝奇，C 正确．
答案：C
方略点评：1.函数奇偶性判定主要有①定义法，②图象法，③特殊结论．要注意定义域必须关于原点对称．
2．此题基本法利用的是定义法，速解法利用的是特殊结论．
1．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( ) A ．0 B ．1 C ．2 016 D ．4 032
解析：基本法：函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，则f (x )最小值与最大值的关系为
f (x )min ＝－f (x )max ，所以
g (x )min ＝f (x )min ＋2 016，g (x )max ＝f (x )max ＋2 016，则g (x )max ＋g (x )min ＝0＋2 016
＋2 016＝4 032.故选D.
速解法：因为函数f (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g (x )＝f (x )＋2 016的图象是由f (x )的图象向上平移 2 016个单位长度得到的，故g (x )的图象关于点(0，2 016)对称，所以
g x
max
＋g x
min
2
＝2 016，即g (x )max ＋g (x )min ＝4 032.故选D.
答案：D
2．已知f (x )、g (x )是R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3
＋x 2
＋1，f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
解析：基本法：把x ＝－1代入已知，得f (－1)－g (－1)＝1，所以f (1)＋g (1)＝1. 答案：C
类型三 函数单调性、周期性与对称性的
综合应用
[例3] (1)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.
解析：基本法：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )对任意x 恒成立， 令x ＝1，得f (1)＝f (3)＝3， ∴f (－1)＝f (1)＝3.
速解法：由题意y ＝f (x )的图象关于x ＝0和x ＝2对称，则周期T ＝4. ∴f (－1)＝f (－1＋4)＝f (3)＝3. 答案：3
方略点评：基本法是利用函数关于x ＝a 对称，则f a ＋x ＝f a －x 的性质计算.速解法是利用了
周期性，可快速求解.
(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋
f (lo
g 12
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )
A ．[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 D ．(0,2] 解析：基本法：∵f (log 1
2
a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，
∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.
∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴
1
2≤a ≤1.
综上可知1
2
≤a ≤2.
速解法：当a ＝2时，log 2a ＝1，a ＝－1，原不等式为f (1)＋f (－1)≤2f (1)，即2f (1)≤2f (1)
成立，排除B.
当a ＝1
2时，原不等式为f (－1)＋f (1)≤2f (1)成立，排除A.
当a ＝1
4时，原不等式为f (－2)＋f (2)≤2f (1)，
即f (2)≤f (1)与f (x )为增函数矛盾，排除D. 答案：C
方略点评：1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．
1．(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x
，则
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52
＋f (2)＝________.
解析：根据周期函数及奇函数的定义求解．
∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝ －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.
答案：－2
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
x
x ＜，
a －
x ＋4a x
满足对任意x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0成立，
则a 的取值范围是________．
解析：基本法：因为对任意x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0成立，所以f (x )是减函数，所以
⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜a ＜1，a －3＜0，a 0
a －＋4a ，
解得0＜a ≤14，即a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14.
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14
[终极提升]——登高博见
选择题、填空题的解法——概念辨析法
限时速解训练五 函数概念与性质
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2
＋1 D ．y ＝2
－|x |
解析：选B.y ＝x 3
是奇函数，y ＝－x 2
＋1和y ＝2－|x |
在(0，＋∞)上都是减函数，故选B.
2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2
解析：选A.∵f (2x ＋1)是偶函数，∴f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)⇒f (x )＝f (2－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.
3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x
解析：选D.因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x
－e －x
，f (－x )＝e －x
－e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x
为奇函数，故选D.
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ＜0，f x －＋1，x ≥0，则f (2 016)＝( )
A ．2 014 B.4 029
2
C ．2 015 D.4 035
2
解析：选D.利用函数解析式求解．f (2 016)＝f (2 015)＋1＝…＝f (0)＋2 016＝f (－1)＋2 017＝2－1
＋2 017＝4 035
2
，故选D.
5．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
＋3，则f (7)＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－101 D ．101
解析：选A.f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝x ＋2，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，知函数的周期是4；再令
x ＝1，有f (3)＝－f (1)，而f (1)＝5，故f (7)＝f (3)＝－f (1)＝－5.
6．已知f (x )＝3ax 2
＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.1
7 B ．－1 C ．1 D ．7
解析：选A.∵f (x )为偶函数，∴b ＝0.定义域为[6a －1，a ]则6a －1＋a ＝0，∴a ＝17，∴a ＋b ＝1
7
.
7．若函数f (x )＝2x
＋1
2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
解析：选C.f (－x )＝2－x
＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x
＋12x
－a ，即1－a ·2x ＝－2x
＋a ，化简得a ·(1＋2x
)＝1＋2x
，所以a ＝1，f (x )＝2x
＋1
2x －1
.
由f (x )＞3得0＜x ＜1.故选C.
8．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 1
2(1－x )，则函数f (x )在
(1,2)上( ) A ．是增函数且f (x )＜0 B ．是增函数且f (x )＞0 C ．是减函数且f (x )＜0 D ．是减函数且f (x )＞0
解析：选D.设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 1
2(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )在(－1,0)上单
调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.
9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝2
3
，则f (－a )＝( )
A.23 B ．－2
3 C.43 D ．－43
解析：选C.f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，设f (x )＝1＋g (x )，即g (x )＝x x 2＋1
＝f (x )－1.g (x )为奇函数，
满足g (－x )＝－g (x )．由f (a )＝23，得g (a )＝f (a )－1＝－13，则g (－a )＝1
3，故f (－a )＝1＋g (－a )
＝1＋13＝4
3
.
10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝－1，且对任意x ∈R ，有f (x )＝－f (2－x )成立，则f (2 017)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2
解析：选C.由题知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝－f (2－x )，可知函数f (x )为周期为4的周期函数．令x ＝1得，f (1)＝－f (2－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f (2 017)＝f (4×504＋1)＝
f (1)＝0，故选C.
11．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x
－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23 解析：选A.函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1单调递减，
所以由43＜32＜5
3
，可得
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53
， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，故选A. 12．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析：选A.由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13转化为f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.根据单调性，知|2x －1|＜13，解得13＜x
＜2
3
，故选A. 二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x ≥0，
x ＞0
得0＜x ≤2.因此，函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是(0,2]．
答案：(0,2] 14．已知函数f (x )＝a －x
x －a －1
的图象的对称中心是(3，－1)，则实数a 的值为________．
解析：函数f (x )＝a －x x －a －1的图象的对称中心是(3，－1)，将函数的表达式化为f (x )＝a －x
x －a －1
＝－1
＋
－1
x －a －1
，所以a ＋1＝3，所以a ＝2.
答案：2
15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，
若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值
范围为________．
解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞1，a －2＞0，
f
，即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，
解得2＜a ≤3，
即a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]
16．关于函数，给出下列命题：
①若函数f (x )是R 上周期为3的偶函数，且满足f (1)＝1，则f (2)－f (－4)＝0； ②若函数f (x )满足f (x ＋1)f (x )＝2 017，则f (x )是周期函数；
③若函数g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1，x ＞0，
f x ，x ＜0是偶函数，则f (x )＝x ＋1；
④函数y ＝
log 13|2x －3|的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
解析：①因为f (x ＋3)＝f (x )且f (－x )＝f (x )，所以f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝f (1)＝1，f (－4)＝
f (－1)＝f (1)＝1，故f (2)－f (－4)＝0，①正确．
②因为f (x ＋1)f (x )＝2 017，所以f (x ＋1)＝2 017
f x
，f (x ＋2)＝
2 017
f x ＋
＝f (x )．所以f (x )是周期
为2的周期函数，②正确．
③令x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝－x －1.又g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－x －1.即f (x )＝－x －1，③不正确．
④要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
log 13
|2x －3|≥0，
|2x －3|＞0，
即0＜|2x －3|≤1，
所以1≤x ≤2且x ≠32，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2，④不正确．
答案：①②
必考点二 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质
[高考预测]——运筹帷幄
1．考查指数幂及对数式的化简与运算．
2．以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的图象与性质． 3．指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题． [速解必备]——决胜千里
1．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 为偶函数⇔b ＝0.
2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0＜c ＜d ＜1＜a ＜
b .
在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小； 即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系如图所示．
0＜d ＜c ＜1＜a ＜b ，在第一象限顺时针方向底数变大．
4．y ＝log a x ，当x ∈(1，＋∞)且a >1时，y >0，当x ∈(0,1)且0<a <1时，y >0，记忆：“真底同，对数正”． 5．log a b ＝
1
log b a
，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 6．y ＝a
x
y ＝log a x
定义域R 值域R
值域(0，＋∞)
定义域(0，＋∞)
7．对于函数，y ＝ax ＋b x ，(a >0，b >0)的单调分界点是ax ＝b x ，即x ＝±b a
. [速解方略]——不拘一格
类型一 比较函数值的大小
[例1] (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b
解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，
∴12＜a ＜1,0＜b ＜1
2，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.
速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .
答案：D
方略点评：基本法是利用了每个对数值的范围的估算.,速解法是利用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象，便可容易得出大小关系.
(2)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
解析：基本法：由已知得x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)，
z＝∈(0,1)，又2＜e＜3，∴2＜e＜3，
∴1
e
＞
1
3
＞
1
2
，得z＝＞
1
2
，而y＝log52＜log55＝
1
2
，∴y＜z＜x，故选D.
答案：D
方略点评：利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来比较大小.
对于多个数的大小比较，可插入0，分出正数与负数，正数中再插入1，分出，间与，＋的数；也可直接利用单调性或数形结合法比较大小.
1．(2016·高考全国丙卷)已知a＝，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：利用幂函数的性质比较大小．
∵y＝在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
答案：A
2．设a＝，b＝2，c＝3，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
解析：基本法：∵b＝－log32∈(－1,0)，c＝－log23＜－1，
a＝＞0，∴a＞b＞c，选A.
答案：A
类型二 指数函数、对数函数图象的变换与应用
[例2] (1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2
x ＋a
的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则
a ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
解析：基本法：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a
的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2
x ＋a
的图象上，即－x
＝2－y ＋a
，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选
C.
速解法：设y 1＝f (－2)，则(－2，y 1)关于y ＝－x 的对称点为(－y 1,2)在y ＝2x ＋a
上，
∴2＝2－y 1＋a ，∴－y 1＋a ＝1，即y 1＝a －1 同理设y 2＝f (－4)，∴4＝2－y 2＋a ，即y 2＝a －2. ∴y 1＋y 2＝1，∴a －1＋a －2＝1，∴a ＝2 答案：C
方略点评：两种方法都采用了关于y ＝－x 对称点的特征.基本法是具体求出对称函数，速解法是间接求出f －
及f －
(2)当0＜x ≤12时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，
22 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)
解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x
与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12
＞2，解得
a ＞
22
， ∴
2
2
＜a ＜1，故选B.
速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1. 若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x
＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B.
答案：B
方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验．
2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到即“形似”又“神似”．
1．(2016·高考全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |
在[－2,2]的图象大致为( )
解析：利用导数研究函数y ＝2x 2
－e |x |
在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．
∵f (x )＝2x 2
－e |x |
，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2
∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2
－e x
，则
g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |
在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C. 答案：D
2．(2016·山西太原质检)若关于x 的不等式4a x －1
＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，
则a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：基本法：不等式4a x －1
＜3x －4等价于a
x －1
＜3
4
x －1. 令f (x )＝a
x －1
，g (x )＝3
4
x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知
不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即
a 2－1≤34×2－1，即a ≤12
，所以a 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，12
，故选B.
答案：B
类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法
[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －1
－2， x ≤1，
－log 2x ＋
， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－5
4
C ．－34
D ．－14
解析：基本法：当a ≤1时，f (a )＝2a －1
－2＝－3，
即2
a －1
＝－1，不成立，舍去；
当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23
＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝
f (－1)＝2－2－2＝－7
4
.
速解法：当x ≤1时，f (x )＝2
x －1
－2∈(－2，－1]，不可能f (x )＝－3.
故－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＋1＝23
，a ＝7. ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2
－2＝－74，选A.
答案：A
方略点评：基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是分析第一段的值域来确定f a ＝－3的可能性.
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x －1
，x ＜1，x 1
3
， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．
解析：基本法：f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜1，
e x －1
≤2或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x 1
3
≤2⇒
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＜1，x ≤ln 2＋1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥1，x ≤8
⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．
速解法：当x ＜1时，f (x )＝e x －1
为增函数，当x ≥1时，f (x )＝x 1
3
为增函数．
∴f (x )在R 上为增函数，且e x －1
＜1.
∴令x 1
3≤2，∴x ≤8.
答案：(－∞，8] 方略点评：
基本法是分段讨论f x 的解，速解法是利用了整个函数f x 的单调性.
对数函数、指数函数性质的应用，首先明确底数的取值来确认单调性及图象特征. 分段函数要分段讨论处理，同时注意整体性和分段点.
1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 2x ＋x ＞，x 2
＋
x ，若f (a )＝5，则a ＝________.
解析：基本法：利用分段函数求解．由题意可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，
log 2a ＋3＝5或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤0，
a 2
＋1＝5，解得a ＝4或－2.
答案：4或－2
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≤0，
x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
解析：基本法：|f (x )|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2x ， x ≤0，
x ＋， x ＞0，
其图象如图．
由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|， 则a ≤0，且ax ≤x 2
－2x (x ≤0)， 即a ≥x －2对x ≤0恒成立，所以a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0，故选D. 答案：D
[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——估算法
限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知a ＝50.5
，b ＝0.55
，c ＝log 50.5，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a
解析：选A.因为a ＝50.5
＞50
＝1,0＜b ＝0.55
＜0.50
＝1，
c ＝log 50.5＜log 51＝0，所以a ＞b ＞c .故选A.
2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的一个零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.
3．函数f (x )＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 的图象是( )
解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x
＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以排除A 、
D ；当x ＞10时，x －1x
一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 大于0，故选B.
4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x
关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1
B ．e
x －1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
解析：选D.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x
，于是
f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位长度的结果，
∴f (x )＝e
－x －1
，故选D.
5．函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1
2 C ．2 D ．4
解析：选B.f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x
与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0
＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12
.
6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2－x ，x ≤0，f x －，x ＞0，则f (2 019)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选D.∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 7．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＜1，那么( )
A ．a a
＜a b
＜b a
B ．a a
＜b a
＜a b
C ．a b
＜a a
＜b a
D ．a b
＜b a
＜a a
解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，
y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a ，选
C.
8．下列四个命题：
①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 0；
②∃x 0∈(0,1)，
③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＞
x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＜
x .
其中真命题是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④
解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C. 9．若a ＝2x
，b ＝x ，c ＝
x ，则“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：选B.如图，可知“x ＞1”⇒“a ＞b ＞c ”，但“a ＞b ＞c ”⇒x ＞1”，即“a ＞b ＞c ”是“x
＞1”的必要不充分条件．故选B.
10．若不等式4x 2
－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫1256，1 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1256，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，1256
解析：选A.∵不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，14
时，函数y ＝4x 2
的图象在
函数y ＝log a x 的图象的下方．如图，∴0＜a ＜1.再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142
≤log a 14，即
log a
≤log a 1
4，
∴
≥14
， ∴a ≥1256.综上可得1
256
≤a ＜1，故选A.
11．已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1
x
的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )
A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0
B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0
解析：选C.在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，f (x )＝－1x 的图象(如图)，由图象可知当x ∈(－∞，
x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＞－1
x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＜－1
x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)＞0，f (x 2)
＜0，故选C.
12．设函数f (x )＝2x
1＋2x －1
2，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )
A ．{0,1}
B ．{－1,0}
C ．{－1,1}
D ．{1}
解析：选B.f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x
＞0，
∴1＋2x
＞1,0＜
11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2
x ＜0，
∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12
，
∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B. 二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2
)＋f (b 2
)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1， ∴f (a 2
)＋f (b 2
)＝lg a 2
＋lg b 2
＝2lg(ab )＝2. 答案：2
14．若函数f (x )＝2
|x －a |
(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的
最小值等于________．
解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2
|x －1|
在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1.
答案：1
15．已知函数f (x )＝则不等式f (x )＞1的解集为________．
解析：若x ≤0，则不等式f (x )＞1可转化为3x ＋1
＞1⇒x ＋1＞0⇒x ＞－1，∴－1＜x ≤0；若x ＞0，则不
等式f (x )＞1可转化为log 13x ＞1⇒x ＜13，∴0＜x ＜13.综上，不等式f (x )＞1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，13
16．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x
－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．
解析：当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图(1)，此时y ＝2a ＞2，只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x
－1|的图象如图(2)，
此时0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜1
2
，所以a 的取值范围
是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12
必考点三 导数及其应用
[高考预测]——运筹帷幄
1．利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数． 2．利用导数求函数的极值、最值，由函数极值求参数． 3．利用导数研究函数切线问题． [速解必备]——决胜千里
1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．
2．若f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d 有两个极值点，且x 1<x 2， 当a >0时，f (x )的图象如图，x 1为极大值点，x 2为极小值点，
当a <0时，f (x )图象如图，x 1为极小值点，x 2为极大值点．
3．若函数y ＝f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数， 若函数y ＝f (x )为奇函数，则f ′(x )为偶函数， 4．y ＝e x
在(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1. [速解方略]——不拘一格
类型一 导数的几何意义及应用
[例1] (1)已知函数f (x )＝ax 3
＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2
＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，
又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3
＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，
∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.
速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a 1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝
3a ＋1，∴a ＝1. 答案：1
方略点评：基本法是先由切点求切线方程再代入，，求a .速解法是利用斜率的求法建立a 的方
程.
(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1
x
，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋
ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，
∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 2
0＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程，
∴x 0＝－1
2
，此时a ＝8.
速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1y ＝ax 2
＋
a ＋x ＋1
得ax 2
＋ax ＋2＝0，
∴Δ＝a 2
－8a ＝0，
∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)． 答案：8 方略点评：
基本法是用导数的方法，速解法利用了判别式法，也较简单.
曲线y ＝f x 在点P x 0，y 0处的切线，P x 0，y 0为切点，其切线斜率为f x 0，其切
线方程为y －y 0＝f
x 0x －x 0
如果f
x 0不存在，则切线为x ＝x 0.
1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析：基本法：y ′＝a －1
x ＋1
，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2， ∴a ＝3，故选D. 答案：D
2．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1
－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)
处的切线方程是________．
解析：首先求出x >0时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．
设x >0，则－x <0，f (－x )＝e
x －1
＋x .
∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e
x －1
＋x .
∴当x ＞0时，f (x )＝e
x
e ＋x ，
∴f ′(x )＝e x
·e e
2＋1＝e x －1
＋1，
∴f ′(1)＝2，所以所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . 答案：y ＝2x
类型二 导数与函数的极值、最值
[例2] (1)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2
＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 解析：基本法：a ＝0时，不符合题意．
a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，
得x 1＝0，x 2＝2a
.
若a ＞0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．
则a ＜0，由图象结合f (0)＝1＞0知，此时必有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＞0，即a ×8a 3－3×4a
2＋1＞0，化简得a 2
＞4，又a
＜0，所以a ＜－2，故选C.
速解法：若a ＞0，又∵f (0)＝1，f (－1)＝－a －2＜0， 在(－1,0)处有零点，不符合题意．
∴a ＜0，若a ＝－43，则f (x )＝－43
x 3－3x 2
＋1
f ′(x )＝－4x 2－6x ＝0，∴x ＝0，或x ＝－3
2
.
此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32为极小值且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＜0，有三个零点，排除D. 答案：C
方略点评：基本法是直接求解a ，并使极小值f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＞0.速解法是用特值检验排除.
(2)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0
解析：基本法：由三次函数的值域为R 知，f (x )＝0必有解，A 项正确；因为f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 的图象可由y ＝x 3
平移得到，所以y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确；若y ＝f (x )有极值点，则其导数y ＝f ′(x )必有2个零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则有f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ＝3(x －x 1)(x －x 2)，所以f (x )在(－∞，x 1)上递增，在(x 1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增，则x 2为极小值点，所以C 项错误，D 项正确．选C.
速解法：联想f (x )的图象模型如图显然C 错． 答案：C
方略点评：1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具．
2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3
，当x ＝0时就不是
极值点，但f ′(0)＝0.
3．极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值；在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．
4．f ′(x )在f ′(x )＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．
1．函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，且f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－8122 B.13
C ．2
D ．5
解析：基本法：由已知可知f ′(x )＝3ax 2
＋2bx ＋c ，由3ax 2
＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a ＞0，且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知－2b 3a ＝(－2)＋3，c
3a ＝－2×3，
∴b ＝－3a 2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3
－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，f (x )为
增函数；当x ∈(－2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，
∴f (3)为f (x )的极小值，∵f (3)＝27a －27a
2－54a －34＝－115，∴a ＝2，故选C.
答案：C
2．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2
＋a·b x 在R 上有极值，则
向量a ，b 的夹角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤π6，π
C.⎝
⎛⎦⎥⎤π3，π D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，2π3 解析：基本法：设a ，b 的夹角为θ，则f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋|a |·|b|cos θ·x ＝13x 3＋12|a |·x 2
＋
12|a |2
cos θ·x ，
∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋12·|a |2
cos θ，∵函数f (x )有极值，∴f ′(x )＝0有2个不等的实根，∴Δ＝
|a |2－2|a |2
cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜12，又0≤θ≤π，
∴π
3＜θ≤π，故选C. 答案：C
类型三 导数与函数的单调性
[例3] 若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[－1，＋∞)
C ．[0,3]
D ．[3，＋∞)
解析：基本法：由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x
＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－2x max .令
h (x )＝1
x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
2，＋∞.因为h ′(x )＝－2
x 3－2，所以当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
2，＋∞时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝3，故a ≥3. 速解法：当a ＝0时，检验f (x )是否为增函数，当a ＝0时，
f (x )＝x 2＋1
x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
4＋2＝9
4，f (1)＝1＋1＝2，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
＞f (1)与增函数矛盾．排除A 、B 、C.故选D.
答案：D
方略点评：基本法采用分离参数法来研究单调性.速解法采用特值法，结合图象求解集. (2)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：基本法：依题意得f ′(x )＝k －1
x
≥0在(1，＋∞)
上恒成立，即k ≥1
x
在(1，＋∞)上恒成立，
∵x ＞1，∴0＜1
x
＜1，
∴k ≥1，故选D.
速解法：若k ＝1，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1
x
在(1，＋∞)上有f ′(x )＞0，f (x )＝kx －ln x 为增函数．
答案：D 方略点评：基本法是采用f
x 在，＋恒成立，直接求解.速解法采用特值验证法
排除答案.
①若求单调区间
或证明单调性，只需在函数f x
的定义域内解
或证明
不等式
f x 或f x
即可.
②若已知f x 的单调性，则转化为不等式f x 或f x 在单调区间上恒成立问题求
解.
1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足
1－x
f x
≤0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
解析：基本法：选A.当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)，故选A.
2．(2016·高考北京卷)函数f(x)＝x
x－1
(x≥2)的最大值为________．
解析：基本法：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．
f′(x)＝x －－x
x －2
＝－
1
x －2
，
当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，
故f(x)max＝f(2)＝2
2－1
＝2.
答案：2
[终极提升]——登高博见
选择题、填空题的解法——构造法
限时速解训练七 导数及其应用
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设函数f (x )＝x 2
4－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a
2
＝3，因此a ＝－4.
2．曲线y ＝e x
在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1
) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2)
解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x
，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0. 由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.
3．若函数f (x )＝x 3
－2cx 2
＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞ B.⎝
⎛⎭⎪⎫
32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－
32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.若函数f (x )＝x 3
－2cx 2
＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2
－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2
－12≥0，从而c ≥
32或c ≤－3
2
. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2
x 1－x 2≥2恒成立，
则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1]
解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a
x
＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.
5．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3
－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18
解析：选D.x ＝2是函数f (x )＝x 3
－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2
－3a ＝0的根，将x ＝2
代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，令f ′(x )＝3x 2
－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值
f (－2)＝18，故选D.
6．若幂函数f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e x
f (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1) D ．(－2,0)
解析：选D.设幂函数f (x )＝x α
，因为图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2
，故
g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选
D.
7．若函数f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B．[1,2)
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，2
解析：选C.f ′(x )＝4x －1x
＝
x －
x ＋
x
，
∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝1
2
.
∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1
2
.
由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k －1≥0，k －1＜1
2＜k ＋1⇒1≤k ＜3
2
.故C 正确．
8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y ＝f (x )在区间⎝
⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，3内单调递减；
③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．
则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③。