相量法(板书)

第八章 相量法
§8-1 正弦交流电路的基本概念
§8-2 正弦交流电的基本参数
§8-3 正弦量的相量表示法
§8-1 正弦交流电路的基本概念 一、正弦交流电概
直流电路──电流/电压的大小、方向不随时间改变。

在直流电路中： 电容→？ 电感→？ 除电源外，只有电阻
交流电路──电流/电压的大小、方向随时间变化。

正弦交流电路──电流/电压的大小、方向按正弦规律变化。

正弦（交流）波的广泛应用：
① 在电力系统及家庭用电中的电压波形是正弦波形； ② 在实验室中，音频信号与高频信号发生器的输出波形是正弦波形；
③ 在通讯及广播等领域中，“高频载波”是正弦波形。

④ 一个非正弦的周期函数，经过傅里叶级数的分解，就成为一系列正弦函数之和。

等等。

非正弦
正弦（正弦波形是周期函数中最为常见和重要的一种波形）
周期函数 交流 非周期函数
正弦交流电本身存在着独有的一些优良特性：
正弦函数为简谐函数
正弦交流电分类：
单相、三相。

从本章开始，将分析研究线性电路在正弦激励下的稳态响应问题，即正弦稳态分析问题。

稳态响应？
在线性定常电路中，在周期函数（或常数）激励下，与激励具有相同变化规律的强制响应，称为稳态响应。

在线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应也将是同一频率的正弦函数。

这类电路称为正弦交流电路。

二、正弦交流电的方向
正弦交流电压或电流的大小和方向都在随时间作正弦规律变化，它的实际方向经常都在变动，存在着选参考方向的问题？
图3.1.1 正弦电流的波形及参考方向
由波形图知，在不同的时刻电流有不同的数值。

电流或电压在任一瞬时的值称为该时刻的瞬时值，瞬时值用小写字母表示
i(t)⎩
⎨⎧反
实际方向与参考方面相
为负时当同实际方向与参考方向相为正时当,)(,)(t i t i
§8-2正弦交流电的基本参数
正弦量──正弦交流电压、电流以及电动势统称为正弦量。

正弦量的特征:表现在变化的大小（幅值）、快慢（频率）和
i(t) u(t) R
初相位三个方面，所以幅值、频率和初相位是确定正弦交流电的三个要素。

一、正弦量的瞬时值、幅值和有效值
电路在正弦交流电源的作用下将出现正弦电压和电流： )sin(u m t U u ψω+=
)sin(i m t I i ψω+=
u 和i 的波形如图:
图 正弦电压和电流
瞬时值——正弦电压或电流在每一个瞬时的数值，用小写字母u 或i 表示。

幅值——瞬时值中的最大值，用有下标的m 大写字母U m 或I m 表示。

周期函数的有效值：
有效值──设周期为T 的时变电流i(t)，通过线性定常电阻R ，在一个周期T 内消耗的电能，与一直流电流I 通过同一电阻，并在相同的时间T 内所消耗的电能相等时，则称该直流电流I 的数值为周期电流i(t)的有效值（effective value ），用I 表示。

在一个周期T 内消耗电能：
()⎰
=
T
dt t Ri
W 0
2
1 T RI W 2
2
=
根据有效值定义： 21W W = 即
()⎰
=
T
dt t Ri
T RI 0
2
2
⎰
=
T
dt i T
I 0
2
2
1
⎰
=
T
dt i T
I 0
2
1
上式表明：一个周期性电流i 的有效值I ，等于i 的平方在一个周期T 内的平均值的算术平方根。

因此，有效值也叫做均
方根值/根均方值（root-mean-square ）。

上述关于有效值的定义也适用于周期电压u(t)。

⎰
=
T
dt u T
U 0
2
1
思考：周期函数的平均值是否会出现负值？
周期函数的有效值是否会出现负值？
a
R i(t) a
R
I
正弦量的有效值：
当周期电流为正弦量时，设()i m t I t i ψω+=cos )(或
()()i
m t I t i ψ
ω+=sin
有效值 dt i T I T
⎰=
2
1 ()dt t I T
i T
m ψω+=⎰
2
2
cos
1
()⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⎰
⎰dt t dt T I i
T
T
m ψ
ω2cos 20
02
m m m m I I I I 707.02
22
2
2
==
=
=
∴ I I m 2=
可见: 有效值与初相无关
引进有效值后，正弦电流也可以表示为
()()i
t I t i ψ
ω+=
c o s 2
或
()()i t I t i ψω+=
sin 2
同理
2
m
U U =
或 U U m 2=
问题：
1、平常我们所说的交流电流多少安培，交流电压多少伏特，是指什么值？
例如，市电220V
2、常用的交流电流表与交流电压表，其读数是指什么值？
3、各种电气设备的绝缘耐压值应该以什么值来考虑？
注意：有效值用大写字母表示，这和直流时是一样的，我们在使用时应注意区别。

二、正弦量的频率与周期
频率f ──单位时间内正弦量变化的循环次数，用1/秒（1/s ）作单位，称为赫（兹）Hz 。

我国电力系统用的交流电的频率（工频）为多少？
有些国家如美国、日本等则采用60Hz 作为标准频率。

电子技术中常用：千赫KHz = 103Hz 兆赫MHz = 106Hz 吉赫GHz = 109Hz
周期T ──正弦量每重复变化一次所经历的时间间隔，单位：秒（s ）。

频率和周期的关系：T f 1
正弦量每经过一个周期T ，对应的角度变化了2π弧度。

正弦量实际上是角度的函数
频率/周期→角度的转换系数：
角频率ω——ω表示正弦量在单位时间内变化的角度。

T
f ππω22=
= 单位：弧度/秒 rad/s 。

三、正弦量的相位、初相和相位差
对于正弦电流)sin(i m t I i ψω+=
相位（角）——)(i t ψω+；
初相（角）——i ψ，即当t = 0（计时起点）时的相位角
i t i t ψψω=+=0| 单位为度或弧度 一般︒≤180||i ψ
下图是分别对应于不同初相时的电流)sin(i m t I i ψω+=波形
已知：振幅I m 、频率（或角频率）f(ω)、初相位ψ可确定一个正弦量。

因此，将振幅、角频率、初相位三者称为正弦量的三要素。

i
i
例：已知一个正弦电流A I m 10=，s rad /314=ω，︒=60ψ。

写出电流i(t)表达式？
A t t i )60314sin(10)(︒+=
相位差：（在同一电路计算中，常需处理、比较两个以上的同频率正弦量，比较其相位关系）。

设有两个同频率的正弦量u(t)，i(t)，波形如图示，表达式分别为
)cos()(u m t U t u ψω+=
)cos()(i m t I t i ψω+=
用ϕ表示电压u 和电流i 之间的相位差，则 ()()i u t t ψωψωϕ+-+=
i u ψψ-=
可见，同频率的正弦量之间的相位差等于它们的初相位之差。

任一时刻，相位差为一常数。

i) 当0=-=ϕi u ψψ时，称这两个正弦量同相； ii) 当︒=-=ϕ180i u ψψ时，称这两个正弦量反相；
iii) 当︒=-=ϕ90i u ψψ时，称这两个正弦量正交； iv) 当0>-=ϕi u ψψ时，称电压u 超前（领先）电流i ϕ角度或称电流i 滞后（落后）电压u ϕ角度。

反之，0<ϕ时，称电压u 滞后电流i ϕ角度。

下图是正弦量的相位差：
注意：a) 不同频率正弦量之间相位差为一变量，不等于初相位之差；
b) 计算相位差时，两个正弦量必须统一表达形式，即都是正弦形式或都是余弦形式。

否则错误。

§8-3正弦量的相量表示法
一个正弦量通常有两种表示法：
三角函数解析式，如)sin(m ψω+=t I i 波形图
这两种方法均能正确无误地表达出正弦量的三要素。

但是，在正弦交流电路的分析和计算中，有时使用上述两种方法会显得相当繁琐，其结果还容易出错。

下面我们介绍一种新的正弦量表示法，即相量表示法。

通过相量的运算可使电路的分析和计算变得十分简便。

一、有向线段与正弦函数
设有一正弦电压)sin(m ψω+=t U u ，其波形如图（b ）所示。

图（a ）是
一个旋转的有向线段OA ，设有向线段OA 具有以下三个特点： （1）OA 的长度等于正弦电压的幅值U m ；
（2）OA 的初始角（t = 0时，OA 与横轴正方向之间的夹角）等于正弦电压u 的初相角ψ；
（3）OA 以正弦电压的角速度ω作逆时针方向旋转。

(a) (b)
图 用旋转有向线段表示正弦量
可见，旋转着的有向线段OA 同样具有正弦量的幅值、角频率和初相这三个要素，并且OA 任一瞬间在纵轴上的投影都等于该时刻正弦量的瞬时值，例如当t = 0时，ψs i n m 0U u =；当t = t 1时刻，)sin(1m 1ψω+=t U u 。

结论:一个正弦量可以用一个其初始角等于正弦量初相ψ的旋转有向线段来表示。

由于在正弦电路中各正弦量的频率是相同的，所以我们可将角频率ω这个要素暂时略去，只需要有向线段的长度和初始角即可。

一个正弦量可用一个有向线段来唯一表示。

二、正弦量的相量表示法
正弦量可以用有向线段来表示，而有向线段又可用复数来表示，因此正弦量可以用复数来表示。

在由实轴和虚轴所构成的复平面上，一个复数A 可以用一条有向线段来表示，
在图中，复数A 的长度记为|A|，它称为复数A 的模；有向线段与实轴+1的夹角记为ψ，称为复数A 的辐角；有向线段端点的横坐标a 称为复数A 的实部；其在虚轴+j 上的纵向标b 则称为复数A 的虚部。

一个复数A 可以用下述几种形式来表示： 1. 代数形式
b a A j +=
式中，1j -=称为虚数单位。

2. 三角形式
)sin j (cos ||sin ||j cos ||ψψψψ+=+=A A A A
式中，ψ
ψψ,arctan
,tg ,||2
2
a
b a
b b a A ==
+=
称为A 的辐角。

3. 指数形式
根据欧拉公式 ψψψ
sin j cos e j +=
2j
e e
sin ,
2e e cos j j j j ψ
ψψ
ψ
ψψ---=
+=
可以把复数A 写成其指数形式为
ψ
j e ||A A = 4. 极坐标形式
ψ∠=||A A
上述几种复数的表达式可以互相转换。

复数的加减运算常用代数形式、而乘除运算则常用指数式和极坐标式。

表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“·”以示区别。

例：正弦电压)sin(m ψω+=t U u ，则表示它的相量为
ψ∠=m
m U U
ψ∠=U U
今后在电路的分析中，若无特殊说明，我们一般是指有效值相量形式。

ψ∠=U U 与()()ψω+=t U t u sin 2是互为对应的关系，即当给定其中一个关系式时，就可写出与之相对应的另一个式子。

即()ψωψ+↔∠t U sin 2 U ，有的书上把这种对应关系，称为sin 系统。

()u u U t U ψψω∠=↔+∙
U sin 2（V ） 另外，还有一种对应关系，称为cos 系统，即
()()A
I A
t t i ︒-∠=︒-=60 106010cos 210
在同一电路分析中，只能选用一种系统。

要么用sin 系统，要么用cos 系统。

由于相量未涉及角频率ω，所以在谈到相量时，还要给出ω。

例 某正弦电压V )30sin(220 +=t u ω，求其相量表达式。

解 采用sin 系统,其相量为
)V ( 3020 ∠=U
例 一个元件，流过电流 ()()A t t i ︒+=30100cos 210π 两端电压 ()()V t t u ︒+=30100sin 230π
写出其电流、电压的相量。

解：采用cos 系统：
53530 10j I +=︒∠= (A) ()()V t t u ︒+=30100sin 230π
V
t )60100cos(230
︒-=π
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x cos 2sin π ∴ 35560-30j U
-=︒∠= (V)
特别强调:相量只是用来表示正弦量，它实质上是一个复数，相量与正弦函数之间只存在对应关系而决不是相等关系。

()()A I A t t i ︒∠==︒-=60- 106010sin 210 （严重错误）
§8-3 正弦量的相量表示法
§8-4 相量图及相量运算
§8-5 电路定律的相量形式
相量表示法的优越性: 用相量表示的正弦量的运算可以转化为求复数的四则运算， 即正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和，结果仍然是一个同频率的正弦量，因而显得十分简便。

P181
1、 同频率正弦量的代数和
设)cos(2111ψω+=t I i ，)cos(2222ψω+=t I i ，…
求 21i i i ±=
111ψ∠=∙
I I ， 2
22ψ∠=∙
I I
ψ
ψψ∠=∠±∠=±=∙
∙
∙
I I I I I I 221121
)cos(2ψω+=
t I i
2、 正弦量的微分 设 )cos(2ψω+=t I i ，
求 dt di
ψ∠=−→−∙
I I i
2π
ψωω+∠=−→−∙
I I j dt di )
2cos(2π
ψωω+
+=
t I dt
di
3、 正弦量的积分 设)cos(2ψω+=t I i 求
⎰i d t
ψ
∠=−→−∙
I I i
21
1π
ψω
ω
-
∠=
−→−∙
⎰I I j idt
)
2cos(1
2π
ψωω
-
+=
⎰t I idt
例 已知 A )45sin(2151
+=t i ω
A
)30sin(210
2
-=t i ω
求21i i i +=的表达式。

解: 先转换成相量的形式进行运算。

21,i i 的相量分别为
)707.0j 707.0(15)45sin j 45(cos 1545151+=+=∠= I )A ( 61.10j 61.10+=
)5.0j 866.0(10)30sin j )30[cos(1030102-=--=-∠= I )A ( 5j 66.8-= 总电流相量为
61.5j 27.19)5j 66.8()61.10j 61.10(21+=-++=+=I I I )A ( 23.1607.20 ∠=
最后将总电流的相量形式变换成正弦函数表达式为
)23.16 sin(207
.20
+=t i ω (A)
§8-4相量图及相量运算
一、 相量图
相量图——相量用有向线段表示在复平面上就构成相量图。

模——有向线段的长度表示该相量的模，
辐角——模与实轴的夹角就等于该相量的辐角。

例 )c o s
(2)(i t I t i ψω+= 相量：i ψ∠=I I 相量图：
如果有几个同频率的相量画在同一复平面中，则各有向线段的长度必须和它们的模成比例。

另外，在画相量图时，有时也可不必画出复平面上的实轴和虚轴。

例 画出上例中电流A )45sin(2151
+=t i ω
A )30sin(2102
-=t i ω
及)23.16 sin(207.20
+=t i ω A
的相量图。

解: 相量图如下所示
说明：只有正弦周期量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。

（这时，各个相量均以同一速度旋转，在任何时刻t ，各相量间的相位关系保持不变。

）
2∙
I
相量图的主要功能：
① 在相量图上能清楚地看出电路中各个正弦量的初相位，以及各个相量间的相互关系。

② 几个同频率正弦量的加减，可以借助于相量图用图解法进行。

相量图在电路的正弦稳态分析中有着重要的作用。

二、 相量的四则运算
虽然相量图标示了各相量之间的大小和相位关系，在一定程度上能帮助我们定性地分析较复杂的问题，但从相量图中有时很难“看”出精确的结果，因此我们在用定量分析时大多采用相量分析法。

相量分析法——用相量的四则运算来求解正弦交流电路。

（1）加减运算
相量相加或相减的运算可用代数形式来进行。

例如设两个相量 2211j ,j b a B b a A +=+= 则有 )(j )(2111b b b a B A ±+±=±
图 两个相量相加和相减的几何意义
相量相加或相减运算也可采用平行四边形法则在复平面上用作图法来进行，这种方法也称为相量图法。

B 1
（2）乘除运算
A 、
B 两个相量相乘时，用代数形式有 )j )(j (2211b a b a AB ++=
)(j )(12212121b a b a b b a a ++-= 用指数形式或极坐标形式，则有
)
(j j j b
a e
e
e
ψ
ψψψ
+=⋅=b a b a r r r r AB b
a
或 b a b a b b a a r r r r AB ψψψψ+∠=∠⋅∠=
可见：相量A 乘以相量B 的几何意义就是把相量A 的模r a 乘以B 的模r b 后再把相量A 逆时针旋转一个角度b
ψ。

如图所示。

图 相量A 和B 相乘的几何意义
相量A 除以相量B ：用代数形式表示为
2
2
2
2211222
22
2121222222112
211j
)
j )(j ()j )(j (j j b a b a b a b
a b b a a b a b a b a b a b a b a B
A +-+++=
-+-+=
++=
用指数形式或极坐标形式时有
)
(j j j e
e
e b a b
a
b
a b a r r r r B
A
ψψψψ
-=
=
或
b a
b
a b
b a a r r r r B
A ψψ
ψ
ψ-∠=
∠∠=
几何意义如图所示，其结果相当于把r a 除以r b 后再把相量A 顺时针旋转一个角度b ψ。

A/B
a b
三、 ,e ,e j j t
ωψ和j 的物理意义
ψj e 可看作一个模为1、辐角为ψ的复数，即ψψ
∠=1e j 。

如果一个相量a
r A ψ
j e =乘以ψj e ，则有
B r r A a a
===⋅+)
(j j j j e
e e e ψψψ
ψψ
这说明相乘的结果即相量B 的大小仍为r ，但与实轴正
方向间的夹角为)(ψψ
+a
，可见一个相量乘上ψ
j e
后就会逆时
针（向前）转动ψ角，即这时相量B 比A 越前了ψ角。

同样，如果一个相量A 乘以ψ
j
e -，则有
C r r A a a
===⋅---)
(j j j j e
e
e
e
ψψψ
ψψ
即：一个相量乘以ψ
j e -后，即顺时针（向后）转动ψ角，在这时相量C 比A 滞后了ψ角。

上述所讨论的情况可通过下图所示清楚地加以表明。

我
们有时把ψ
j e 称为旋转因子，这是因为任何相量乘以ψ
j e 后其
模值不变而方向去逆时针旋转了一个角度ψ。

图 相量的超前与滞后
根据欧拉公式
ψψψ
sin j cos e
j +=
当
90
±=ψ时，则
j 90sin j 90cos e
90
j ±=±=±
可见，任意一个相量乘以+j 后即逆时针（向前）旋转了90︒；乘以j -后即顺时针（向后）旋转90︒，所以j 就称为一个旋转90︒的因子。

在复平面上，如将实轴的单位相量+1乘以j ，则该单位相量+1就逆时针旋转90︒而变为虚轴的单位相量+j ；如将虚轴的单位相量+j 再乘以j ，则它又要向前旋转90︒就变为虚轴的单位相量1-，即
1j )j ()j (2
-==+⋅+
可见1
-=
j ，它就是复数中的虚数单位。

对于旋转因子ψj e 中的幅角ψ，如果它是一个与时间t
成正比的函数，例如可设t ωψ=，其中ω为角频率，则说明旋转因子ψ
j e 所对应的相量便在复平面上不停地旋转，此时的欧拉公式可写成
t j t t
sin cos e j ωωω+=
此式就把随时间变化的正弦函数和辐角随时间正比变化的复数有机地联系起来从而获得了用复数表示正弦量的数学描述。

从上式可以看出
[][]⎪⎭
⎪
⎬⎫==t t t
t ωωωωsin e Im cos e
Re j j
在这里，Re[ ]表示只取复数的实部，而Im[ ]表示只取复数虚部。

例如对于一个正弦量)sin(2u t U u ψω+=，它
在任何时刻的瞬时值就等于其对应的幅值相量U
2乘以旋转因子t
ωj e
后同一时刻在虚轴上的投影，即
[
][
])
j(j e
2Im e 2Im
u U U
u t ψωω+==
为什么介绍正弦量的相量表示法、向量图？
对于含有L 、C 的正弦电路，基本的描述方程应是微一积分方程。

虽然正弦量的微、积分还是正弦量，但直接进行三角函数运算仍然是十分麻烦的。

在正弦稳态电路中，电流和电压等都是同频率的正弦时间函数，我们的任务仅在于分析和确定这些物理量的有效值（或最大值）与初相。

相量正是包含模与辐角两个要素，我们引入正弦量的相量表示法、向量图，通过相量这一数学工具可以用分析正弦稳态电路。

这种分析法，称之为相量分析/相量法。

)
()(,正弦时间函数
结果相量结果相量正弦时间函数
的频率结合已知
复数运算
略去初相
有效值w
w
−−−→−−−−→−−−−−→−
相量法的实质：是一种数学变换，将时域（正弦时间函数）的运算转换成频域中复数运算。

例1 某电路中的电流、电压为 tA i 2cos 22=， ()V
t u ︒+=452cos 210
1，
()V t u ︒-=602cos 220
2，
()V t u ︒+-=302cos 2103。

试写出其相量式，并画出相量图。

解：相量式： A 02︒∠=→I
i 或 A 022︒∠=m I V 45 101
1︒∠=→U u
V 452101︒∠=m
U V 60-202
2︒∠=→U u
V 60-2202︒∠=m U V 1501030103
3︒-∠=︒∠-=→U u V 150-2103︒∠=m
U
相量图：
注意：① 正弦量的振幅与有效值只有正值，没有负值，所
以在函数式与相量式中，有效值或最大值前的负号，应理解成初相的一部分，即︒±∠=︒∠-180101（式中“±”号的选取，取决于初相，习惯上用小于180︒的角度表示）。

② 相量式是带有单位的
在画相量图时注意：
① 初相要画正确，并要标出相应的角度。

② 同一物理量的相量长短要有比例，不同物理量的相量可用不同的标度。

③ 参考轴要画出（除非有初相为零的相量），坐标的原点0要标出。

④ 相量所代表的物理量必须标以复数，而不能标有效值，也不能标时间函数。

例2 已知：()︒+=30sin 501t u ωV ()︒-=40sin 252t u ωV
求：21u u u +=
解：（本例中1u 、2u 给定的均是正弦函数，可直接用sin 系统）。

253.43305011j U u m
+=︒∠=→
07.1615.1940-2522j U u m
-=︒∠=→
2
∙
U
()()07.1615.19253.4321j j U U U m
m m -++=+= ︒∠=+=8.1409.6393.845.62j ∴ ()︒+=14.8sin 09.63t u ω 画相量图，也可用图解：
o
∙
m U 2∙。