2020人教版高中数学必修四阶段质量评估试卷

阶段质量评估三角函数(A)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18
D ．36
解析： ∵l ＝αr ，∴6＝1×r .∴r ＝6. ∴S ＝12lr ＝1
2×6×6＝18.
答案： C
2．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α
2的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限 解析： ∵α是第三象限角， ∴π＋2k π＜α＜3π
2＋2k π，k ∈Z .
∴π2＋k π＜α2＜3π
4＋k π，k ∈Z . ∴α
2
在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0. ∴α
2是第二象限角． 答案： B
3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π
6，则角α的最小正值为( ) A.5π
6 B.2π3 C.11π6
D.5π3 解析： 因为sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32， 所以点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限．又因为tan α＝cos
5π
6sin
5π6
＝－3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝tan 5π3，
所以角α的最小正值为5π
3
.故选D.
答案： D
4．tan ⎝⎛⎭⎫－35
3π的值是( ) A ．－
33
B. 3 C ．－ 3
D.33
解析： tan ⎝⎛⎭⎫－353π ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12π－π3 ＝tan π
3＝ 3.
答案： B
5．已知sin θ＋cos θ＝4
3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.2
3
B.13 C ．－
23
D ．－13
解析： ∵已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫cos θ＜π4，∴1＋sin θcos θ＝16
9， ∴2sin θcos θ＝7
9
，
故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝1－2sin θ·cos θ ＝－
2
3
，故选C. 答案： C
6．函数y ＝sin x
2是( )
A ．周期为4π的奇函数
B ．周期为π
2的奇函数
C ．周期为π的偶函数
D ．周期为2π的偶函数
解析： ∵y ＝sin x 2，∴T ＝2π
1
2
＝4π.
∵sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－sin x 2， ∴y ＝sin x
2是奇函数．
答案： A
7．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x －π
3的图象，故选B. 答案： B
8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤
π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π
3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
3上单调递增 解析： y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向右平移π
2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象.2x －2π
3∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2，则x ∈⎣⎡⎦⎤π12，712π， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3在⎣⎡⎦⎤π12，7π
12上单调递增． 答案： B
9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋θ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图1所示，则f (x )等于( )
图1
A.2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 B.2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6
C.2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π3 D.2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6 解析： 由图象知A ＝2， ∵5π
12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3T 4， ∴T ＝π，∴ω＝2.
∵2×5π12＋θ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
∴可取θ＝－π3，
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案： A
10．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π
4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于( )
A.2
3 B.43 C ．2
D ．4
解析： 由函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，可得f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝3，代入选项检验可得ω＝4
3
，所以选B.
答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．满足sin(3π－x )＝
3
2
，x ∈[－2π，2π]的x 的取值集合是________． 解析： sin(3π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝
32.当x ∈[0,2π]时，x ＝π3或2π
3
；当x ∈[－2π，0]时，x ＝－5π3或－4π3.所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5π
3，－4π3，π3，2π3.
答案： ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5π
3，－4π3，π3，2π3
12．若点P 在角－10π
3
的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y ＝________.
解析： 由三角函数的定义sin ⎝⎛⎭⎫－10π3＝y (－1)2＋y 2
，又sin ⎝⎛⎭⎫－10π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋23π＝sin
2π3＝32，所以y (－1)2＋y 2＝3
2，得y ＝3或y ＝－3(舍去)． 答案：
3
13．已知函数f (x )＝sin π
2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＝________.
解析： 因为f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，又f (x )以4为周期，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＝505×0＋f (2 021)＝0＋f (1)＝1.
答案： 1
14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的部分图象如图2所示，则关于函数f (x )的性质的结论正确的有________(填序号)．
①f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－16，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝43对称；③f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，13上为增函数；④把f (x )的图象向右平移2
3
个单位长度，得到一个偶函数的图象．
解析： 由图象得A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，则ω＝π.又13ω＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，且
|φ|＜π2，∴φ＝π
6，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6.∵f ⎝⎛⎭⎫－16＝0，∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－16，0对称，①正确；∵f ⎝⎛⎭⎫43＝－2，∴f (x )的图象关于直线x ＝43对称，②正确；由－12≤x ≤13，得－π3≤πx ＋π6≤π
2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，13上为增函数，③正确；f ⎝⎛⎭⎫x －23＝2sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －23π＋π
6＝2sin ⎝
⎛⎭⎫πx －π2＝－2cos πx 是偶函数，④正确．
答案： ①②③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α
1＋sin α
＋
1＋sin α
1－sin α
＝
22，求tan α.
解析： ∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0， ∴α是第二象限角， ∴
1－sin α
1＋sin α
＋
1＋sin α
1－sin α
＝(1－sin α)2
1－sin 2α＋
(1＋sin α)2
1－sin 2α
＝
2|cos α|＝2－cos α
＝22， ∴cos α＝－22
， 则sin α＝
2
2
，tan α＝－1. 16．(本小题满分12分)做出下列函数在[－2π，2π]上的图象： (1)y ＝1－13
cos x ；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2. 解析： (1)描点⎝⎛⎭⎫0，23，⎝⎛⎭⎫π2，1，⎝⎛⎭⎫π，43，⎝⎛⎭⎫3π2，1，⎝⎛⎭⎫2π，2
3，连线可得函数在[0,2π]上的图象，关于y 轴作对称图形即得函数在[－2π，2π]上的图象，所得图象如答图1所示．
答图1
(2)由于y ＝⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＝|cos x |，所以只需作出函数y ＝|cos x |，x ∈[－2π，2π]的图象即可．而函数y ＝|cos x |，x ∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y ＝cos x ，x ∈[－2π，2π]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方的方法得到，所得图象如答图2实线所示．
答图2
17．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的部分图象如图3所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2
，－π
12上的最大值和最小值．
图3
解析： (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π
6，y 0＝3.
(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π
6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，
f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3时，
f (x )取得最小值－3.
18．(本小题满分14分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2的一段图象如图4所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
图4
解析： (1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝2
5. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭
⎫π
4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭
⎫25x －π
10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25
(x ＋m )－π
10
＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)， 知
2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π
2
，k ∈Z . ∵m ＞0，∴m min ＝
3π
2
. 故把f (x )的图象向左至少平移
3π
2
个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．。