近年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时训练(十二)函数模型及其应用文(2021年

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用文
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课时跟踪检测(十二）函数模型及其应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件,当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元,则预计单价为________元/件时，利润最大．
解析：设单价为6＋x,日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4）（100－10x）－20＝－10x2＋80x＋180
＝－10(x－4)2＋340（0＜x＜10)．
所以当x＝4时，y max＝340.
即单价为10元/件，利润最大．
答案：10
2．(2018·郑集中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数)，广告效应为D＝R－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)
解析：D＝R－A＝a错误!－A，令t＝错误!(t＞0),则A＝t2，所以D＝at－t2＝－错误!2＋错误! a2.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a2时，D取得最大值．
答案：错误!a2
3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2。

85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22。

6元,则此次出租车行驶了________km.
解析:设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝错误!
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
4．(2018·苏州调研）世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．（参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1。

017)
解析：设每年人口平均增长率为x,则(1＋x）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg（1
＋x）＝lg 2，所以lg（1＋x）＝错误!≈0。

007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017,所以x＝1。

7%.
答案：1.7%
5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．
解析：设这个广场的长为x米，
则宽为错误!米．
所以其周长为l＝2错误!≥800，
当且仅当x＝200时取等号．
答案：800
6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话,通话m分钟的电话费由函数f（m)＝1。

06×（0.5[m]＋1）（元)决定，其中m>0，［m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5。

5分钟的电话费为________元．
解析:因为m＝5。

5，所以[5。

5]＝6。

代入函数解析式,得f(5.5)＝1。

06×（0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
二保高考,全练题型做到高考达标
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元,B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A(t）＝20＋kt，s B（t)＝mt，
又s A（100)＝s B（100），
所以100k＋20＝100m,
得k－m＝－0.2，于是s A（150)－s B(150）＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0。

2）＝－10，
即两种方式电话费相差10元．
答案：10
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润,销售价应定为每件________元．
解析：设售价提高x元,利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x）×(100＋x)－80×1 000＝－5x2＋500x＋20 000＝－5(x－50）2＋32 500，故当x＝50时，y max＝32 500，此时售价为每件150元．
答案：150
3．(2018·海安中学检测）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．
（参考数据:lg 1.12≈0。

05，lg 1。

3≈0。

11，lg 2≈0.30）
解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%）n＞200,得1。

12n＞错误!,两边取常用对数，得n＞错误!≈错误!＝3。

8，所以n≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
答案:2021年
4．（2018·启东中学检测）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析:由题意设仓库在离车站x千米处，则y1＝k
1
x
，y2＝k2x，其中x〉0，由错误!得错误!，
即y1＋y2＝20
x
＋错误!x≥2 错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!x，即x＝5时等号成立．
答案：5
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt。

假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有错误!，则m＝________。

解析:根据题意知1
2
＝e5n,
令错误!a＝a e nt，即错误!＝e nt，因为错误!＝e5n，故错误!＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10。

答案：10
6．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时,总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元,则y＝kv2＋96，
又当v＝10时，k×102＝6,解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0。

06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为错误!小时，故总费用为W＝错误!y＝错误!(0。

06v2＋96）＝0。

6v＋错误!≥2错误!＝48,当且仅当0.6v＝错误!，即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案：40
7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
解析：依题意知：错误!＝错误!，即x＝错误!（24－y），
所以阴影部分的面积S＝xy＝错误!(24－y）·y＝错误!（－y2＋24y)＝－错误!（y－12）2＋180。

所以当y＝12时，S有最大值为180。

答案：180
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时,奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝a log4x＋b。

某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元)．
解析：依题意得错误!
即错误!解得a＝2,b＝－2.
所以y＝2log4x－2,当y＝8时，即2log4x－2＝8。

x＝1 024（万元)．
答案:1 024
9。

如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米,CD＝6米．为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上．
(1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析
式及定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值．
解：（1)作PQ⊥AF于Q,
所以PQ＝（8－y）米，
EQ＝（x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以错误!＝错误!，即错误!＝错误!。

所以y＝－错误!x＋10，
定义域为｛x｜4≤x≤8}．
（2）设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x）＝xy＝x错误!＝－错误!(x－10）2＋50,
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下,对称轴为x＝10,所以当x∈[4，8］时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
10．(2018·常州期末）某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗为错误!错误!L，其中k为常数，且60≤k≤100.
（1）若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11。

5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100 km的油耗的最小值．
解：（1）由题意,当x＝120时，错误!错误!＝11.5，所以k＝100。

由错误!错误!≤9，得x2－145x＋4 500≤0,所以45≤x≤100。

又因为60≤x≤120，所以x的取值范围是[60,100］．
(2）设该汽车行驶100 km的油耗为y L,则
y＝100
x
·
1
5错误!
＝20－错误!＋错误!（60≤x≤120)．
令t ＝错误!，则t ∈错误!，
所以y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000错误!2
＋20－错误!，
对称轴t ＝错误!，因为60≤k ≤100，所以错误!∈错误!. ①若1120≤错误!≤错误!，即75≤k ≤100， 则当t ＝错误!，即x ＝错误!时，y min ＝20－错误!；
②若错误!≤错误!＜错误!，即60≤k ＜75，
则当t ＝错误!，即x ＝120时，y min ＝错误!－错误!。

答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为20－错误!；当60≤k ＜75时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为错误!－错误!。

三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·扬州模拟）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位:元/100 kg)与上市时间t （单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116
84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．
Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ,Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .
利用你选取的函数，求得：
(1）西红柿种植成本最低时的上市天数是________．
（2)最低种植成本是________（元/100 kg)．
解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2
＋bt ＋c ，且开口向上,对称轴t ＝－错误!＝错误!＝120， 代入数据｛ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84
，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得错误!
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，
最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0。

01＋120×（－2.4)＋224＝80.
答案：（1)120 （2）80
2．（2018·苏州高三期中调研)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2 m，梯形的高为1 m，CD为3 m，上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）．
（1）设MN与AB之间的距离为x错误!m,试将通风窗的通风面积S(m2)表示成关于x的函数y＝S(x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少m时，通风窗的通风面积S取得最大值？
解:（1）当0≤x<1时,过A作AK⊥CD于K(如图)，
则AK＝1,DK＝错误!＝错误!，HM＝1－x，
由错误!＝错误!＝2,得DH＝错误!＝错误!,
所以HG＝3－2DH＝2＋x，
所以S(x)＝HM·HG＝(1－x)（2＋x）＝－x2－x＋2；
当1<x〈错误!时,过E作ET⊥MN于T，连结EN（如图)，
则ET＝x－1，TN＝错误!＝错误!＝错误!，
所以MN＝2 错误!，
所以S(x）＝MN·ET＝2 错误!·（x－1），
综上，S（x）＝错误!
(2）当0≤x<1时，S(x)＝－x2－x＋2＝－错误!2＋错误!在［0，1）上单调递减,
所以S(x)max＝S（0)＝2；
当1<x<5
2
时,S(x）＝2（x－1）错误!≤2·错误!＝错误!，
当且仅当（x－1）＝错误!，即x＝错误!＋1∈错误!时取“＝”,
所以S（x)max＝9
4
〉2，所以S(x）的最大值为错误!，
故当MN与AB之间的距离为错误!m时,通风窗的通风面积S取得最大值．。