2018年高考数学理江苏专用总复习教师用书：第十二章

第2讲 矩阵与变换
考试要求 1.矩阵的概念，A 级要求；2.一阶矩阵与平面向量，B 级要求；3.常见的平面变换，A 级要求；4.矩阵的复合与矩阵的乘法，B 级要求；5.二阶逆矩阵，B 级要求；6.二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；7.二阶矩阵的简单应用，B 级要求．
知 识 梳 理
1．乘法规则
(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦
⎤b 11
b 21的乘法规则：
[a 11 a 12]⎣⎡
⎦⎤
b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．
(2)二阶矩阵⎣⎡
⎦⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎡⎦
⎤x 0
y 0的乘法规则： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦
⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦
⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎡⎦
⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝A (BC )，
AB ≠BA ，
由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .
一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．几种常见的变换：
(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)投影变换；(5)旋转变换；(6)切变变换． 3．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1
，A －1
＝B .
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为
A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d
ad －bc
－b
ad －bc
－c ad －bc a ad －bc .
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
ax ＋by ＝m ，
cx ＋dy ＝n 的系
数矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d －1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤m n ，
其中A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .
4．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，
故⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ－a x －by ＝0
－cx ＋ λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式
⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
b c d 的特征多项式；方程
⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c
d 的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a ＋d )λ
＋ad －bc ＝0的一个根．
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 1，y ＝y 1，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 2，
y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 2y 2.
则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．
诊 断 自 测
1．(2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22 1
2202
12
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
1
40
1
2. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2·
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1
40 12＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥
⎤1 540 －1. 2．(2015·江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x
1y
0的属于特征值－2的一
个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得A α＝－2α，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2 2， 则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1＝－2，y ＝2，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 1 2 0.
从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.
3．(2017·徐州调研)已知曲线C ：y 2
＝2x ，在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
00
2对应的变换作用下得到曲线C 1，
C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤
01 －10对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解 设A ＝NM ，
则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 00 2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，曲线C 2上对应的点为P ′(x ，y )，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2y ′x ′，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2y ′，y ＝x ′，所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝y ，y ′＝－1
2x .
又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ：y 2
＝2x 上， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x 2
＝2y ，即y ＝18x 2.
考点一 矩阵与变换
【例1】 (2017·扬州质检)在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
1 00 12对应的
变换作用下得到曲线C 2：x 2
4
＋y 2
＝1，求曲线C 1的方程．
解 设P (x ，y )是曲线C 1上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，
则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ′y ′，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝x ，y ′＝12y ，
又因为点P ′(x ′，y ′)在曲线C 2：x 2
4＋y 2
＝1上，故 x ′ 2
4＋(y ′)2＝1，
从而x 24＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 22
＝1.
所以曲线C 1的方程是x 2
＋y 2
＝4.
规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．
【训练1】 (2017·镇江期末)已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
00
2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12 0 0 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式．
解 MN ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
00
2⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 0 0 2， 即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
12x 2y ，x ′＝12x ，y ′＝2y ， 代入y ＝sin x 得，1
2
y ′＝sin 2x ′，
即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x . 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组
【例2】 (2017·南京、盐城模拟)已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 2
b －1变换下得到点P ′(5，
－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1
. 解 依题意得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 2b －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5－1，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
3a ＋2＝5，3b －1＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，
所以A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 20 －1.
因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1，
所以A －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20 －1.
规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1
＝B －1A －1
性质的应用．
【训练2】 (2017·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤m 7 23的逆矩阵M －1
＝⎣⎡⎦⎤n －7 －2m ，求实数m ，n .
解 由MM －1
＝⎣⎡⎦⎤m 7 23⎣⎡⎦⎤n －7 －2m
＝⎣⎡⎦⎤mn －147n －21 0－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
mn －14＝1，7n －21＝0，
－14＋3m ＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝5，
n ＝3.
考点三 求矩阵的特征值与特征向量 【例3】 (2017·泰州模拟)求A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
3
24
1的特征值与属于每个特征值的一个特征向量． 解 由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－3 －2－4 λ－1＝λ2
－4λ－5＝0，解得
λ1＝－1，λ2＝5.
由λ1＝－1得4x ＋2y ＝0，取ξ1＝⎣⎡⎦
⎤ 1
－2；
由λ2＝5得x －y ＝0，取ξ2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
所以A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
3
24
1的特征值为λ1＝－1，λ2＝5，相应的特征向量分别为ξ1＝⎣⎡⎦⎤ 1－2，ξ2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11. 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a
b c
d ，求特征值和特征向量，其步骤为：
(1)令f (λ)＝⎪⎪⎪
⎪ λ－a －c －b
λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；
(2)列方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
λ－a x －by ＝0，
－cx ＋ λ－d y ＝0；
(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量. 【训练3】 (2017·南京模拟)已知二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤30 5
－2.
(1)求矩阵A 的特征值和特征向量； (2)设向量β＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 1－1，求A 5
β. 解 (1)矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
λ－30 －5λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)．
令f (λ)＝0，得λ＝3或λ＝－2. 当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤30 5－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，
解得y ＝0，
所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
10.
当λ＝－2时，⎣⎡⎦⎤30 5－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝－2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，得5x ＋5y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1.
所以矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎡⎦
⎤ 1
－1.
(2)由(1)可知向量β是矩阵A 的特征值－2的一个特征向量，
所以A 5
β＝λ5
β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32 32.
[思想方法]
1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．
2．对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．
3．关于特征值与特征向量的讨论与矩阵的变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组
的解有密切联系． [易错防范]
1．两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．矩阵的特征值与特征向量
(1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量． (2)属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
(3)设ξ是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零数k ，k ξ也是矩阵A 属于特征值λ的一个特征向量．
(建议用时：70分钟)
1．(2017·苏北四市调研)设矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
02
1的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的
方程为x 2
＋y 2
＝1，求曲线C 的方程．
解 由题意得矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )(λ－1)， 因为矩阵M 有一个特征值为2，f (2)＝0，所以a ＝2.
所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 02
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ′y ′，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，
代入方程x 2
＋y 2
＝1，得(2x )2
＋(2x ＋y )2
＝1， 即曲线C 的方程为8x 2
＋4xy ＋y 2
＝1.
2．(2014·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤－11 2x ，B ＝⎣⎡⎦⎤12 1－1，向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若A α＝B α，求x ＋y 的值．
解 由已知，得A α＝⎣⎡⎦⎤－11 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎡⎦⎤－2＋2y 2＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2＋y 4－y . 因为A α＝B α，所以⎣⎡⎦⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2＋y 4－y ，
故⎩⎪⎨⎪⎧
－2＋2y ＝2＋y ，
2＋xy ＝4－y .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－12，
y ＝4.
所以x ＋y ＝7
2
.
3．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a 2 1的
一个特征值λ＝3所对应的一个特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1
.
解 由题意得Ae ＝λe ，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 2
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11， ∴a ＋1＝3， ∴a ＝2，
∴A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 22
1，
∴|A |＝－3≠0，
∴A
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－3 －2－3－2－3 1－3＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－13 2323 －13. 4．(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝
⎣⎡⎦⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20
6，求矩阵A －1
B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d ， 则⎣⎡⎦⎤－10 02·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00
1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝1
2， 从而A 的逆矩阵为A －1
＝⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤
－1 00 12， 所以A －1
B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1 00 1
2
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20 6＝⎣⎡⎦⎤－10 －
2 3. 5．(2017·扬州质检)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 00
2，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20
1，若矩阵AB －1
对应的变换把直线l 变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程． 解 因为B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 20
1，
所以B －1
＝⎣⎡⎦
⎤10 －2 1，
所以AB －1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
00
2⎣⎡⎦⎤10
－2 1＝⎣⎡⎦
⎤
10 －2 2. 设直线l 上任意一点(x ，y )在矩阵AB －1
对应的变换下为点(x ′，y ′)， 则⎣⎡⎦⎤10 －2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ′y ′，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x －2y ，y ′＝2y ，
代入l ′，得(x －2y )＋2y －2＝0， 化简后得x ＝2. 故直线l 的方程为x ＝2.
6．(2017·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2 m n
1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，求M 2
β.
解 设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2， 则由⎩⎪⎨
⎪
⎧
M α1＝λ1α1M α2＝λ2α
2
可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.
又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01＝α1＋2α2，
所以M 2
β＝M 2
(α1＋2α2)＝λ2
1α1＋2λ2
2α2＝
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤42. 7．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向
量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .
解 设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d ，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
33，故⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝3，
c ＋
d ＝3.
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤915，故
⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.
联立以上两方程组，解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，
故M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1 4－3
6.
8．(2017·南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)． (1)求a ，b 的值；
(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2
.
解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
34，即6＋3a ＝3,2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5.
(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3，所以B 2
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1 1－5
4.。