《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第十一篇第5讲几何概型

第5讲几何概型
A 级基础操练(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每题 5 分，共20 分)
1．在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机拿出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是()．
A ．1B． 0.1C．0.01D．0.001
分析设事件 A 为“10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概
10
率计算公式得 P(A)＝1 000＝0.01，因此 10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子的概率是 0.01.
答案C
2.(2013 ·哈尔滨二模 )如图的矩形长为 5，宽为 2，在
矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在暗影部分的黄
豆数为 138 颗，由此我们能够预计出暗影部分的面
积约为()．
16212319
A. 5
B. 5
C. 5
D. 5
S 13823
分析由几何概型的概率公式，得10＝300，因此暗影部分面积约为
5
，应选
C.
答案C
3．(2011 ·福建 )如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点．若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ ABE 内部的概率等于()．
11
A. 4
B. 3
12
C.2
D. 3
1
分析
S △ABE ＝2|AB| |AD|·，S 矩形 ABCD ＝|AB||AD|.
故所求概率 P ＝ S
△
ABE
＝ 1
.
S 矩形 ABCD 2
答案
C
4．(2012 ·辽宁 )在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别
等于线段
AC ，CB 的长，则该矩形面积小于
32 cm 2 的概率为
(
)．
1
A. 6
1 B.3
2 C.3
4
D.5
分析
设出
AC 的长度，先利用矩形面积小于
32 cm 2 求出
AC 长度的范围，再
利用几何概型的概率公式求解．设
AC ＝x cm ，CB ＝(12－x)cm ，0＜ x ＜12，
因此矩形面积小于
32 cm 2 即为
x(12－ x)＜32? 0＜ x ＜ 4
或 8＜x ＜12，故所求
8 2
概率为 12＝ 3.
答案 C
二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )
π π
1
之间
5．(2013 ·长沙模拟 )在区间 － ，
2上随机取一个数 x ，cos x 的值介于 0 至
2
2
的概率为 ________．
分析
依据题目条件，联合几何概型的概率公式可得所求的概率为
P ＝
2 π π
2 － 3
1
π － π＝
3
.
2
－
2 答案
1
3
6．(2011 ·江西 )小波经过做游戏的方式来确立周末活动，他随机地往单位圆内投
1
掷一点，若此点到圆心的距离大于
2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离
1
小于 4，则去打篮球；不然，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为
________．
分析
设 A ＝{ 小波周末去看电影 } ，B ＝{ 小波周末
去打篮球 } ，C ＝{ 小波周末在家看书 } ，D ＝{ 小波周
1 2
π－12
π
2413末不在家看书 } ，以下图，则 P(D)＝1－π＝16.
13
答案
16
三、解答题 (共 25 分 )
7．(12 分 )如图，在单位圆O 的某向来径上随机的取一点 Q，求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超出 1
的概率．
3
解弦长不超出 1，即 |OQ|≥2，而 Q 点在直径 AB
上是随机的，事件 A＝{ 弦长超出 1} ．由几何概型的
3
2× 23
概率公式得 P(A)＝2＝ 2 .
3
∴弦长不超出 1 的概率为 1－ P(A)＝1－2 .
8．(13 分 )已知对于 x 的一次函数 y＝mx＋n.
(1)设会合 P＝{ －2，－1,1,2,3}和 Q＝{ －2,3} ，分别从会合 P 和 Q 中随机取一
个数作为 m 和 n，求函数 y＝ mx＋n 是增函数的概率；
m＋n－1≤0，
(2)实数 m， n 知足条件－1≤m≤1，
－1≤n≤1，
求函数 y＝mx＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．
解 (1)抽取的所有结果的基本领件有：
(－ 2，－ 2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)， (2，－2)，(2,3)，
(3，－ 2)，(3,3)，共 10 个基本领件．
设使函数为增函数的事件为A，则 A 包含的基本领件有： (1，－2)，(1,3)，(2，
6 3
－2)， (2,3)， (3，－ 2)， (3,3)，共 6 个基本领件，因此， P(A)＝10＝5.
m＋n－1≤0，
(2)m， n 知足条件－1≤m≤ 1，
－1≤n≤1
的地区以下图，
要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，
故使函数图象过一、二、三象限的 (m，n)的地区为第一
象限的暗影部分，
1
2 1
∴所求事件的概率为 P＝7＝7.
2
B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)
一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )
1.分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部
分如图中暗影地区所示，若向该正方形内随机投一点，
则该点落在暗影地区的概率为()．
4－ππ－ 2
A.2
B.2
4－ππ－ 2
C.4
D.4
分析设正方形边长为2，暗影地区的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则暗影地区的面积为 2π－ 4，因此所求概率为P
2π－4
4π－2
. 2
答案B
2．(2013 ·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a
和 b，则方程
2b
x＝2 2a－ x 有不等实数根的概率为()．
1 A. 4
1
B.2
3
C.4
2
D.5
2b
2
分析
方程 x ＝2
2a － x ，即 x －2 2ax ＋ 2b ＝0，
原方程有不等实数根，则需知足
＝ (2 2a)2 －
4×2b>0，即 a>b.在以下图的平面直角坐标系内， (a ，b)的所有可能结果是边长为
1 的正方形 (不包含
2b
界限 )，而事件 A “方程 x ＝ 2 2a － x 有不等实数根 ” 的可能结果为图中暗影
1
×1×1
部分 (不包含界限 )．由几何概型公式可得 P(A)＝
2
＝
1
应选
1×1
2
.
B.
答案 B
二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )
，高为
3的圆柱，点 O 1，O 2 分别为
3．(2013 ·武汉一模 )有一个底面圆的半径为 1
这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点
P ，则点 P 到点
1 ，O
2 的距离都大于 1 的概率为 ________．
O
分析 确立点 P 到点 O 1 ，O 2 的距离小于等于 1 的点的会合为，以点 O 1，O 2
1 4
3
4
为球心， 1 为半径的两个半球，求得体积为 V ＝2×2× 3π×1 ＝3π，圆柱的体
4π 积为 V ＝Sh ＝ 3π，因此点 P 到点 O 1，O 2 的距离都大于 1 的概率为 V ＝1－ 3
＝
3π
5
9
.
答案
5 9
4．(2012 ·烟台二模 )已知正三棱锥 S －ABC 的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任
取一点
P ，使得
1
V P － ABC <2V S － ABC 的概率是
________．
分析
三棱锥
P －ABC 与三棱锥
1
S － ABC 的底面同样， V P － ABC <2V S － ABC 就是三
棱锥 P －ABC 的高小于三棱锥 S － ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面
的截面，这个截面下任取一点都切合题意，设底面 ABC 的面积为 S ，三棱
锥 S － ABC 的高为
h ，则所求概率为：
P ＝
1 1 1 1
3Sh －3×4S ×2h 7
＝ .
1 8
3Sh
答案
7 8
三、解答题 (共 25 分 )
5．(12 分 )(2013 深·圳调研 )设函数 f(x)＝ x 2＋bx ＋c ，此中 b ，c 是某范围内的随机
数，分别在以下条件下，求事件
A “f(1)≤5 且 f(0)≤3”发生的概率．
(1)若随机数 b ，c ∈{1,2,3,4} ；
(2)已知随机函数 Rand( )产生的随机数的范围为 {x|0≤x ≤1} ，b ，c 是算法语
句 b ＝ 4*Rand( )和 c=4*Rand( )的履行结果 .（注：符“ * ”表示“乘”）
解 由 f(x)＝x 2
＋ bx ＋c 知，事件 A “f(1)≤5 且 f(0)≤3”，即
b ＋
c ≤4，
c ≤3.
(1)由于随机数 b ，c ∈{1,2,3,4} ，因此共等可能地产生
16 个数对 (b ， c)，列举
以下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)， (4,2)， (4,3)，(4,4)．
b ＋
c ≤ 4， 事件 A ：
包含了此中 6 个数对 (b ， c)，
c ≤ 3
即： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)， (3,1)．
6 3 3
因此 P(A)＝ 16＝8，即事件 A 发生的概率为 8.
(2)由题意， b ， c 均是区间 [0,4]中的随机数，
点(b ， c)平均地散布在边长为 4 的正方形地区 Ω中(如图)，其面积 S(Ω)＝16.
b ＋
c ≤4， 事件 A ：
所对应的地区为如图所
c ≤3
示的梯形 (暗影部分 )，
1
15
其面积为 S(A)＝ 2×(1＋ 4)×3＝ 2
.
15 因此 P(A)＝
S A
＝ 2 ＝15，
S Ω 16 32
即事件 A 发生的概率为 15
32
.
6．(13 分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一日夜的随意时辰到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时，求有一艘船停靠泊位时一定等候一段时间的概率．
解甲比乙早到 4 小时内乙需等候，甲比乙晚到 2 小
时内甲需等候．
以 y 和 x 分别表示甲、乙两船抵达泊位的时间，则有
一艘船停靠泊位时需等候一段时间的充要条件为－
2≤x－y≤ 4，在以下图的平面直角坐标系内，(x，
y)的所有可能结果是边长为24 的正方形，而事件
A“有一艘船停靠泊位时一定等候一段时间”的可能
结果由暗影部分表示．
242－1
×222－
1
×202
67
由几何概型公式，得 P(A)＝22
242
＝
288
.
67
故有一艘船停靠泊位时一定等候一段时间的概率是288.
特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。