初中数学直角三角形的判定

直角三角形的判定
点析：因为不清楚已知的两边是否全是直角边还是其中一条是斜边，所以在求第三边的长时，应考虑到分类进行，从而避免漏解。

[例2] 如图，在
△
ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC边上的高
AD。

解：设
CD=x
，则
BD
=14-x，在RT△ABD和RT△ACD中，由勾股定理可得：
(14-x)2+AD2=152和x2+AD2=132，两式相减，可得：(14-x)2-x2
=
56解之得：x =5在RT△ACD中，由勾股定理得：AD=12
点析：
△
ABC被高
AD
分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果，这种方法在直角三角形的有关计算中是经常应用的。

[例3] 已知：如图，在
△
ABC中，∠E=∠C=90°，
AD
是BC边上的中线，
DE⊥AB于E
于，求证：
AC
2=AE2-BE2
证明：根据勾股定理，在RT△ACD中，AC2=AD2-CD2，在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2，在RT△BDE中，DE2=BD2-BE2
∴AC2=AE2+DE2-CD2=AE2+BD2-BE2-CD2
又∵BD=CD ∴ AC2=AE2-BE2
点析：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。

例4 如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。

分析：这里有两个直角三角形，结论又是平方形式，故考虑用勾股定理
解：Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,
Rt△BCD中，CD2=BD2-BC
两式相加得，AB2+CD2= AC2+BD2
例5 如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。

解：（1）由角平分线性质得CE=CF，由“HL”可证△BCE≌△DCF
（2）由（1）可设BE=DF=x，则AE=21-x，AF=9+x，
∵易知△ACE≌△ACF
∴AE=AF，∴21-x=9+ x，x=6
∴Rt△BCE中CE2=CB2-BE2=102-62=64，CE=8
A
B
C D
A B
C
D
E
F
∴Rt △ACE 中，AC 2=AE 2+CE 2=152+82=289，AC=17
说明：在几何证明和计算中出现直角时，常考虑运用勾股定理。

考点一：勾股定理
例1：在△ABC 中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若c=34，a ：b=8：15，则a=________，b=_________.
方法与规律：学会正确应用勾股定理，关键是能准确判断斜边（直角所对的边）；若不能直接运用勾股定理：如已知边的比值时通常可以引入一个辅助未知量，通过建立方程（或方程组）来解决边的问题.
例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

考点二：勾股定理的验证
例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a 和b ，斜边长为c ，图（2） 是以c 为直角边的等腰三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。

（2）用这个图形证明勾股定理。

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。

（无需证明）
【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。

解：（1）如下图。

直角梯形
（2）∵S 梯形=
21（a+b ）（a+b ） =21
（a+b ）2 S 梯形=2×21ab+21c 2= ab+21
c 2
∴21（a+b ）2=ab+2
1
c 2整理得：a 2+b 2=c 2
（3）用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。

考点三：直角三角形的判别条件
例4：已知△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形?
【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形.
解：因m，n是正整数，且m＞n，所以c＞b，c>a.a2+b2=（m2－n2）2+（2mn）2=m4－2m2n2+n4+4m2n2 = m4+2m2n2+n4，c2=（m2+n2）2= m4+2m2n2+n4，所以a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.
方法与规律: 已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系，满足“a2+b2=c2”形式，就是直角三角形，否则不是.
例5：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，说明BC⊥BD.
A B
C D
【思路分析】利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形时，当较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可判断这个三角形是直角三角形.较大边的对角是直角.不能机械地认为c边所对角是直角.
解：在Rt△ABD中，有BD2=AB2+AD2=42+32=25，
又BD＞0，∴BD=5.
∵BD2+BC2=52+122=169=132=CD2，
∴∠DBC=90°∴BC⊥BD.
方法与规律：判定直角三角形的方法是：①当已知一个三角形的两内角度数或三个角的度数之比时，利用定义判定.②当已知三边长或三边长的比时，利用勾股定理的逆定理来判定.
例6：若△ABC的三边长a、b、c满足条件a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状。

【思路分析】欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c的值，然后确定a、b、c的关系，从而判断出△ABC的形状。

解：由a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，得（a2－12a+36）+（b2－16b+64）+（c2－20c+100）=0，所以（a－6）2+（b－8）2+（c－10）2=0.又因为（a－6）2≥0，（b－8）2≥0，（c－10）2≥0，所以a=6，b=8，c=10，所以a2+b2=62+82=102=c2.所以△ABC是直角三角形。

考点四：勾股数的考查
例7：下列各组数是勾股数吗？为什么？
（1）7，24，25 （2）0.3，0.4，0.5
【思路分析】判断一组数是否是勾股数，需具备如下两个条件：（1）三个数必须是正整数；（2）其中两个数的平方和等于第三个数的平方。

解：（1）因为7，24，25都是正整数，且满足72+242=252，所以7，24，25是一组勾股数；
（2）因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数。

巩固练习 一、选择题
1. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A. 13
B. 13或119
C. 13或15
D. 15
2. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3. 如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 42
*4. 若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（ ） A. 6㎝
B.
13
80
㎝ C. 8㎝ D.
13
60㎝ *5. 等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 6. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ） A. b 2=c 2－a 2 B. a ∶b ∶c=3∶4∶5
C. ∠C=∠A －∠B
D. ∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15
*7. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2
2
+=+，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D. 锐角三角形
*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A 和∠BDC 都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A. ∠A 符合要求
B. ∠BDC 符合要求
C. ∠A 和 ∠ BDC 都符合要求
D. ∠A 和∠BDC 都不符合要求
*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（ ） A. 10.5米 B. 7.5米 C. 12米 D. 8米
10. 如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑（ ）
A. 9分米
B. 15分米
C. 5分米
D. 8分米
二、填空题：
11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边是直角所对的边.
*
13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，. *14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为.
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
*
三、计算题：
*17. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.。